机器人操作臂动力学
机器人概论(2004版)7-第五章 操作臂动力学
此外还有应用高斯原理、阿佩尔（Appel）方程式、旋量对 偶数法和凯恩（Kane）法等来分析动力学问题的。
2009-2-20
机电研究室－李挺 (http:// )
3
机器人概论
第五章 操作臂动力学
c1θ&12
+
1 2
c2θ&22
x
外力做的功W
θ
(x1, y1)
d1 m1
r2
W = T1θ1 + T2θ2
2009-2-20
机电研究室－李挺 (http:// )
θ2 d2
(x2, y2)
m2
11
机器人概论
第五章 操作臂动力学
牛顿-欧拉法求解动力学方程
d dt
(
∂K
∂θ&1
2m2 d1d 2
cosθ2 ]θ&&1
+
(m2d
2 2
+
m2 d1d 2
cosθ2 )θ&&2
+
c1θ&1
− 2m2d1d2 sinθ2θ&1θ&2 − m2d1d2 sinθ2θ&22 + (m1 + m2 )gd1 sinθ1 + m2 gd2 sin(θ1 +θ2 )
T2
=
(m2
d
2 2
+
m2 d1d 2
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎣⎡θθ&&1222
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
D112 D212
机器人学速度和静力操作臂动力学习题
第5次速度和静力、操作臂动力学加*的题目（7道）是必做题，其它（2道）题目自己选择一道做即可。
Matlab习题要在文档中给出必要的证明解题过程和结果。
5.1[10]解释下列名词的含义（1）线速度（2）角速度（3）雅克比矩阵（4）奇异性解答：5.2[20]解答：5.3[10] *如错误！未找到引用源。
所示是具有两个转动关节的操作臂。
计算出操作臂末端的速度，将它表达成关节速度的函数。
用在坐标系{0}中表达的雅可比矩阵完成。
图5-2 两连杆操作臂解答：5.4 [15] 一般机构有时存在某些特定的位形，称作“各向同性点”，这时雅可比矩阵的各列正交且模相同。
对于错误！未找到引用源。
的两连杆操作臂，求出存在的各向同性点。
提示：对1l ，2l 有什么要求？ 解答：5.5 [20] * 如图5-3所示为平面3R 机器人，建立合适的坐标系，分别写出工具坐标系和基坐标系中的雅可比矩阵，并分别根据两个雅可比矩阵计算什么情况下该机器人会出现奇异点，计算结果是否相同？图5-3三连杆平面操作臂解答：5.6[30]*任何具有3个旋转关节且连杆长度非零的机构在其工作空间内一定有一条奇异点轨迹（a locus of singular points）的说法是否正确？解答：5.7[25]*求出图5-4所示的3自由度操作臂雅可比矩阵。
在坐标系{4}中写出此矩阵，坐标系{4}位于手部末端且与坐标系{3}的方位相同。
图5-4 3R 非平面操作臂解答： 5.8 [20] * Given0.6120.50.61210.3540.8660.35430.70700.70770001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ If the velocity vector at the origin of {A} is 5130.900.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Find the 6*1 velocity vector with reference point at the origin of {B}. 解答：5.9 [MATLAB 习题] *这个练习的重点是平面3自由度3R 机器人（见图5-3；DH 参数由表5-1给出）的雅可比矩阵及行列式、分布速度控制仿真和静力学逆解。
机器人操作臂动力学参数的动静态辨识方法研究
验验证 了该辨识算 法的正 确性与可行性。 关键词 ： 动力学参数 ； 动静态辨识 ； 机械臂
中图分类 号 ： Ｔ Ｈ１ １ ３； Ｔ Ｐ ２ ４ １ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １ — ４ ５ ５ １ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ３— ０ ２ ８ ３— ０ ６
Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｙ ｉ ｎ ｇ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｍａ ｎ ｉ ｐ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ ｒ
第３ １卷第 ３期
２ ０ １ ４年 ３月
机
电
工
程
Ｖｏ １ ． ３ ｌ Ｎｏ ． ３ Ｍａ ｒ ．２ ０ １ ４
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｌ ＆ Ｅｌ ａ ｅ ｃ ｔ ｉｃ ｒ ｌ ａ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
ＺＨＡＮＧ Ｙａ ｎ
（ Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｃ ｈ ｔ ｍ Ｉ ｎ ｓ ｉ ｔ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ｆ Ｏ ｐ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｆ ｉ ｎ ｅ Ｍｅ ｃ ｈ ａ ｎ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ａ ｃ ａ ｄ ｅ ｍ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ， Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｃ ｈ ｕ ｎ １ ３ ０ ０ ３ ３ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ａｉ ｍｉ ｎ ｇ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｏ ｆ ｉ ｎ ｅ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｒ ｏ ｂ ｏ ｔ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｐ ａ － ｒ ｍ ｅ ａ ｔ ｅ ｓ ｒ ｗ ａ ｓ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ．Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｈ ａ ｓ ｅ ｏ ｆ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，ａ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｍａ ｔ ｉ ｒ ｘ ｗ ａ ｓ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｇ ｈ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｎ ｉ ｆ ｇ ｕ ｒ ａ — ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ ｏｂ ｒ ｏ ｔ ａ ｒ ｍｓ ．Ｔ ｈ ｅ ｎ，ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｔ ｏ ｆ ｍａ ｓｓ ａ ｎ ｄ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ — ｏ ｆ － ｍａ ｓｓ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｗａ ｓ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ． Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｎｅ ｗ— ｔ ｏ ｎ － Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ｌｇ ａ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ，ｄ ｅ ｃ ｏ ｕ ｐ ｌ ｅ ｄ ｄ ｙ ｎ ｍ ｉ ａ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｍｅ ｃ ｈ ｎｉ ａ ｃ ｌ ａ ａ ｒ ｌ ｎ ｓ ｄ ｙ ｎ ｍ ｉ ａ ｃ ｓ ｗａ ｓ ｄ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ．Ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｈ ａ ｓ ｅ ｏ ｆ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｉ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｆ ｉ ｃ
机器人学导论第六章
期望求出期望的关节力矩矢量τ。这个运动 学公式对操作臂控制问题（第10章）很有 用。第二个问题是计算施加在一组关节力 矩的情况下关节如何运动。也就是已知一 个关节矢量τ，计算出操作臂运动的
， 和 。这对操作臂的仿真很有用。
6.2 刚体的加速度
在任一瞬时对刚体的线速度和加速度进行 求导，可分别得到线加速度和量矩阵， V θ,θ是n×1
的离心力和哥氏力矢量， Gθ 是重力矢量。上式
之所以成为状态空间方程，是因为式中 V θ,θ取
决于位置和速度。M θ和 Gθ 中的元素都是关于
操作臂所有关节位置θ的复杂函数，而 V θ,θ中 的
元素都是关于 和的 复杂函数。
可以看出惯性张量是坐标系位姿的函数。众所 周知的平行移轴定理就是在参考坐标系平移是 惯性张量如何变化的计算方法。平行移轴定理 描述了一个以刚体质心为原点的坐标系平移到 另一个坐标系是惯性张量的变换关系。
假设{C}是以刚体质心为原点的坐标系，{A}为任 意平移后的坐标系，则平行移轴定理可表示为
式中 PC xc yczc T 表示刚体质心在坐标系{A}中的位
机器人学导论
第6章 操作臂动力学
第六章 操作臂动力学
6.1概述 到目前为止，我们只研究了操作臂的运动
学。我们已研究了静态位置、静态力和速 度；但是从未考虑引起运动所需的力。在 本章中，将考虑操作臂的运动学方程—— 由驱动器施加的力矩或施加在操作臂上的 外力是操作臂运动。
与 第一操个作臂问动题力，学已有知关一的个两轨个迹问点题 有，待和解决。
计算速度和加速度的向外迭代法
为了计算作用在连杆上的惯性力，需要计算操作 臂每个连杆在某一时刻的角速度、线加速度和角 加速度。首先对连杆1进行计算，由第五章知识
第6章操作臂动力学
zc
1 2
w
l
h
C Izz
m (w2 12
l2 )
,
C Ixy 0
第 6 章: 操作臂动力学 6.3 质量分布
其它参量由对称性得出：
m 12
(l
2
h2
)
CI
0
0
0 m (w2 h2) 12
0
0
0
m 12
(l
2
w2
)
第 6 章: 操作臂动力学 6.3 质量分布
惯性张量的其他性质: ---如果由坐标系的两个坐标轴构成的平面为刚体质量分布的 对称平面，则正交于这个对称平面的坐标轴与另一个坐标轴 的惯量积为0. ---惯量距永远是正值，而惯量积可能正，可能负. ---三个惯量距的和保持不变. ---惯性张量的特征值为刚体的主惯量距，相应的特征矢量为 主轴。
h2
)
AI
m wl 4
m hw 4
m wl 4
m (w2 h2) 3
m hl 4
m hw 4
m hl 4
m 3
(l 2
w2
)
惯性张量是坐标系位姿的函数.
第 6 章: 操作臂动力学 6.3 质量分布
平行移轴定理 :
A Izz C Izz m(xc2 yc2 ) A Ixy C I xy mxc yc
刻的角速度、线加速度和角加速度. 可应用迭代方法完成这些计算。 首先对连杆1进行计算，接着计算下一个连杆，这样一直向外迭代到连 杆n – 计算出每个连杆质心的线加速度和角加速度之后，运动牛顿欧拉公式 计算出作用在连杆质心上的惯性力和力矩 .
