偏导数 几何含义
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
THANKS
感谢观看
边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
偏导数的几何意义
— 1 —
偏导数的几何意义
表示固定面上一点的切线斜率。
偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x 轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y 轴的切线斜率。
高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx ，f"xy ，f"yx ，f"yy 。
注意：
f"xy 与f"yx 的区别在于：前者是先对x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对y 求偏导；后者是先对y 求偏导再对x 求偏导。
当f"xy 与f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，
就是它关于其中一个变量
的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
求偏导知识点总结
求偏导知识点总结1. 偏导数的定义偏导数的定义相对于函数的变量而言，是指在其他变量保持不变的情况下，函数对某一变量的变化率。
假设有一个由两个自变量 x 和 y 组成的函数 z=f(x,y)，在某个点（a,b）处的偏导数，表示对于 x 的变化率和对于 y 的变化率。
偏导数通常用∂z/∂x 表示对 x 的偏导数，用∂z/∂y 表示对 y 的偏导数。
2. 偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用偏导数。
（1）如果函数 z=f(x,y) 在某一点处可微分，那么在这一点处偏导数存在。
（2）偏导数的交换律：如果函数 f(x,y) 的偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y 都存在且连续，那么∂z/∂x 与∂z/∂y 的交换组合也存在，并且两者相等。
（3）混合偏导数：如果函数 f(x,y) 在某一点处具有偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y，那么这两个偏导数的混合偏导数∂^2z/(∂x∂y) 和∂^2z/(∂y∂x) 都存在，并且相等。
3. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法和计算常规一元函数的导数有些不同。
对于二元函数 z=f(x,y)，求偏导数∂z/∂x 时，我们将 y 视为常数，对 x 求导；求偏导数∂z/∂y 时，我们将 x 视为常数，对y 求导。
例如，对于函数 z=x^2*y+sin(x)，求∂z/∂x 和∂z/∂y，分别视 y 和 x 为常数，计算出对 x 和对 y 的偏导数。
4. 偏导数的几何意义在二元函数的图像中，偏导数有一些很有趣的几何意义。
对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂x，可以理解为函数在 x 轴方向上的斜率，即函数在沿 x 方向的增加（或减小）时 z 的变化速率。
类似地，对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂y，可以理解为函数在 y 轴方向上的斜率。
在实际应用中，偏导数可以提供很多有用的信息。
例如，在经济学中，偏导数可以用来描述不同市场因素对价格的影响；在物理学中，偏导数可以用来描述多变量物理量的变化规律；在工程学中，偏导数可以用来解决多变量约束条件下的最优化问题。
第 二 节 偏 导 数
定理7.1
在区域D内连续，那么在该区域 内这两个二阶混合偏导 数必
相等.
2 2 2 (0,0,1), f xz (1,0,2), 例6 设f ( x, y, z) xy yz zx , 求f xx
§7.2 偏导数
偏导数的概念 偏导数的几何意义
偏导数与连续的关系
高阶偏导数 小结 思考与练习
偏导数的概念
设函数z f ( x, y)在点（x0 , y0 )的某一邻域内有定义， 当y固定
在y0 , 而x在x0处有增量x时, 相应的函数有增量
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
例1 解
求z x 2 sin 2 y的偏导数。
为求 z , 视y看作常数，对 x求导，得 x
z 2 x sin 2 y x
z z 2 x 2 cos 2 y 为求 , 视x看作常数，对y求导，得 y y
例2 解
设f ( x, y ) x y x 2 y 2 , 求f x(3,4), f y (0,5)
偏导数与连续的关系
我们知道，一元函数 y f ( x)在x0可导，则它在该点必连 续.
