解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

总论：常用的八种方法

1、定义法

2、韦达定理法

3、设而不求点差法

4、弦长公式法

5、数形结合法

6、参数法（点参数、K 参数、角参数）

7、代入法中的顺序

8、充分利用曲线系方程法

七种常规题型

（1）中点弦问题

（2）焦点三角形问题

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题

常用的八种方法

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法

解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（1）)0(122

22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有

02

20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122

22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有

02

20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)

4、弦长公式法

弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2

0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·|

|12a k △

·+，若直接用结论，能减少配方、开

方等运算过程。 5、数形结合法

解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2

+y 2

”,令

d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“

23+-x y ”，令2

3

+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……

6、参数法

（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y 1-1,y 1） （2）斜率为参数

当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数

当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 7、代入法中的顺序

这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法

一、定义法【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________

(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 三点共线时，距离和最小。

解：（1）（2，2）

连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+最小，此时AF 的方程为

)1(1

30

24---=

x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，

（注：另一交点为(2,21-)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（

1,4

1

） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=

41，∴Q(1,4

1) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F 是椭圆13

42

2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为

分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5

设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '

542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA

当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 （2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2

1， ∴PH PF PH PF ==

2,2

1

即 ∴PH PA PF PA +=+2