b a
c y y B -≤=，对R 中都有为唯一的数与它相对应。 3反比例函数()0k y k x
=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 求函数值域的方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法,反解法，判别式法等。
三、例题精析
考点一观察法
已知常见的初等函数，一次函数，二次函数，反比例函数的值域是特定的。【例题1】求4+
y的值域。
=x
【答案】)
,0[+∞
【解析】：函数的定义域为4-
≥x，即0≥y。
【例题2】求3
)(2+
2
x
f的值域
x
+
-
=x
【答案】：)
,2[+∞
【解析】：已知函数的定义域为R，2
2
)(2
3
(
2
)1
2≥
x
=x
f。
-
x
x
=
+
-
-
+
+
【例题3】求1)(++=x x x f 的值域。
【答案】：),1[+∞-
【解析】：令x t t x t =-≥+=1),0(12，1,0,45)21(122-≥≥-+=+-=y t t t t y
考点四 分离常数法
【例题4】求112)(+-=
x x x f 的值域
【答案】：2≠y
【解析】：因为1321322112)(+-=+-+=+-=
x x x x x x f ，2132,01≠+-≠+x x 。
考点五 反解法
【例题5】函数()221
x y x R x =∈+的值域是______________． 【答案】： [)0,1
【解析】：注意到20x ≥，故可以先解出2
x ，再利用函数的有界性求出函数值域。 由221x y x =+，得21y x y =-，∴01y y
≥-，解之得01y ≤<；
【例题6】函数)0(1
)(224>+-=t x x x x f 的值域 【答案】：322-
【解析】：令t x =2，322312112)1(2)1(1)(2-≥-+++=+++-+=+-=t t t t t t t t t x f
【例题7】函数]4,2[,296)(23-∈-+-=x x x x x f 的值域
【答案】：]2,52[-
【解析】：,296)(23-+-=x x x x f 3,1,09123)(212===+-='x x x x x f ，当]4,3[]1,2[ -∈x 时，)(x f 单调递增，)3,1(∈x 时，)(x f 单调递减，]2,52[)(-∈x f 。
四、课堂练习
【基础型】
1：求2()46f x x x =-+在[1,5]上的值域.
答案：]11,2[
解析：配方：2()(2)2f x x =-+， f(x)的对称轴为x=2在[1,5]中间min (2)2y f ==，max (5)11y f ==
所以，f(x)的值域为[2,11].
2：51()42x f x x -=
+求的值域. 答案：5{|}4y y ≠ 解析：510(42)1515744()424242(42)x x f x x x x +---===-+++，
由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到54，即：函数f(x)的值域为5{|}4
y y ≠. 3已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值.
答案：4
解析：由x y x
62322=+得20,0323,03232222≤≤∴≥+-∴>+-=x x x y x x y 又,2
9)3(2132322222+--=+-=+x x x x y x ∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.42
9)32(212=+--
【巩固型】
1 求函数2231()2
x f x x -=+的值域. 答案：1,32y ⎡⎫∈-⎪⎢
⎣⎭ 解析：由于22x +不等于0，可将原式化为22231yx y x +=- 即 2
(3)12y x y -=--（由于20x ≥）只需3y ≠,则有 21203y x y --=
≥- ， (3)y -(12)0y --≥ 所以，函数值域1,32y ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 2 求函数221
x y x =+的值域 答案： []1,1y ∈-
解析：由于函数的定义域为R ，即210x +≠，原式可化为 2
20yx x y -+=
所以，2440y ∆=-≥，所以，函数值域为[]1,1y ∈-
3 求函数()2f x x = 答案：15,8y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
解析：令20,1t t x t =
≥=+则，带入原函数解析式中得 2221
152(1)222()48y t t t t t =+-=-+=-+，因为，0t ≥，所以，函数的值域为15,8y ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
.