但对于二元函数 z f ( x, y),即使在点 ( x0 , y0 )的两个偏导数都存在 ,
函数f ( x, y)在点（x0 , y0 )不一定连续。
x2 y 2 例如 f ( x, y ) 1
z x,
f x ( x, y),
z , y
f ( x, y ) , y
z y,
f y( x, y),
偏导数的几何意义
偏导数得几何意义ﻫ实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件ﻫ背景知识:一偏导数得定义在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量- ，如果（1)存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做, ，,或例如，极限(1)可以表为=类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为记做，，或如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做, ，,或类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做，，，或由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为=其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题例求得偏导数解= ，=二偏导数得几何意义二元函数= 在点得偏导数得几何意义设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率三偏导数得几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数= =｛在点（０，0）对得偏导数为同样有但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数=, =那么在D内，都就是得函数、如果这里两个函数得偏导数也存在,则它们就是函数= 得二阶偏导数,按照对变量求导次序得不同有下列四个二阶偏导数:，，其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, ，，，从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等,即,=我们再瞧用ｍaple作求得图形第一个图形为第二个图形为从图中我们瞧到两个连续得偏导函数，它们就是相等得这不就是偶然得,事实上我们有下述定理定理如果函数=得两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说，二阶混合偏导数在连续得条件下与求导得次序无关。
偏导数
偏导数
一、偏导数的概念
二、几何意义
三、高阶偏导数
四、小结 思考题
二元函数z = f (x, y)在点(x0, y0)处的增量：
一、偏增量
z x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
z y f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 )
f x (0,0) lim
x 0
f (0 x ,0) f (0,0) 00 lim 0 x 0 x x
00 f (0,0 y ) f (0,0) lim f y (0,0) lim 0 y 0 y y 0 y
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏导数存在 连续
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
四、小结 思考题
1、偏导数的定义 （偏增量与对应自变量增量之比的极限）
2、偏导数的计算
纯偏导 3、高阶偏导数 混合偏导（相等的条件）
称此极限为z f ( x, y )在P0 பைடு நூலகம் x0 , y0 )处关于y的偏导数 存在，
记作 zy
z ， x x0 ， f y ( x 0 , y0 ) y y y0
f 或 y x x0
y y0
x x0 y y0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点( x , y )处 对 x 的偏导数都存在，由于这个偏导数仍是 x , y 的函数,故称为函数 z f ( x , y )对 x 的偏导函数.
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
偏导数几何意义
对于多元隐函数，需要使用多元函数微分法进行求导。首先确定函数中的各个自变量， 然后分别对每个自变量求偏导数，最后根据隐函数的约束条件求解出所需的导数。
偏导数在隐函数求导中作用
描述函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述多元函数在某一点处沿某一方向的变化率。在隐函数中，偏导数可以帮助我们了解函数在某一点处沿 某一自变量方向的变化情况。
02
偏导数与切线、法线关系
切线方程与偏导数关系
切线斜率
偏导数表示了函数在某一点沿着某一方向的变化率，即切线 的斜率。
切线方程
通过偏导数和函数在某一点的取值，可以确定该点处的切线 方程。
法线方程与偏导数关系
法线斜率
法线与切线垂直，因此法线的斜率与 切线的斜率互为负倒数。偏导数可用 于计算法线的斜率。
性质。例如，在曲面上，切平面和法线可以用于定义曲面的定向、曲率
以及曲面上的测地线等概念。
03
偏导数与方向导数关系
方向导数定义及性质
方向导数定义
方向导数是函数在某一点沿某一方向的 变化率。对于二元函数$z = f(x, y)$，在 点$P(x_0, y_0)$处沿方向$l$（与$x$轴 正向夹角为$alpha$）的方向导数定义为 $lim_{rho to 0} frac{f(x_0 + Delta x, y_0 + Delta y) - f(x_0, y_0)}{rho}$，其 中$rho = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}$，$Delta x = rho cos alpha$， $Delta y = rho sin alpha$。
方向导数在几何图形中应用
切线斜率
偏导数几何意义
z x
x x0 y y0
,
f x
x x0 y y0
,
zx xx0 , 或 fx(x0, y0).
y y0
类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.>>>
一、偏导数的定义及其计算法
❖偏导数的定义
f
x
(x0,
y0)
lim
x0
f (x0 x, y0) x
fxy(x,
y)
,
x
(z ) y
2z yx
f yx(x,
y)
,
y
(yz )
2z y2
f yy (x,
y)
.
其中fxy(x, y)、fyx(x, y)称为混合偏导数.
类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.
x
(z ) x
2z x2
,
(z ) 2z , y x xy
提示：当点P(x, y)沿直线ykx趋于点(0, 0)时, 有 因此, 函(ffx数x,(y(ylx)i0fm,(,k0xx(00),),0y))0x在dd2,xx([y0fyf,(2(00x,),的y0lxi)m)]极00x限02,k不xk2f2存yx(20在,0,1)当kkd然d2y [.也f (不0,连y)]续.0 .