第 6 章: 操作臂动力学 6.4 牛顿欧拉方程
角速度在连杆之间的“传递问题”:
六自由度机械臂动力学
六自由度机械臂动力学是研究六自由度机械臂运动规律的学科，主要包括六自由度机械臂的运动学和动力学两部分。
运动学主要研究六自由度机械臂的运动轨迹、速度、加速度等运动参数，不涉及力和受力的问题。
运动学方程通常采用正解运动学或者逆解运动学的方法进行求解。
动力学则需要考虑六自由度机械臂在运动过程中所受到的各种力，如重力、摩擦力、弹性力等，并研究这些力如何影响机械臂的运动状态，从而得出动力学方程。
动力学方程通常通过牛顿-欧拉方程或者拉格朗日方程进行求解。
六自由度机械臂的动力学问题是机器人学和控制理论中的重要问题之一。
对于复杂的实际应用，如工业自动化、医疗机器人、空间探索等，精确的六自由度机械臂动力学模型和控制算法对于实现高精度、高效率的机器人操作至关重要。
机器人学速度和静力操作臂动力学2习题
第6次 速度和静力、操作臂动力学加*的题目是必做题，其它题目自己选择50%做即可，鼓励大家首选自己拿不准的题目。
5.1 [20]* 不考虑重力，在图6-1所示的平面3R 机器人的末端执行器（即工具坐标系处）施加力Tt t xyz f f f f ⎡⎤=⎣⎦（相对于工具坐标系描述），为在图示位置维持平衡，则各个关节应施加的力矩各为多少？写出具体的求解过程。
图6-1 三连杆平面操作臂解答：DH 参数表如下：变换矩阵如下:111101000000100001c s s cT -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦221221200000100001c s L s c T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 33233230000010001c s L s c T -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦33410001000010001L T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∙11100θω⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00011υ 211122212222221212ˆ()0000000001R Z c s s c ωωθθθθθ-=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦21111122112221121221211()()0000(000)01000v R v P c s L L s s c L c ωθθθ-=⋅+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦32123332333333123123ˆ()0000000001R Z c s s c ωωθθθθθθθ-=⋅+⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3212223322333121233121123121312121231213121212()()000(00)0100[()][()]0v R v P c s L s L s c L c c L s s L c L s L s c L c L ωθθθθθθθθθθθθ-=⋅+⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+++⎢⎥=-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 从上面的计算中可知，旋转矩阵为：11011122122233233334000010000100001100010001c s R s c c s R s c c s R s c R θθθθθθθθθθθθ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦利用书中公式1111111i i i i i i ii i i ii i i i if R f n R n P f +++++++==+⨯由Tt t x y z f f f f ⎡⎤=⎣⎦ 有33T xyz f f f f ⎡⎤=⎣⎦33333000x y z z y L f n f L f f L f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⨯=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 33332233330001x x y y xy z z c s f c f s f f s c f s f c f f f θθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦33233223333333333232330000010()x y z x y y z zz zy x y c s L c f s f n s c L f s f c f L f f s L f c L f L f L f L s f c f θθθθθθθθθθθθ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦223311223323323323323300001()()()()x y xy z x y x y x y x y z c s c f s f f s c s f c f f c c f s f s s f c f s c f s f c s f c f f θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎡⎤⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦22331122332323312332332332332332330001()()()0()()0()(zz z y x y x y x y x y x y z z c s s L f n s c c L f L f L f L s f c f L c c f s f s s f c f s c f s f c s f c f f c s L f s c L f θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⨯-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=22332332132331233233)()()()(()())z z z z z zy x y x y x y L f s s L f c c L f L f L f L f L s f c f L s c f s f c s f c f θθθθθθθθθθθθ⎡⎤+⎢⎥+--+⎢⎥⎢⎥+++-++⎣⎦5.2 [10] 求一个质量为m ，底面圆半径为r ，高为h ，坐标系的原点建立在其质心处的均质刚性圆柱体的惯性张量。
