机器人操作臂动力学
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ab
z
(t )简化为 使用符号“* ”, 我们可以重新把R
r11 r12 r13 (t ) (t ) r (t ) r (t ) r R 21 22 23 r r r 31 32 33
1 R (t ) 0 0
(6–3)
参照式(6–2)中R(t)的元素，有
1 r11 r R (t ) 0 21 0 r31
(6–4)
是R(t)的第一列。
R(t)的物理含意是当在时刻t转换到世界空间的时候，R(t) 第一列给出刚体的x轴的方向。同样地。R(t)的第二列和第 三列， 是在时刻t到世界空间中刚体y轴和z轴的方向。
A A B A B vp AvB0 B R vp S ( AB )B R p
A
A B A B A B A B p Av B0 B p 2S ( AB )B B )B v Rv R vp S ( A R p S ( AB )S ( AB )B Rp
二、刚体的速度和加速度
如果p0是刚体上的任意一点，在局部坐标系中表示。P0在 全局坐标系的位置 p(t) 是使 p0 首先绕原点旋转，然后平移它 得到的计算结果： p(t)= R(t) p0 + x(t) (6–1) 其中， x(t)矢量表示刚体移ຫໍສະໝຸດ Baidu，3×3矩阵R(t)表示刚体旋转。
刚体B的姿态可用坐标系{B}的n个主轴的方向矢量组成 的n×n阶旋转矩阵R表示，当n＝3时，旋转矩阵R为：
角速度、角加速度
A
C B R C
A A B B A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C
A
三、旋转关节的连杆运动的传递
如图所示,连杆i＋1相对连杆i 转动的角速度是绕关节 i ＋ 1 运动引起的,
i 1
i 1 zi 1
根据矩阵的乘法规则，我们可以提取出公因子
r11 (t ) (t ) r R 21 r31
这是矩阵和矩阵的乘积。
r12 r22 r32
r13 r23 (t ) R (t ) r33
记
0 S ( ) z y
图6.3 刚体的线速度v(t)和角速度(t)
让我们回顾一下 R(t) 的物理的含意。我们知道 R(t) 的列告诉我们在时刻 t 被转换的 x ， y 和 z 轴 的方向。这意味着dR(t)/dt的列描述正在被转换 的x，y和z轴的速度。 为了发现 (t) 和 R(t) 之间的关系，我们首先检 查刚体上任意向量的变化与角速度 (t)的关系。
{B}相对于{A}纯滚动，
A
B0 0 pB0 const, AvB0 0, Av
A
A B A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R pB R v p S ( AB ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
r11 r 21 r31
r12 r13 r 和 22 r23 r32 r33
R [ x y z]
刚体不仅能平移，也能旋转。想象我们在空间中固定质心位 置，因此刚体上的任何点的运动都是由刚体绕某个穿过质心 的轴旋转造成的（除非质心本身被移动）。我们可以把旋转 描写为向量(t)。(t)的方向给出旋转轴的方向（图6.3）， (t)量被称做角速度。 线速度： x(t) 和 v(t) 的关系为 v(t)=dx(t)/dt. 如 何 表 达 R(t) 和 (t) 的关系?
