(完整word版)线性代数超强的总结(不看你会后悔的)(word文档良心出品)
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线性代数超强总结
()0A r A n A Ax A A οο⎧⎪<⎪⎪
=⇔=⎨⎪⎪⎪⎩不可逆 有非零解
是的特征值
的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i n
A r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ⎧⎪=⎪⎪=⎪⎪⎪
≠⇔⎨⎪⎪
⎪⎪
=⋅⋅⋅⎪⎪∀∈=⎩可逆 只有零解 的特征值全不为零 的列（行）向量线性无关 是正定矩阵 与同阶单位阵等价 是初等阵
总有唯一解
R
⎫
⎪−−−→⎬⎪⎭
具有
向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：
①称为n ¡的标准基，n ¡中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr()=E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.
√ 行列式的计算：
① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则
(1)mn A A A A B
B
B
B
A
A B B οο
οοο
*
=
=
=*
*=-
②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.
③关于副对角线：
(1)2
1121
21
1211
1
(1)
n n n
n
n n n n n n n a a a a a a a a a ο
οο
---*
=
=-K N
N
√ 逆矩阵的求法:
①1
A A A
*
-=
②1()()A E E A -−−−−→M
M 初等行变换
③11a b d b c d c a ad bc --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ T
T T T
T A B A C C D B
D ⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
④1
2
11
11
2
1n a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦
O
O
2
1
1
1
12
1
1n
a a n a a a a -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
N
N
⑤1
1111
2
21n n A A A A A A ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦O
O
1
112
1
211
n n
A A A A A A ----⎡
⎤
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
N N √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =
√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++L ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++L 为A 的一个多项式. √
设
,,
m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为
12,,,n
ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为
12,,,s
βββ⋅⋅⋅，AB 的列向量为
12,,,s r r r L ,1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,)
,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==⋅⋅⋅=⎫⎪
==++⎪⎬
⎪⎪⎭L L L L 则：即 用中简
若则 单的一个提
即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,
与分块对角阵相乘类似,即：11
11
22
22
,kk kk A B A B A B A B οοο
ο
⎡⎤
⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
O
O
11112222
kk kk A B A B AB A B ο
ο
⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
O
√ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时,
,B A B E X −−−−→M M 初等行变换
（当为一列时(I)的解法：构造()()
即为克莱姆法则） T T T T
A X
B X X =(II)的解法：将等式两边转置化为，
用(I)的方法求出，再转置得
√ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：
① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.
√ 判断12,,,s ηηηL 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 是0Ax =的解；
③ ()s n r A =-=每个解向量中自由变量的个数.