第5章-操作臂动力学
J
l1s1 l2s12
l1c1
l2c12
l2s12
l2c12
则该操作臂的力雅可比矩阵为：
JT
l1s1 l2
l2 s12
s12
l1c1 l2c12
l2c12
根据 JT F ，得：
1 2
l1s1 l2s12
l2 s12
l1c1 l2c12 Fx
l2c12
Fy
（2） 已知关节驱动力矩 ，确定操作臂末端执行器对外界环境的作用力
F 或负荷的质量。这类问题是第一类问题的逆解。
此时有：
F
JT
1
【例5-1】
由图5-3所示的一个二自由度平面关节操作臂，已知末端点力为 F FX ,FY T
求相应于该末端点力的关节力矩（不考虑摩擦）。
解: 已知该操作臂的速度雅可比矩阵为
fi1,i fi,i1 mi g 0
ni1,i ni,i1 ri1,i ri,Ci fi1,i ri,Ci fi,i1 0
式中：ri1,i 为坐标系 i 的原点相对于坐标系i 1的位置矢量； ri,Ci 为质心相对于坐标系 i的位置矢量。
假设已知外界环境对操作臂末端执行器的作用力和力矩，那么可以由最后 一个连杆向零连杆（基座）依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。操作臂动力学问题有两类：
（1） 给出已知得轨迹点上的 q 、q及 q ，即机械臂关节位置、速度和加
或写为：
W T q FT X
根据虚位移原理，操作臂处于平衡状态的充分必要条件是对任意的符合几何
约束的虚位移，有
W 0
W Tq FT Jq
JT F
操作臂动力学名词解释
操作臂动力学名词解释
嘿，朋友！你知道操作臂动力学吗？这可不是什么玄乎的东西哦！
简单来说，操作臂动力学就像是操作臂的“内功秘籍”。
比如说，你看那机器人的手臂，它能那么灵活地抓取东西、移动，
这背后可都是操作臂动力学在起作用呢！就好比一个运动员，要想在
赛场上表现出色，就得有强大的身体素质和技巧，这就是他们的“动力学”。
操作臂动力学研究的就是操作臂在运动过程中的各种力啊、力矩啊、速度啊、加速度啊等等这些玩意儿。
为啥要研究这个呢？哎呀，这可
太重要啦！如果不搞清楚这些，那操作臂可能就会变得笨手笨脚的，
不是抓不住东西，就是动作不精准。
你想想看，要是在工厂里，机器人的操作臂因为动力学没搞明白，
老是出错，那不是耽误事儿嘛！又或者在医疗领域，操作臂要给病人
做手术，要是没研究透动力学，那岂不是很危险？
咱再打个比方，操作臂动力学就像是给操作臂画了一张详细的“行
动地图”。
它告诉操作臂该怎么用力，怎么移动，才能达到最佳效果。
这可不是随便瞎搞就能行的呀！
而且哦，操作臂动力学可不是孤立存在的。
它和好多其他方面都有
关系呢！比如说机械结构，要是结构不合理，那动力学再好也发挥不
出来呀！还有控制系统，得和动力学完美配合，才能让操作臂乖乖听话。
总之，操作臂动力学真的超级重要！它就像是操作臂的灵魂，没有它，操作臂就只是个空架子。
所以啊，我们可得好好研究它，让操作臂变得更厉害，为我们人类做更多的贡献！我的观点就是，操作臂动力学是推动机器人技术发展的关键之一，绝对不能忽视！。
第5章操作臂动力学
动力学研究物体的运动和作用力之间的关系。操作臂动力学问题有两类：
（1） 给出已知得轨迹点上的 q 、q及 q ，即机械臂关节位置、速度和加
速度，求相应得关节力矩向量 ，这对实现操作臂动态控制室相当有用得。
（2） 已知关节驱动力矩，求机械臂系统相应的各瞬时的运动，也就是说，
给出关节力矩向量 ，求操作臂末端执行器所产生的运动 q 、q 及 q 。这
有：
1 l1s1 l2s12 Fx l1c1 l2c12 Fy
2 l2 s12 Fx l2c12 Fy
如图（b）所示，在某瞬时 1 00，2 900 则在该瞬时与末端执行器上得 力相对应得关节力矩为
1 l2 Fx l1Fy
2 l2 Fx
5.2 操作动力学-拉格朗日方法
假设关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩 i 与操作臂末
端执行器力 F 的关系可用下式来描述：
JTF
式中：J T 为n6阶操作臂力雅可比矩阵或力雅可比。
证明如下（虚位移原理）：
考虑各个关节的虚位移为 qi ，末端执行器的虚位移为 X 。如图所示
有：
X
d
q q1 q2
qn T
式中： d dx dy dz T和 x y z T 分别对应于末端执行器的线虚
pT li
S
i
Vli
p*i pli dV 0
（3） 旋转的动能分量：
1 2
r ST T
Vli i
i
S
i
ridV
1 2
Ti
Vli ST ri S ri dV i
式中利用了 S i ri S ri i 这一性质，由于矩阵算子 S 为：
0
S
ri
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
第六章 机器人动力学
第六章机器人操作臂动力学动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。
操作臂动力学有两个问题需要解决。
①动力学正问题：根据关节运动力矩或力，计算操作臂的运动（关节位移，速度和加速度）②动力学逆问题：已知轨迹运动对应的关节位移，速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。
机器人操作臂是个复杂的动力学系统，由多个连杆和多个关节组成，具有多个输入和多个输出，存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。
因此，对于机器人动力学的研究，引起了十分广泛的重视。
所采用的方法很多，①有拉格朗日方法，②牛顿-欧拉方法，③高斯法，④凯恩方法，⑤旋量对偶数方法等等。