{A}固定，刚体与{B}固结
B
p 0 p 0, B v p 0, B v
A
A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R p AvB0 S ( AB ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
这个圆的半径是 |b| 。因为矢 量r(t)的尖瞬时地是沿着这个 圆移动，r(t)的瞬时的改变是 垂直于b和ω(t)两者的。 因为r(t)的顶端正在沿着一个 半径为 b 的圆移动， r(t) 的瞬 时的速度具有模 |b||(t)| 。因 为b 和 (t) 垂直，他们的叉积 具有模
(t ) b (t ) b
r 21 r31
在时刻 t ， R(t) 的第一列的导数恰恰是这 个矢量的变化率：使用叉积规则，这个 改变是
r11 (t ) r21 r 31
对于R(t)的其它两列是同样的。这意味着 我们可以记
r11 r12 r13 R(t ) (t ) r21 (t ) r22 (t ) r23 r r r 31 32 33
为了简化上述表达式，使用下述算子。 如果a和b是3维矢量，那么ab是矢量
a y bz b y a z a x bz bx a z a b b a x y x y
给定矢量a, 定义 a* 是矩阵 那么，
a *b
0 az a y
S () R R
z 0
y x
0
x
(t ) (t ) R(t ) S () R R
二、刚体的速度和加速度
A A B p B R p ApB0
A
A B A B Ap B0 B B p R p R p
(t ) (t ) R(t ) S () R R
A B A B B )B B0 S ( A Av R p S ( AB ) S ( AB ) B R p
二、刚体的速度和加速度
{B}相对于{A}移动，姿态不变
A
B 0 B 0, A
A
A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R p AvB0 B R vp
az 0 ax
ay ax 0
0 az a y
az 0 ax
a y bx ax by 0 b
a y bz by a z a x bz bx a z a b b a x y x y
线速度
i
vi 1 i vi ii i pi 1
连杆i转动速度而 产生的分量
在{i+1}坐标系中表示
i 1
vi 1 i i1R(i vi ii i pi 1 )
角加速度，线加速度
i
i 1 z i 1 ii i 1iR i 1 i 1
i 1 z i 1 z i 1 i i1Ri i i i1Rii i 1 i 1 i 1 i 1
A
二、刚体的速度和加速度
线速度、线加速度
A A B A B vp AvB0 B R vp S ( AB )B R p
A
A B A B A B A B p Av B0 B p 2S ( AB )B B )B v Rv R vp S ( A R p S ( AB )S ( AB )B Rp
0 0 i 1
关节角速度
Z轴单位向量
角速度
两关节角速度向量转换到同一坐标系中，有
i
i 1 z i 1 ii i 1iR i 1 i 1
在{i+1}坐标系中表示
i 1
i 1 z i 1 i i1Rii i 1 i 1
图6.4表示了角速度为(t)的一个刚体。
图6.4 旋转矢量的变化率。当r(t)的顶端绕(t)轴旋转， 它的轨迹是半径为|b|的圆。r(t)顶端的速度是|(t)||b|。
考虑在时刻 t 定义于世界空间的向 量 r(t) 。假定该向量固定在刚体上， r(t) 与刚体一起在世界空间中移动。 既然r(t) 是一个方向，它独立于任 何平移，特别是， dr(t)/dt 独立于 v( t ) 。 为了研究dr(t)/dt, 我们把r(t) 分解为 矢量a 和 b, 其中a平行于(t)，b垂 直于(t)。 假使刚体保持一个恒定的角速度， 结果r(t)的顶端划出一个中心在(t) 轴上的圆。
机器人学
第五章 操作臂动力学
课程的基本要求: 掌握空间开链机构动力学建模的牛顿-欧拉递推 动力学方程和拉格朗日方程
5.1 连杆的速度和加速度分析
一、刚体的旋转矩阵及其导数
刚体变换是旋转和平移的组合
为了描述刚体 B的位置（Position ）和姿态 (Orientation) ， 通常在 B 上固接另一坐标系 {B}( 简称 {B}) ，相对于参考 坐标系 {A}。刚体 B 的位置和姿态（简称位姿 Location ） 可由 {B} 相对于 {A} 的位置和姿态来描述，如图 2-1 所示。 B的位置可用{B}的坐标原点在{A}中表示的n维位置矢量 p来描述.