6
y2
2z 6x2 y9y2 1 , 2z 6x2 y9y2 1.
xy
yx
定理
如果二阶混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域
D
内连续,
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
数学分析,偏导数
0
，设上述方程组在点 M 0 确定了一对函数
y y ( x ), z z( x)
这时容易把它化成刚才讨论过的情形： 由这两个方程可解出
dy dx D (F ,G ) D (z, x) D (F ,G ) D ( y, z) , dz dx D (F ,G ) D ( x, y ) D (F ,G ) D ( y, z)
过 M 0 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 M 0 点的 法线，其方程为
X x0 ( Fx ) M 0 Y y0 (Fy )M 0 Z z0 ( Fz ) M 0
该法线的一组方向数为：
( Fx ) M 0 , ( F y ) M 0 , ( Fz ) M 0
综上所述若曲面方程为
法线方程为
X x0 f x ( x 0 , y 0 ) Y y0 f y ( x 0 , y 0 ) Z z0 1
㈢
若曲面方程为参数形式：
x x ( u , v ), y y ( u , v ), x ( u , v ), z z (u , v ) y y (u , v ) v v( x, y ) z z ( u ( x , y ), v ( x , y ) )
M
0
(Y y 0 )
D (F ,G ) D ( x, y )
M
0
(Z z0 ) 0
x t , y 2 t , z t 在点 例1 求曲线 切线及法平面方程。 ' ' ' 2 解： xt 1 , y t 2t , z t 3t
3
(1, 2 ,1) 处的
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
偏导数几何意义
偏导数几何意义偏导数是多元函数微积分中的一个重要概念，它用来描述函数在某个方向上的变化率。
偏导数的几何意义主要包括以下几个方面：1. 偏导数的定义偏导数是指在多元函数中，固定其他变量不变，仅对某个变量进行微小的变化时，函数的变化率。
如果函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在$x_i$处的偏导数存在，那么它的偏导数可以表示为$f_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)$。
对于二元函数$f(x,y)$，$f_x$表示函数在$x$轴方向上的变化率，$f_y$表示函数在$y$轴方向上的变化率。
2. 偏导数与方向导数偏导数描述了函数在某个方向上的变化率，因此它与方向导数密切相关。
方向导数是指函数在某个方向上的变化率，可以表示为$\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{u}}$，其中$\boldsymbol{u}$是方向向量。
在某个点上，如果函数在所有方向上的变化率都存在，那么这些变化率就构成了一个向量，称之为梯度向量。
3. 偏导数与曲面偏导数可以用来描述曲面的性质。
对于任意的曲面，如果它在某个点处的偏导数存在，那么这个曲面在这个点处有一个唯一的切平面。
这个切平面与$x_i$轴的夹角就是$f_{x_i}$的值，它描述了曲面在这个方向上的变化率。
使用偏导数可以求解曲面的最大值和最小值。
对于一个具有偏导数的函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，可以使用偏导数方法求得$f$的最值点，即令所有$n$个偏导数都等于零，然后求解方程组。
最大值和最小值点就是$f$的极值点。
偏导数还可以用来描述曲线的性质。
考虑一个函数$f(x,y)$和一条曲线$C$，如果曲线$C$落在$f=0$的等高线上，那么曲线$C$在这个点处的斜率等于$f$在这个点处的梯度向量在曲线$C$方向的投影，即$\nabla f(x,y)\cdot\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}$。
D7-3偏导数
一、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系导数存在与函数连续的关系三、高阶偏导数第三节第三节 偏导数偏导数第七章定义 设函数设函数,(yx f z =在点,(00y x 的某一邻域内有定义，当固定在y而x 在x处有增量∆时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ,(),(0yx f y x x f −∆+，如果xy x f y x x f x ∆−∆+→∆),(),(lim 00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数偏导数，记为，记为 一、偏导数的定义及其计算法同理可定义函数,(yx f z =在点,(0y x 处对y的偏导数，的偏导数， 为y y x f y y x f y ∆−∆+→∆),(),(lim 00000记为记为00y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf==∂∂，0y y x x y z ==或,(00y x f y .0yy x x x z ==∂∂，，或.