在此重点介绍牛顿-欧拉方法，它是基于运动坐标和达朗贝尔原理来建立相应的运动方程。
研究机器人动力学的目的是多方面的，动力学正问题与操作臂仿真有关，逆问题是为实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
机器人动力学模型主要用于机器人的设计和离线编程。
在设计中需根据连杆质量，运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。
在离线编程时，为了估计机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。
这些都必须以机器人动态模型为基础。
为了建立机器人动力学方程，在此首先讨论机器人运动的瞬时状态，对其进行速度分析和加速度分析，研究连杆的静力平衡，然后利用朗贝尔原理，将静力学平衡条件用于动力学。
§6-1连杆的速度和加速度点的速度表示一般要涉及到两个坐标系：要指明速度是相对于哪个坐标系的运动所造成的。
① 要指明在哪个坐标系中描述这一速度。
连杆I 相对于参考系{o 的速度用w i 和v i 表示; w i 是连杆坐标系{i}的角速度矢量，v i 是{i}的原点线速度矢量。
如果把两个向量在{i}中描述，即为iw i 和iv i。
为了描述刚体在不同坐标系中的运动，设有两坐标系：参考系{A}和运动坐标系{B}.{B}相对于{A}的位置矢量为0B A P ,旋转矩阵为R AB 。
11.5操作臂动力学
操作臂动力学运动方程一•已知关节的角度、角速度、角加速度等信息，求各关节所需提供的力1tau = R.rne(q, qd, qdd)•如果机器人末端受到力的作用fext，则可用以下形式：2tau = R.rne(q, qd, qdd, grav, fext)其中，grav是重力加速度；fext=[Fx Fy Fz Mx My Mz]。
运动方程一•查看动力学参数：3 R.links(i).dyn；每个连杆有10个动力学参数，分别是：运动学参数，连杆质量，质心位置，惯性矩阵，电机惯量，电机摩擦，库伦摩擦力和齿轮传动比。
% 静止Q1 = p560.rne(qn,qz,qz,[0,0,0]'); %零重力下关节力矩% 运动运动方程一Example5：puma560逆动力学Q2 = p560.rne(qn,[1 0 0 0 0 0],qz,[0 0 0]'); %关节1以1rad/s的速度转动% 参看动力学参数p560.links(1).dynp560.links(2).dyn1.重力载荷gravload= p560.gravload(qn); %计算重力负荷p560.gravity %查看重力% 重力负荷随关节位型的变换[Q2 Q3] = meshgrid(-pi:0.1:pi, -pi:0.1:pi);for i= 1:numcols(Q2)for j = 1:numcols(Q3)1.重力载荷g = p560.gravload([0 Q2(i,j) Q3(i,j) 0 0 0]);g2(i,j) = g(2);g3(i,j) = g(3);endendsurfl(Q2,Q3,g2);surfl(Q2,Q3,g3);2.惯性矩阵关节1的惯量随关节2和3角度的变换M11(q2,q3) M = p560.inertia(qn);%惯性矩阵% 惯性矩阵随关节位型的变换[Q2 Q3] = meshgrid(-pi:0.1:pi, -pi:0.1:pi);for i= 1:numcols(Q2),for j = 1:numcols(Q3);M= p560.inertia([0 Q2(i,j) Q3(i,j) 0 02.惯性矩阵惯性积M12(q2,q3) 0]);M11(i,j) = M(1,1);M12(i,j) = M(1,2);endendsurfl(Q2,Q3,M11);surfl(Q2,Q3,M12);函数：R.coriolis(Q,QD);%标准位姿下，所有关节以0.5rad/s转动3.科氏矩阵>>qd=0.5*[111111];>>C=p560.coriolis(qn,qd)Ci,j代表关节j的速度到关节i上广义力的耦合。
机械臂动力学与控制
描述物体角动量的变化与力矩的关系，即力矩等于角动量变化率 。
关节型机械臂动力学
连杆长度与速度关系
根据刚体动力学原理，分析连杆长度变化对末端执行 器速度的影响。
力矩与关节角度关系
研究关节驱动力矩与关节角度之间的关系，建立动力 学模型。
动态平衡与稳定性
分析机械臂在运动过程中的动态平衡与稳定性问题。
操作臂动力学
操作臂建模
根据操作臂的结构和运动特点，建立操作臂的动 力学模型。
动态特性分析
分析操作臂的动态特性，如固有频率、阻尼比等 。
控制策略设计
基于操作臂的动力学模型，设计合适的控制策略 ，实现精确的运动控制。
02
机械臂控制方法
经典控制理论
01
02
03
04
PID控制
PID控制器是一种线性控制器 ，通过比较期望输出与实际输 出的误差来调整系统参数。
发展更安全、更自然的人机协作模式 ，使机械臂能够更好地适应人类的操 作习惯和工作流程。
模块化设计
通过模块化设计，使机械臂能够根据 特定任务技术
利用新型材料和先进的制造技术，优 化机械臂的结构和性能。
技术前沿与展望
柔性机械臂
自适应控制算法
结合柔性材料和传感器技术，实现更自然 、更安全的机械臂设计。
通过训练神经网络或其他机器学习模型，基于学习的轨迹规划能够自适应地处理各种复杂环境和任务，提高机械臂的适应性 和灵活性。
04
机械臂应用与实例
工业机械臂
工业机械臂是用于自动化生产 线上的重要设备，能够执行重 复性、高强度的工作，提高生 产效率和降低成本。
工业机械臂通常具有较高的负 载能力和精度，能够完成搬运 、装配、焊接等复杂任务。
6机器人动力学(精)
6.2 连杆静力学分析
当连杆处于平衡状态时，其上的合力和合力矩为零，因此得
到力和力矩的平衡方程式（在{i}中的表示）：
i
i i fi fi 1 mi g 0
i
i i i i i ni ni 1 pi 1 fi 1 rci mi g 0
解：总动能 总势能为
（θ为广义坐标）
mg
z
代入Lagrange方程 果一致。这里I=IZ=IC+mL2C
得
，与前面的结
问题：
１.若1自由度机械手为匀质连
杆，质量为m，长度为L，结
果会怎样？
z
２.若1自由度机械手为集中质量连杆，长度为L，集中质量m在连 杆末端L处，结果会怎样？
