将军饮马问题教学内容

将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
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最短路线：
P
A ---P--- B.
根据：
B 两点之间线段最短.
将军饮马：
例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜 羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关 于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E 处汇合，再一起回家的最短路线是什么？
• 试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边 OM、ON后，反弹击中黑球？
C
B N
M A
O
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式2：
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
A. ' .C
A
M C
N B
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’
（2）连结B’A，交MN于点 C；
∴ 点C就是所求的点．
B
A
M
N
C
B’
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2证明：在MN 上任取另一点C’， B
A
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
M
N
C
C'
∵ 直线MN是点B、B’的对称轴， 点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BB' C’=B’C’．
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
. A' B.
作法（1）作点A关于OM、 O
ON的对称点A’、A”
M
.A .N . C
A''
(2)连结A'和A''，交OM 于B，交ON于C。
则点B, C为所求。
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点， 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R， 使△PQR的周长最短吗？
在△AB ’ C’中，AB ’ < AC’+B ’ C’，
∴ BC+AC < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
(二)一次轴对称： 两点在一条直线同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R， 使△PQR的周长最短吗？
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
M 草地
O
.驻地A
N 河边
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3已知如图 MON 和 MON内一点A ,
求作:OM上一点B, ON上一点C, 使AB+BC+AC最小
A′ C
D
B′
A B
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4变式1：已知： MON和 MON内两点A、B。 求作：点C和点D,使得点C在OM上， 点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。
A'
M
C. .A
.B
O
.N
D .B'
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
• 例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面， 有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要 从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马， 再到河边饮马，然后回到帐篷， 请你帮助确定这一天的最短路线。
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从 马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
将军饮马问题
将军饮马问题：
两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有 了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者， 名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向 他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
O
B'
将军饮马的实质： （1）求最短路线问题------
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。