如果函数在区域内任一点,(yx 处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数， 记作，，或.同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在 处 ),,(z y x f u =),,(z y x ,),,(),,(lim ),,(0x z y x f z y x x f z y x f x x ∆−∆+=→∆,),,(),,(lim ),,(0y z y x f z y y x f z y x f y y ∆−∆+=→∆.),,(),,(lim ),,(0zz y x f z z y x f z y x f z z ∆−∆+=→∆注意：实际求 的偏导数时，因为始终只有一个自变量在变动，另一个自变量可看作常量，所以仍旧用一元函数的微分方法求解.),(y x f z =求解xf ∂∂求导数暂时看作常量而对把x y yf ∂∂求导数暂时看作常量而对把y x例1 求3y xy x z ++=在点2,1(处的偏导数．解=∂∂xz;32y x +=∂∂yz.23y x +=∂∂∴==21y x xz ,82312=×+×=∂∂==21y x yz .72213=×+×例2 设x z =1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证=∂∂x z ,1−y yx =∂∂yz ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1xx xyx y x yy ln ln 11+=−yyx x +=.2z =原结论成立．例3 设22arcsin yx xz +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解=∂∂xz ′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅+−x y x xyx x 2222211322222)(||y x yy y x +⋅+=.||22yx y +=|)|(2y y ==∂∂yz ′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅+−y y x xyx x 222221132222)()(||y x xy y y x +−⋅+=y y x x 1sgn 22+−=)0(≠y 0==≠∂∂y y x y z不存在．例4 已知理想气体的状态方程pV =（为常数），求证：1−=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p .证⇒=V RT p ;2V RT V p −=∂∂⇒=p RT V ;p R T V =∂∂⇒=RpV T ;R V p T =∂∂=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pT T V V p 2V RT−p R ⋅R V ⋅.1−=pVRT−=二、偏导数的几何意义及函数偏导数存在与函数连续的关系偏导数f就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率. 偏导数f y就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.1．几何意义图示,),()),(,,(00000上一点为曲面设y x f z y x f y x M =2.偏导数存在与连续的关系例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f ,依定义知在处，)0,0(x f .但函数在该点处并不连续.偏导数存在 连续.一元函数中在某点可导 连续，多元函数中在某点偏导数存在 连续，),,(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),(22y x f yz y z y yy =∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),,(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂),(2y x f xy z y z x yx =∂∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂函数,((yx f z ==的二阶偏导数为混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数例5 设3323+−−=xy xy y x z ， 求22xz 、x y z ∂∂∂2、yx z ∂∂∂2、22yz∂∂及33xz ∂∂.解x z ∂∂,33322y y y x −−=y z ∂∂;9223x xy y x −−=22x z ∂∂,62xy =22y z ∂∂;1823xy x −=33x z ∂∂,62y =xy z ∂∂∂2.19622−−=y y x y x z ∂∂∂2,19622−−=y y x例6 设eu a xc=，求二阶偏导数.解,cos by ae xu ax=∂∂;sin by be yu ax−=∂∂,cos 222by e a xu ax=∂∂,cos 222by e b yu ax−=∂∂,sin 2by abe yx u ax−=∂∂∂.sin 2by abe xy u ax−=∂∂∂定理 如果函数,(yx f z =的两个二阶混合偏导数xy z ∂∂∂2及yx z ∂∂∂2在区域在区域 D 内连续，那内连续，那么么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．