6.5 关节空间和操作空间动力学
关节空间动力学方程：
D(q)q h(q, q) G(q)
它反映了关节力矩与关节变量、速度和加速度之间的函数关系。
G ( q ) 为重力矢量。 为离心力和哥氏力向量； D (q ) 为惯性矩阵； h(q, q )
操作空间动力学方程：
F V (q) x u(q, q) p(q)
如速度矢量，纯力矩矢量。由维数、大小、方向和作用线（或位置） 四要素所规定的矢量称为线矢量，如力矢量。
二、旋转关节的连杆运动传递
线速度和角速度传递关系为：
i 1 i 1 i 1 R i i1 zi 1 i 1 i i
i 1
i 1 i i i vi 1 i R( vi i pi 1 )
忽略连杆本身的自重，从末端连杆逐次向基座（连杆0 ）反
向递推各连杆所受的力和力矩，写成在自身坐标系中的表示：
机器人学速度和静力操作臂动力学习题
机器⼈学速度和静⼒操作臂动⼒学习题第5次速度和静⼒、操作臂动⼒学加*的题⽬（7道）是必做题，其它（2道）题⽬⾃⼰选择⼀道做即可。
Matlab习题要在⽂档中给出必要的证明解题过程和结果。
5.1[10]解释下列名词的含义（1）线速度（2）⾓速度（3）雅克⽐矩阵（4）奇异性解答：5.2[20]解答：5.3[10] *如错误！未找到引⽤源。
所⽰是具有两个转动关节的操作臂。
计算出操作臂末端的速度，将它表达成关节速度的函数。
⽤在坐标系{0}中表达的雅可⽐矩阵完成。
图5-2 两连杆操作臂解答：5.4 [15] ⼀般机构有时存在某些特定的位形，称作“各向同性点”，这时雅可⽐矩阵的各列正交且模相同。
对于错误！未找到引⽤源。
的两连杆操作臂，求出存在的各向同性点。
提⽰：对1l ，2l 有什么要求？解答：5.5 [20] * 如图5-3所⽰为平⾯3R 机器⼈，建⽴合适的坐标系，分别写出⼯具坐标系和基坐标系中的雅可⽐矩阵，并分别根据两个雅可⽐矩阵计算什么情况下该机器⼈会出现奇异点，计算结果是否相同？图5-3三连杆平⾯操作臂解答：5.6[30]*任何具有3个旋转关节且连杆长度⾮零的机构在其⼯作空间内⼀定有⼀条奇异点轨迹（a locus of singular points）的说法是否正确？解答：5.7[25]*求出图5-4所⽰的3⾃由度操作臂雅可⽐矩阵。
在坐标系{4}中写出此矩阵，坐标系{4}位于⼿部末端且与坐标系{3}的⽅位相同。
图5-4 3R ⾮平⾯操作臂解答： 5.8 [20] * Given0.6120.50.61210.3540.8660.35430.70700.70770001--??If the velocity vector at the origin of {A} is 5130.900.5-Find the 6*1 velocity vector with reference point at the origin of {B}. 解答：5.9 [MATLAB 习题] *这个练习的重点是平⾯3⾃由度3R 机器⼈（见图5-3；DH 参数由表5-1给出）的雅可⽐矩阵及⾏列式、分布速度控制仿真和静⼒学逆解。
机械臂运动学与动力学分析研究
机械臂运动学与动力学分析研究机械臂是一种能够模拟人类手臂运动的机器装置，广泛应用于工业生产线、医疗器械、军事装备等领域。
机械臂的准确运动控制是其关键技术之一，而机械臂运动学与动力学分析则是实现准确运动控制的基础。
本论文将重点介绍机械臂运动学与动力学的研究内容和方法。
一、机械臂运动学分析机械臂运动学分析是指研究机械臂的运动规律、位姿和末端执行器位置之间的关系。
机械臂的运动学分析包括正运动学和逆运动学两个方面。
1. 机械臂正运动学分析机械臂正运动学分析是通过已知各关节位置和连杆长度等信息，计算机械臂末端执行器的位置和姿态。
最常用的方法是采用坐标转换矩阵，通过连续的旋转和平移矩阵计算机械臂的运动学正解。
该方法可以应用于多连杆机械臂的正运动学分析，具有计算简单、精度高等优点。
2. 机械臂逆运动学分析机械臂逆运动学分析是通过已知末端执行器位置和姿态，计算各关节的位置和姿态。
逆运动学问题一般存在多解或无解的情况，因此逆运动学问题的求解是一个复杂的优化问题。
常用的方法包括解析解法、数值解法和混合解法等。
解析解法适用于特定的机械结构，但对于一般机械臂来说，解析解法往往难以求得，需要采用数值解法或混合解法。
二、机械臂动力学分析机械臂动力学分析是研究机械臂的力学性能和载荷分析的过程。
机械臂动力学分析涉及到关节力矩的计算、扭矩的优化、动力学模型的建立等。
1. 机械臂关节力矩计算机械臂关节力矩是指机械臂各个关节所需的扭矩大小。
关节力矩的计算通常需要考虑机械臂的负载、摩擦、惯性等因素。
常见的计算方法包括拉格朗日动力学法、牛顿-欧拉动力学法等。
2. 机械臂扭矩优化机械臂扭矩优化是指通过调整机械臂关节力矩，使机械臂在满足运动要求的前提下，尽可能减小能耗和机械结构的疲劳损伤。
扭矩优化的方法包括最小二乘法、规划法等。
3. 机械臂动力学模型建立机械臂动力学模型是描述机械臂运动学与动力学关系的数学模型。
机械臂动力学模型可以通过拉格朗日方程、牛顿-欧拉方程等方法进行建立。
ur3机械臂动力学参数
UR3机械臂动力学参数1. 机械臂简介UR3机械臂是由丹麦Universal Robots公司开发的一款灵活、易于操作的工业机器人。
它具有6个自由度，可以在工业生产线上完成各种复杂的任务，如装配、焊接、搬运等。
机械臂的动力学参数对于控制和规划机器人的运动至关重要。
2. 动力学参数的定义动力学参数是描述机器人运动和力学特性的参数。
在UR3机械臂中，主要包括质量、惯性矩阵、摩擦系数等。
这些参数可以通过实验测量或计算得到。
3. UR3机械臂的动力学模型UR3机械臂的动力学模型可以用以下方程表示：其中，M是质量矩阵，C是科里奥利力矩阵，G是重力矩阵，τ是关节力矩，q是关节角度，q̇是关节角速度。
4. 动力学参数的测量方法为了获取UR3机械臂的动力学参数，可以采用以下方法进行测量：4.1 质量测量质量参数可以通过称重器或测力传感器来测量。
将机械臂的各个部件分别放在称重器上，测量其质量，并计算得到总质量。
4.2 惯性矩阵测量惯性矩阵描述了机械臂围绕各个轴的转动惯量。
可以通过旋转实验来测量机械臂的惯性矩阵。
在旋转实验中，通过施加外力或扭矩，使机械臂绕不同轴旋转，并测量其角加速度和扭矩，从而计算惯性矩阵。
4.3 摩擦系数测量摩擦系数描述了机械臂关节的摩擦特性。
可以通过施加不同大小的力或扭矩，测量机械臂关节的摩擦力或摩擦矩，从而计算摩擦系数。
