4.1 二项分布的概念和特征

第四章 常用概率分布

一、二项分布的概念和特征

概念

分布：随机变量的取值规律 分布函数：描述分布的规律

变量类型

连续型变量

离散型变量 如：正态分布

如：二项分布，泊松分布

思考

例1.假设有5只实验小白鼠，要求它们同种属、同性别、体重 相近，且给小白鼠注射一定剂量的毒物时，他们有相同的死 亡率80%，存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡 的概率是多少？有一只白小鼠存活的概率是多少？2只小白 鼠存活的概率是多少？

例1.假设有5只实验小白鼠，要求它们同种属、同性别、体重相近， 且给小白鼠注射一定剂量的毒物时，他们有相同的死亡率80%， 存活率为20%。那么这5只小白鼠实验后全部死亡的概率是多少？ 有一只白小鼠存活的概率是多少？2只小白鼠存活的概率是多少？ P 死

=0.8 P 活

=0.2 P 1

=0.8×0.8×0.8×0.8×0.8 P 2 = P 3 = 1 5

C 2 5

C 0.2×0.8 4 =0.082 0.2 2 ×0.8 3 =0.020 =0.8 5 =0.328

该实验有三个特点：

1.各次实验是彼此独立的；

2.每次实验只有二种可能的结果，或死亡或生存；

3.每次实验小白鼠死亡和生存的概率是固定的。

具备以上三点，即从阳性率为π的总体中随机抽取大小为n的样本， 则出现“阳性”数为X的概率分布即呈现二项分布，记作B(n,p)。

概率分布函数

二项分布的概率函数P (X )可用公式

X n X X

n

C X P - - = ) 1 ( ) ( p p 其中 )!

( ! ! X n X n C X

n - = 对于任何二项分布，总有 ( ) 1

= å = n

X X P

例2.临床上用针灸治疗某型头疼，有效的概率为60%，现以 该疗法治疗3例，其中2例有效的概率是多大？

分析：治疗结果为有限和无效两类，每个患者是否有效不受其他病例的影响，有 效概率均为0.6，符合二项分布的条件。

X n X X

n

C X P - - = ) 1 ( ) ( p p ( ) ( ) 432 . 0 6 . 0 ­ 1 6 . 0 !

2 ­

3 ! 2 ! 3 ) 1 ( 2 ­ 3 2 2 3 2 2

3 ) 2 ( = = - - = p p C P 因此，2例有效的概率是0.432。

二项分布的特征

B (n,p)

n = 3，π = 0.5 n = 10，π = 0.5

π = 0.3时，不同 n 值对应的二项分布

二项分布的特征

1. n，π是二项分布的两个参数，所以二项分布的形状取决于n，π。

2. 当π=0.5时分布对称，近似对称分布。

3. 当π ≠0.5时，分布呈偏态，特别是 n 较小时，π 偏离0.5越远，分 布的对称性越差，但只要不接近1和0时，随着 n 的增大，分布逐 渐逼近正态。

4. 当 π 或 1­ π 不太小，而 n 足够大，通常 nπ 和 n(1­ π) 均大于或 等于5，我们常用正态近似的原理来处理二项分布的问题。

例3.临床上用针灸治疗某型头痛，有效的概率为60%，现以该疗法治疗3例，求有效人 数的均数和方差。

二项分布的均数和标准差

分析：n = 3，p =0.6

0 1 2 3

0.064 0.288 0.432 0.216 根据总体均数（又称数学期望）和方差的定义，有效人数的均数为： ( ) 80 . 1 216 . 0 3 432 . 0 2 288 . 0 1 064 . 0 0 ) ( = ´ + ´ + ´ + ´ = å = X XP X E 方差为: [ ] [ ] 22 222 ()()()()

(0 1.80)0.064(1 1.80)0.288...(3 1.80)0.216 0.72

V a r X E X E X X E X P X =-=- =-´+-´++-´ = å

对于任何一个二项分布B(n,π)，如果每次试验出现“阳性” 结果的概率均为π，则在 n 次独立重复实验中，出现 X 次阳 性结果

总体均数为 标准差为

p

m n

=

( )

p

p

s-

= 1

n

二项分布的均数和标准差

如果以率表示，将阳性结果的频率记做为 则P 的总体均数

总体标准差为 式中

是频率P 的标准误，反映阳性频率的抽样误差的大小。 p m = P ( )

n

P p p s - = 1 P s n

X P =

例4. 已知某地钩虫感染率为6.7%，如果随机抽查150人，记 样本钩虫感染率为 P ，求 P 的标准误 。

本例 ，n =150，P =6.7%

% 0 . 2 020 . 0 150

) 067 . 0 1 ( 067 . 0 = = - = P s

小结：

1. 二项分布的条件：

1)每次实验结果，只能是两个互斥的结果之一。

2)相同的实验条件下，每次实验中事件A的发生具有相同的概率π。

3)各次实验独立，各次的实验结果互不影响。

2. 二项分布的分布特征：

1)二项分布的形状取决于n，π。

2)当π =0.5时分布对称，近似对称分布。

3)当π ≠0.5时，分布呈偏态，特别是 n 较小时，π 偏离0.5越远，分布的 对称性越差，但只要不接近1和0时，随着 n 的增大，分布逐渐逼近正态。