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
A B B0 B p Av R v
二、刚体的速度和加速度
(6-5)
既然 r(t)=a+b，且a平行于(t), (t)a =0 ， 因此
(t ) (t ) b (t ) b (t ) a r (t ) (a b) (t ) r (t )
归纳以上所述，在时刻 t，我们知道在世 界空间的刚体的 x 轴的方向是 R(t) 的第一 列，它是 r11
r11 R r21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
(6–2)
其中，每一列向量表示{B}的一个主轴在{A}中的三个方 向余弦。因此也把旋转矩阵R称为余弦矩阵。
另外， 我们可以把物理含义赋予R(t)。考虑局部空间的x 轴向量（1，0，0），在时刻t，该向量在世界空间具有方 向
A B A B A B A B B )B p 2 S ( A B ) B B R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
若已知{C}相对{B}的转动角速度为BC， 则{C}相对{A}的转动角速度和角加速度 矢量为
A A B C AB B R C A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C
z
(t )简化为 使用符号“* ”, 我们可以重新把R
r11 r12 r13 (t ) (t ) r (t ) r (t ) r R 21 22 23 r r r 31 32 33
1 R (t ) 0 0
(6–3)
参照式(6–2)中R(t)的元素，有
1 r11 r R (t ) 0 21 0 r31
(6–4)
是R(t)的第一列。
R(t)的物理含意是当在时刻t转换到世界空间的时候，R(t) 第一列给出刚体的x轴的方向。同样地。R(t)的第二列和第 三列， 是在时刻t到世界空间中刚体y轴和z轴的方向。
A A B A B vp AvB0 B R vp S ( AB )B R p
A
A B A B A B A B p Av B0 B p 2S ( AB )B B )B v Rv R vp S ( A R p S ( AB )S ( AB )B Rp
二、刚体的速度和加速度
如果p0是刚体上的任意一点，在局部坐标系中表示。P0在 全局坐标系的位置 p(t) 是使 p0 首先绕原点旋转，然后平移它 得到的计算结果： p(t)= R(t) p0 + x(t) (6–1) 其中， x(t)矢量表示刚体移ຫໍສະໝຸດ Baidu，3×3矩阵R(t)表示刚体旋转。
刚体B的姿态可用坐标系{B}的n个主轴的方向矢量组成 的n×n阶旋转矩阵R表示，当n＝3时，旋转矩阵R为：
角速度、角加速度
A
C B R C
A A B B A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C
A
三、旋转关节的连杆运动的传递
如图所示,连杆i＋1相对连杆i 转动的角速度是绕关节 i ＋ 1 运动引起的,
i 1
i 1 zi 1
根据矩阵的乘法规则，我们可以提取出公因子
r11 (t ) (t ) r R 21 r31
这是矩阵和矩阵的乘积。
r12 r22 r32
r13 r23 (t ) R (t ) r33
记
0 S ( ) z y
图6.3 刚体的线速度v(t)和角速度(t)
让我们回顾一下 R(t) 的物理的含意。我们知道 R(t) 的列告诉我们在时刻 t 被转换的 x ， y 和 z 轴 的方向。这意味着dR(t)/dt的列描述正在被转换 的x，y和z轴的速度。 为了发现 (t) 和 R(t) 之间的关系，我们首先检 查刚体上任意向量的变化与角速度 (t)的关系。
{B}相对于{A}纯滚动，
A
B0 0 pB0 const, AvB0 0, Av
A
A B A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R pB R v p S ( AB ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
r11 r 21 r31
r12 r13 r 和 22 r23 r32 r33
R [ x y z]
刚体不仅能平移，也能旋转。想象我们在空间中固定质心位 置，因此刚体上的任何点的运动都是由刚体绕某个穿过质心 的轴旋转造成的（除非质心本身被移动）。我们可以把旋转 描写为向量(t)。(t)的方向给出旋转轴的方向（图6.3）， (t)量被称做角速度。 线速度： x(t) 和 v(t) 的关系为 v(t)=dx(t)/dt. 如 何 表 达 R(t) 和 (t) 的关系?
{A}固定，刚体与{B}固结
B
p 0 p 0, B v p 0, B v
A
A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R p AvB0 S ( AB ) B R p
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
这个圆的半径是 |b| 。因为矢 量r(t)的尖瞬时地是沿着这个 圆移动，r(t)的瞬时的改变是 垂直于b和ω(t)两者的。 因为r(t)的顶端正在沿着一个 半径为 b 的圆移动， r(t) 的瞬 时的速度具有模 |b||(t)| 。因 为b 和 (t) 垂直，他们的叉积 具有模