内这两个二阶混合偏导数必相等． 问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？例7 验证函数22ln ),(yx y x u +=满足拉普拉斯方程 .02222=∂∂+∂∂yux u解),ln(21ln 2222y x y x +=+∵,22y x x x u +=∂∂∴,22yx y y u +=∂∂,)()(2)(222222222222y x x y y x x x y x x u +−=+⋅−+=∂∂∴.)()(2)(222222222222y x yx y x y y y x y u +−=+⋅−+=∂∂22222222222222)()(y x y x y x x y y u x u +−++−=∂∂+∂∂∴.0=。
偏导数在几何上的应用
感谢您的观看
THANKS
详细描述
梯度是一个向量，其大小等于函数在该点的方向导数的最大值，其方向则是该方向导数最大的方向。梯度的计算 涉及到偏导数的计算，可以通过对偏导数进行向量运算得到。
偏导数与高斯公式和格林公式
总结词
高斯公式和格林公式是微积分中的重要公式，它们涉及到偏导数的概念，可以用来解决某些几何问题 。
详细描述
高斯公式和格林公式分别描述了三维空间和二维平面中体积分和曲线积分与偏导数的关系。它们在计 算几何形状的体积、表面积、曲线长度等几何量时非常有用。通过这些公式，我们可以将复杂的几何 问题转化为相对简单的积分问题，从而方便地求解。
偏导数与函数图像的凹凸性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的 凹凸性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数 大于零，则该点附近的函数图像 是凹的；如果偏导数小于零，则 该点附近的函数图像是凸的。
偏导数与函数图像的单调性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的单调性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数大于零，则该点附近函数值是递增的；如果偏 导数小于零，则该点附近函数值是递减的。这为研究函数的单调性提供了重要 的几何解释。
偏导数在几何上的应用
目录 CONTENT
• 偏导数的几何意义 • 偏导数在几何优化问题中的应用 • 偏导数在解决几何问题中的具体
应用 • 偏导数在几何中的其他应用
01
偏导数的几何意义
偏导数与切线斜率
总结词
偏导数可以用来描述函数图像上某一 点的切线斜率。
详细描述
在几何上，偏导数表示函数在某一点 处沿某一方向的变化率，即切线的斜 率。对于二元函数，偏导数可以表示 空间曲面在某一点的切平面。
8.4偏导数
例3
1 y sin 2 , x2 y2 0 x y2 设 f ( x , y )＝ ， 0, x2 y2 0
求 f ( x , y ) 在点(0,0) 的偏导数．
解 这是求分段函数在分界点处的偏导数，
应用偏导数定义来求．
先求 f x (0,0) ．由于 f ( x ,0) 0，且 f (0,0) 0，于是
＝ lim
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) x
x 0
存在，则称此极限为函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x
的偏导数，记作
z f f | x x0 ， | x x0 ， |( x0 , y0 ) ， f x ( x0 , y0 ) ， x y y0 x y y0 x
的偏导数，记作
f z f |( x0 , y0 ) ， f y ( x0 , y0 ) ， | x x0 ， | x x0 ， y y y0 y y y0 y
或
f ( x 0 , y0 ) y
， f y ( x 0 , y 0 ) ， z y ( x 0 , y0 ) ．
2.偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例5
xy , x2 y2 0 2 x y2 考察函数 f ( x , y ) = 0, x2 y2 0
在 (0,0) 点的偏导数与连续性的关系．
解
由偏导数的定义有
f ( x ,0) f (0,0) f x (0,0) lim 0 x 0 x
f (0, y ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim y 0 y
高等数学课件-D92偏导数
偏导数可以表示函数在某一点 处的梯度向量
偏导数的定义： 对于多元函数，
偏导数是函数 在某一点处沿 某一特定方向
上的导数
偏导数的计算 方法：首先确 定偏导数的方 向，然后计算 函数在该方向
上的导数
偏导数的性质： 偏导数具有线 性性、连续性、 可微性等性质
偏导数的应用： 在多元函数优 化、微分方程 求解、物理等 领域有广泛应 用
一定可积。
偏导数的几何意义：表示函数在某 点处沿某一方向的变化率
应用：可微性定理可以用来判断函 数在某点处是否可微，以及计算偏 导数
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
可微性定理：如果函数在某点处可 微，那么它在该点处沿任意方向的 偏导数都存在