5. 动力学参数的应用动力学参数对于机械臂的控制和规划非常重要。
通过测量和获取动力学参数，可以实现以下应用：5.1 运动控制动力学参数可以用于机械臂的运动控制。
通过对动力学模型进行建模和仿真，可以根据期望的运动轨迹和力矩要求，计算出适合的关节角度和速度控制指令，实现精确的运动控制。
5.2 动作规划动力学参数可以用于机械臂的动作规划。
通过分析机械臂的动力学特性，可以确定机械臂在执行特定任务时所需的力矩和速度范围，从而规划出合适的动作序列和路径规划。
5.3 力控制动力学参数可以用于机械臂的力控制。
机器人臂的动力学建模与控制
机器人臂的动力学建模与控制1. 引言在现代工业和科学领域，机器人臂的应用越来越广泛。
机器人臂的动力学建模与控制是其中关键的研究方向之一。
动力学建模和控制能够决定机器人臂的运动精度和负载能力，对于实现机器人臂的精确运动和复杂任务十分重要。
本文将介绍机器人臂的动力学建模与控制的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的挑战和前景。
2. 动力学建模机器人臂的动力学建模是描述机器人臂运动的力和力矩关系的过程。
它基于牛顿定律和欧拉力矩方程，将机器人臂的运动状态和外部力矩联系起来。
动力学建模需要考虑机器人臂的质量、惯性、摩擦和外部力等因素，以推导出描述机器人臂运动的微分方程组。
一种常用的方法是使用拉格朗日力学，根据机器人臂的运动学关系和能量守恒原理，推导出系统的拉格朗日方程。
通过这些方程，可以得到机器人臂的运动学和动力学特性，如位姿、速度、加速度、惯性矩阵和科里奥利力等。
动力学模型的建立可以基于基于物理学原理，也可以使用数据驱动的方法，如系统辨识和机器学习等。
3. 控制方法机器人臂的控制旨在实现对机器人臂运动的精确控制。
控制方法可以分为两类：开环控制和闭环控制。
3.1 开环控制开环控制是指在没有反馈信息的情况下，通过预设的控制输入直接控制机器人臂的运动。
开环控制的优势是简单易实现，适用于稳定的任务。
但是，开环控制无法考虑到外部干扰和误差的影响，容易引起系统不稳定和运动误差累积的问题。
3.2 闭环控制闭环控制则是在开环控制的基础上引入反馈信息，通过与期望状态进行比较，调整控制输入来实现对机器人臂运动的精确控制。
闭环控制可以有效地消除外部干扰和误差的影响，提高系统的稳定性和控制精度。
常见的闭环控制方法包括位置控制、速度控制和力/力矩控制等。
4. 动力学建模与控制的挑战虽然动力学建模和控制方法在机器人臂的运动控制中具有重要作用，但也面临着一些挑战。
4.1 复杂性机器人臂的动力学模型常常非常复杂，涉及多个关节和链条的运动。
机械臂的操作是应用了什么原理
机械臂的操作是应用了什么原理1. 介绍机械臂是一种能够完成各种复杂操作任务的机器人装置。
它由多个关节组成，通过驱动器控制，实现精确而灵活的运动。
机械臂的操作原理涉及多个方面的知识，包括力学、控制理论和传感技术等。
2. 力学原理机械臂的操作离不开力学原理的支持。
力学原理主要包括运动学和动力学两个方面。
2.1 运动学机械臂的运动学研究的是机械臂的几何关系和运动规律。
它通过建立关节角度与末端执行器位置之间的数学模型，来描述机械臂的运动规律。
根据杆件和关节的几何关系，可以推导出机械臂各关节之间的位置和角度关系。
运动学分析为机械臂的轨迹规划和运动控制提供了基础。
2.2 动力学机械臂的动力学研究的是机械臂的力学特性和力学行为。
它通过描述机械臂在外力作用下的运动规律，分析机械臂各关节所受的力和力矩，并推导出运动方程。
动力学分析有助于了解机械臂的负载能力、惯性特性和运动稳定性，为机械臂的动态控制提供依据。
3. 控制理论机械臂的操作需要通过控制器对运动进行控制。
控制理论主要包括位置控制、速度控制和力控制等。
3.1 位置控制机械臂的位置控制是通过控制关节的角度，使得机械臂末端执行器达到指定的位置。
位置控制需要测量机械臂末端执行器的位置，并根据期望位置和当前位置的差异，通过控制算法计算出关节角度的控制指令。
常用的位置控制方法有PID控制器和模糊控制器等。
3.2 速度控制机械臂的速度控制是通过控制关节的角速度，使得机械臂末端执行器达到指定的速度。
速度控制需要测量机械臂末端执行器的速度，并根据期望速度和当前速度的差异，通过控制算法计算出关节角速度的控制指令。
常用的速度控制方法有PID 控制器和模糊控制器等。
3.3 力控制机械臂的力控制是通过控制关节的扭矩或力矩，使得机械臂末端执行器受到指定的力或力矩。
力控制需要测量机械臂末端执行器的力或力矩，并根据期望力或力矩和当前力或力矩的差异，通过控制算法计算出关节扭矩或力矩的控制指令。
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A B A B B )B B0 S ( A Av R p S ( AB ) S ( AB ) B R p
二、刚体的速度和加速度
{B}相对于{A}移动，姿态不变
A
B 0 B 0, A
A
A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R p AvB0 B R vp
图6.4表示了角速度为(t)的一个刚体。
图6.4 旋转矢量的变化率。当r(t)的顶端绕(t)轴旋转， 它的轨迹是半径为|b|的圆。r(t)顶端的速度是|(t)||b|。
考虑在时刻 t 定义于世界空间的向 量 r(t) 。假定该向量固定在刚体上， r(t) 与刚体一起在世界空间中移动。 既然r(t) 是一个方向，它独立于任 何平移，特别是， dr(t)/dt 独立于 v( t ) 。 为了研究dr(t)/dt, 我们把r(t) 分解为 矢量a 和 b, 其中a平行于(t)，b垂 直于(t)。 假使刚体保持一个恒定的角速度， 结果r(t)的顶端划出一个中心在(t) 轴上的圆。
角速度、角加速度
A
C B R C
A A B B A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C
A
三、旋转关节的连杆运动的传递
如图所示,连杆i＋1相对连杆i 转动的角速度是绕关节 i ＋ 1 运动引起的,
i 1
i 1 zi 1
根据矩阵的乘法规则，我们可以提取出公因子
r11 (t ) (t ) r R 21 r31
这是矩阵和矩阵的乘积。
r12 r22 r32
r13 r23 (t ) R (t ) r33
记
0 S ( ) z y