(t ) b (t ) b
r 21 r31
在时刻 t ， R(t) 的第一列的导数恰恰是这 个矢量的变化率：使用叉积规则，这个 改变是
r11 (t ) r21 r 31
对于R(t)的其它两列是同样的。这意味着 我们可以记
r11 r12 r13 R(t ) (t ) r21 (t ) r22 (t ) r23 r r r 31 32 33
为了简化上述表达式，使用下述算子。 如果a和b是3维矢量，那么ab是矢量
a y bz b y a z a x bz bx a z a b b a x y x y
给定矢量a, 定义 a* 是矩阵 那么，
a *b
0 az a y
S () R R
z 0
y x
0
x
(t ) (t ) R(t ) S () R R
二、刚体的速度和加速度
A A B p B R p ApB0
A
A B A B Ap B0 B B p R p R p
(t ) (t ) R(t ) S () R R
A B A B B )B B0 S ( A Av R p S ( AB ) S ( AB ) B R p
二、刚体的速度和加速度
{B}相对于{A}移动，姿态不变
A
B 0 B 0, A
A
A B A B A B v p AvB0 B R v p S ( AB ) B R p AvB0 B R vp
az 0 ax
ay ax 0
0 az a y
az 0 ax
a y bx ax by 0 b
a y bz by a z a x bz bx a z a b b a x y x y
线速度
i
vi 1 i vi ii i pi 1
连杆i转动速度而 产生的分量
在{i+1}坐标系中表示
i 1
vi 1 i i1R(i vi ii i pi 1 )
角加速度，线加速度
i
i 1 z i 1 ii i 1iR i 1 i 1
i 1 z i 1 z i 1 i i1Ri i i i1Rii i 1 i 1 i 1 i 1
A
二、刚体的速度和加速度
线速度、线加速度
A A B A B vp AvB0 B R vp S ( AB )B R p
A
A B A B A B A B p Av B0 B p 2S ( AB )B B )B v Rv R vp S ( A R p S ( AB )S ( AB )B Rp
0 0 i 1
关节角速度
Z轴单位向量
角速度
两关节角速度向量转换到同一坐标系中，有
i
i 1 z i 1 ii i 1iR i 1 i 1
在{i+1}坐标系中表示
i 1
i 1 z i 1 i i1Rii i 1 i 1
图6.4表示了角速度为(t)的一个刚体。
图6.4 旋转矢量的变化率。当r(t)的顶端绕(t)轴旋转， 它的轨迹是半径为|b|的圆。r(t)顶端的速度是|(t)||b|。
考虑在时刻 t 定义于世界空间的向 量 r(t) 。假定该向量固定在刚体上， r(t) 与刚体一起在世界空间中移动。 既然r(t) 是一个方向，它独立于任 何平移，特别是， dr(t)/dt 独立于 v( t ) 。 为了研究dr(t)/dt, 我们把r(t) 分解为 矢量a 和 b, 其中a平行于(t)，b垂 直于(t)。 假使刚体保持一个恒定的角速度， 结果r(t)的顶端划出一个中心在(t) 轴上的圆。
机器人学
第五章 操作臂动力学
课程的基本要求: 掌握空间开链机构动力学建模的牛顿-欧拉递推 动力学方程和拉格朗日方程
5.1 连杆的速度和加速度分析
一、刚体的旋转矩阵及其导数
刚体变换是旋转和平移的组合
为了描述刚体 B的位置（Position ）和姿态 (Orientation) ， 通常在 B 上固接另一坐标系 {B}( 简称 {B}) ，相对于参考 坐标系 {A}。刚体 B 的位置和姿态（简称位姿 Location ） 可由 {B} 相对于 {A} 的位置和姿态来描述，如图 2-1 所示。 B的位置可用{B}的坐标原点在{A}中表示的n维位置矢量 p来描述.
A
A B A B A B A B B )B p Av B0 B p 2 S ( A B ) B v R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
A B B0 B p Av R v
二、刚体的速度和加速度
(6-5)
既然 r(t)=a+b，且a平行于(t), (t)a =0 ， 因此
(t ) (t ) b (t ) b (t ) a r (t ) (a b) (t ) r (t )
归纳以上所述，在时刻 t，我们知道在世 界空间的刚体的 x 轴的方向是 R(t) 的第一 列，它是 r11
r11 R r21 r31 r12 r22 r32 r13 r23 r33
(6–2)
其中，每一列向量表示{B}的一个主轴在{A}中的三个方 向余弦。因此也把旋转矩阵R称为余弦矩阵。
另外， 我们可以把物理含义赋予R(t)。考虑局部空间的x 轴向量（1，0，0），在时刻t，该向量在世界空间具有方 向
A B A B A B A B B )B p 2 S ( A B ) B B R v R v p S ( A R p S ( A B ) S ( A B ) B R p
若已知{C}相对{B}的转动角速度为BC， 则{C}相对{A}的转动角速度和角加速度 矢量为
A A B C AB B R C A A B A A B C B B R C S ( B ) B R C