应用实例：在多元函数中，可微性定 理可以用来判断函数在某点处是否可 微，以及计算偏导数，从而解决实际 问题
,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
偏导数是函数在某一点处对某个自变量的导数 偏导数表示函数在某一点处对某个自变量的变化率 偏导数是函数在某一点处对某个自变量的局部线性近似 偏导数是函数在某一点处对某个自变量的局部线性近似的斜率
偏导数符号：∂
偏导数计算：通过求导公式计算
添加标题
添加标题
添加标题
汇报人：
高阶偏导数的计算 方法：使用链式法 则，逐步求导
高阶偏导数的应用 ：在多元函数优化 、物理、工程等领 域有广泛应用
偏导数在求极值中 的应用
偏导数在求最大值 中的应用
偏导数在求最小值 中的应用
偏导数在求极值时 的注意事项
切线方程：切线方程是曲线 在某一点处的切线方程
偏导数的定义：偏导数是函数 在某一点处沿某一方向的导数
《高数偏导数》课件
高阶偏导数计算
总结词
高阶偏导数的计算需要遵循一定的规律和技巧。
详细描述
高阶偏导数的计算需要理解二阶偏导数和更高阶偏导数的概念，掌握高阶偏导 数的求导法则，如高阶乘积法则、高阶链式法则等，以便在遇到高阶偏导数时 能够正确计算。
隐函数求导法则
总结词
隐函数求导法则是解决隐函数偏导数的关键。
详细描述
隐函数求导法则是基于复合函数求导法则的扩展，适用于解决由一个方程组确定的隐函数组的偏导数 问题。通过对方程两边同时求导，并利用方程组中其他方程的导数，可以求得隐函数组的偏导数。
法线方程
根据法线方向向量和原点坐标，可以求出法线方 程。
法线与切线的夹角
在曲面上某一点，法线与切线的夹角可以通过求 法线方向向量和切线方向向量的夹角得到。
04ห้องสมุดไป่ตู้
偏导数的计算技巧
链式法则
总结词
链式法则是偏导数计算中的重要技巧，用于计算复合函数的偏导数。
详细描述
链式法则是基于复合函数求导法则的，当一个复合函数中包含多个中间变量时，链式法则能够将外层函数的偏导 数通过中间变量传递到内层函数，从而简化计算过程。
2
如果函数在某点处偏导数不存在，则该函数在该 点处不可微。
3
偏导数的连续性是保证函数可微的必要条件。
可微性的概念
可微性是指函数在某点处的极限值等 于函数在该点的值，即函数在该点处 具有切线。
如果函数在某点处可微，则该点处的 切线存在，且切线的斜率等于该点处 的偏导数值。
可微性的判定
01
如果函数在某点处的左右极限相等，则该函数在该 点处可微。
乘积法则
对于两个函数的乘积的偏导数，其偏导数是各自函数的偏导数的乘积 。
高等数学中的 偏导数
x 轴的斜率.
f
y
(
x0 ,
y0
)
为曲线
z
x
f (x, x0 .
y),
在
M0(
x0 ,
y0
)
处的
切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
例.
f
(x, y)
0, 1,
x0或 y0 xy 0
f x (0,0)
lim
x0
f
(0
x,0) x
f
(0,0)
0
f y (0,0)
lim
x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) ,
f y ( x0 , y0 )
lim
y0
f ( x0 , y0
y) y
f ( x0 , y0 ) ,
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 或
y y0
f x ( x0 ,
fx(x, y,z)
lim
x0
f ( x x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
fz(x, y,z)
lim
z0
f ( x, y, z z) z
f (x, y,z).
3. 偏导数的计算
fx ( x, y0 ) 可对 f ( x, y0 ) 求 x 的导数，即 固定 y y0，求对 x 的导数。
例1. 求 z x2 3xy y2 在点 (1,2) 处的偏导数；
5-2偏导数
f y x0 , y0 tan （为切线与y轴正向的夹角）
x2 y2 z 问：曲线 4 ,在点(2,4,5)处的切线与正向 y 4 x 轴所成的倾角是多少?
答： 4
四、高阶偏导数
设z f x , y 在D内的两个偏导数
2
（证明从略）
注：高于二阶的混合偏导数结论完全类似.
3 2 3 z x y 3 xy xy 1, 例６：设
2z 2z 求: 、 . y x x y
解 这个函数的各阶偏导数仍是初等函数， 而初等函数在其定义区域上连续.
2 z 2 z 有 . xy yx z 3 x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 求 时, 视z f ( x, y )中的 x 为常数； y
例1 求z x 2 3 xy y 2在点 1,2 处的偏导数.
解
z z 2x 3 y ; x x
x 1 y 2
2 1 3 2 8 ,
z 3 x 2 y . y
y kx 0
f ( x, y )不存在 其值随k的不同而不同， lim x 0
故函数在(0,0)处不连续．
y 0
xy x 2 y 2 , x , y 0,0 , f x, y 在点 0,0 的偏导数。 0, x , y 0,0 , x 0 0 2 2 f 0 x ,0 f 0,0 x 0 f x 0,0 lim 0, lim x 0 x 0 x x
设
z f x , y , x , y D,
则称f x ( x, y) 若(x.y) D, f x ( x, y)存在，