线速度
i
vi 1 i vi ii i pi 1
连杆i转动速度而 产生的分量
在{i+1}坐标系中表示
i 1
vi 1 i i1R(i vi ii i pi 1 )
角加速度，线加速度
i
i 1 z i 1 ii i 1iR i 1 i 1
i 1 z i 1 z i 1 i i1Ri i i i1Rii i 1 i 1 i 1 i 1
图6.3 刚体的线速度v(t)和角速度(t)
让我们回顾一下 R(t) 的物理的含意。我们知道 R(t) 的列告诉我们在时刻 t 被转换的 x ， y 和 z 轴 的方向。这意味着dR(t)/dt的列描述正在被转换 的x，y和z轴的速度。 为了发现 (t) 和 R(t) 之间的关系，我们首先检 查刚体上任意向量的变化与角速度 (t)的关系。
{A}固定，刚体与{B}固结
B
p 0 p 0, B v p 0, B v
A
A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R p AvB0 S ( AB ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
为了简化上述表达式，使用下述算子。 如果a和b是3维矢量，那么ab是矢量
a y bz b y a z a x bz bx a z a b b a x y x y
给定矢量a, 定义 a* 是矩阵 那么，
a *b
0 az a y
{B}相对于{A}纯滚动，
A
B0 0 pB0 const, AvB0 0, Av
A
A B A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R pB R v p S ( AB ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
A B B0 B p Av R v
二、刚体的速度和加速度
S () R R
z 0
y x
0
x
(t ) (t ) R(t ) S () R R
二、刚体的速度和加速度
A A B p B R p ApB0
A
A B A B Ap B0 B B p R p R p
(t ) (t ) R(t ) S () R R
1 R (t ) 0 0
(6–3)
参照式(6–2)中R(t)的元素，有
1 r11 r R (t ) 0 21 0 r31
(6–4)
是R(t)的第一列。
R(t)的物理含意是当在时刻t转换到世界空间的时候，R(t) 第一列给出刚体的x轴的方向。同样地。R(t)的第二列和第 三列， 是在时刻t到世界空间中刚体y轴和z轴的方向。
r11 R r21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
(6–2)
其中，每一列向量表示{B}的一个主轴在{A}中的三个方 向余弦。因此也把旋转矩阵R称为余弦矩阵。
另外， 我们可以把物理含义赋予R(t)。考虑局部空间的x 轴向量（1，0，0），在时刻t，该向量在世界空间具有方 向
0 0 i 1
关节角速度
Z轴单位向量
角速度
两关节角速度向量转换到同一坐标系中，有
i
i 1 z i 1 ii i 1iR i 1 i 1
在{i+1}坐标系中表示
i 1
i 1 z i 1 i i1Rii i 1 i 1
A B A B A B A B B )B p 2 S ( A B ) B B R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
若已知{C}相对{B}的转动角速度为BC， 则{C}相对{A}的转动角速度和角加速度 矢量为
A A B C AB B R C A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C
ab
z
(t )简化为 使用符号“* ”, 我们可以重新把R
r11 r12 r13 (t ) (t ) r (t ) r (t ) r R 21 22 23 r r r 31 32 33
A
二、刚体的速度和加速度
线速度、线加速度
A A B A B vp AvB0 B R vp S ( AB )B R p
A
A B A B A B A B p Av B0 B p 2S ( AB )B B )B v Rv R vp S ( A R p S ( AB )S ( AB )B Rp
r11 r 21 r31
r12 r13 r 和 22 r23 r32 r33
R [ x y z]
刚体不仅能平移，也能旋转。想象我们在空间中固定质心位 置，因此刚体上的任何点的运动都是由刚体绕某个穿过质心 的轴旋转造成的（除非质心本身被移动）。我们可以把旋转 描写为向量(t)。(t)的方向给出旋转轴的方向（图6.3）， (t)量被称做角速度。 线速度： x(t) 和 v(t) 的关系为 v(t)=dx(t)/dt. 如 何 表 达 R(t) 和 (t) 的关系?
az 0 ax
ay ax 0
0 az a y
az 0 ax
a y bx ax by 0 b
a y bz by a z a x bz bx a z a b b a x y x y
这个圆的半径是 |b| 。因为矢 量r(t)的尖瞬时地是沿着这个 圆移动，r(t)的瞬时的改变是 垂直于b和ω(t)两者的。 因为r(t)的顶端正在沿着一个 半径为 b 的圆移动， r(t) 的瞬 时的速度具有模 |b||(t)| 。因 为b 和 (t) 垂直，他们的叉积 具有模
(t ) b (t ) b
A A B A B vp AvB0 B R vp S ( AB )B R p
A
A B A B A B A B p Av B0 B p 2S ( AB )B B )B v Rv R vp S ( A R p S ( AB )S ( AB )B Rp
二、刚体的速度和加速度
r 21 r31
在时刻 t ， R(t) 的第一列的导数恰恰是这 个矢量的变化率：使用叉积规则，这个 改变是
r11 (t ) r21 r 31
对于R(t)的其它两列是同样的。这意味着 我们可以记
r11 r12 r13 R(t ) (t ) r21 (t ) r22 (t ) r23 r r r 31 32 33
(6-5)
既然 r(t)=a+b，且a平行于(t), (t)a =0 ， 因此
(t ) (t ) b (t ) b (t ) a r (t ) (a b) (t ) r (t )