第24讲 尺规作图(解析版)

第24讲 尺规作图
1．尺规作图的作图工具 圆规和没有刻度的直尺 2．基本尺规作图
类型一：作一条线段等于已知线段 步骤：①作射线OP ；
②以O 为圆心，a 为半径作弧，交OP 于A ，OA 即为所求线段．
图示：
类型三：作线段的垂直平分线
步骤：①分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径，在AB 两侧作弧，两弧交于M ，N 点；
②连接MN ，直线MN 即为所求垂直平分线．
图示：
类型四：作一个角等于已知角：
步骤：①以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P ，Q ； ②作射线O′A ；
③以O′为圆心，OP 长为半径作弧，交O′A 于点M ； ④以点M 为圆心，PQ 长为半径作弧，交前弧于点N ； ⑤过点N 作射线O′B ，∠AO′B 即为所求角．
图示：
类型五：过一点作已知直线的垂线
步骤：点在直线上：①以点O 为圆心，任意长为半径作弧，交直线于A ，B 两点； ②分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分别为M ，N ；
③连接MN ，MN 即为所求垂线． 点在直线外：①在直线另一侧取点M ； ②以PM 为半径画弧，交直线于A ，B 两点；
③分别以A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径画弧，交M 同侧于点N ；
④连接PN ，则直线PN 即为所求的垂线．
图示：
3．常见几种基本尺规作图作三角形 ①已知三边作三角形； ②已知两边及其夹角作三角形； ③已知两角及其夹边作三角形； ④已知底边及底边上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．作图的一般步骤
(1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)证明； (6)讨论．
步骤(5)(6)常不作要求，步骤(3)一般不要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
考点1：简单尺规作图
【例题1】尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形． 已知：如图，∠α，线段a.
求作：△ABC ，使AB ＝AC ，∠BAC ＝α，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝a.
【解析】：作图如图，(1)作∠EAF ＝∠α；(2)作AG 平分∠EAF ，并在AG 上截取AD ＝a ；(3)过D 作MN ⊥AG ，MN 与AE ，AF 分别交于B ，C.则△ABC 即为所求作的等腰三角形
归纳：1．熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹． 2．平时多体会和理解一些复杂作图的依据及作图过程． 3．会在常见的作图语言与对应的几何语言之间进行转化．
4．提倡在平时画图时，采用尺规作图，强化自己的作图意识和规范性． 考点2： 复杂尺规作图
【例题2】如图，在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°.
(1)请在BC 上找一点P ，作⊙P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)连接BQ ，若AB ＝3，(1)中所作圆的半径为3
2
，求sin ∠CBQ.
【分析】 (1)要求作⊙P 与AB 、AC 相切，根据切线的性质，即点P 到AB 、AC 的距离相等，且点P 在边BC 上，想到角平分线上的点到角两边的距离相等，即作∠BAC 的平分线交BC 于P 点，以点P 为圆心，PB 为半径作圆即可；(2)由切线长定理得AB ＝AQ ，又PB ＝PQ ，则判定AP 为BQ 的垂直平分线，利用等角的余角相等得到∠CBQ ＝∠BAP ，然后在Rt △ABP 中利用正弦函数求出sin ∠BAP ，从而可得到sin ∠CBQ 的值．
解：(1)如图所示，⊙P 即为所求：
(2)∵AB 、AQ 为⊙P 的切线，∴AB ＝AQ ，∵PB ＝PQ ，∴AP 为BQ 的垂直平分线，∴∠BAP ＋∠ABQ ＝90°，∵∠CBQ ＋∠ABQ ＝90°，∴∠CBQ ＝∠BAP ，在Rt △ABP 中，AP ＝AB 2＋PB 2
＝
32＋（32）2＝352
，
∴sin ∠BAP ＝BP AP ＝3
2
352＝55，∴sin ∠CBQ ＝5
5
考点3： 关于尺规作图的应用
【例题3】（2019▪广西池河▪8分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上．
（1）尺规作图：作∠BAC 的平分线，与⊙O 交于点D ；连接OD ，交BC 于点E （不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）；
（2）探究OE 与AC 的位置及数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）利用基本作图作AD 平分∠BAC ，然后连接OD 得到点E ；
（2）由AD 平分∠BAC 得到∠BAD ＝12∠BAC ，由圆周角定理得到∠BAD ＝1
2
∠BOD ，则∠BOD ＝∠BAC ，再证明OE 为△ABC 的中位线，从而得到OE ∥AC ，OE ＝1
2
AC ．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）OE∥AC，OE＝1
2 AC．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝1
2
∠BAC，
∵∠BAD＝1
2
∠BOD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OE∥AC，
∵OA＝OB，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE∥AC，OE＝1
2 AC．
一、选择题：
1.（2018年湖北省宜昌市3分）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选：B．
2. （2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE=EC=6cm，
∵AB+AD+BD=13cm，
∴AB+BD+DC=13cm，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，
故选：B．
3. （2019•河北•3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．故选：C．
4. （2019•贵阳•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（）
A．2 B．3 C．D．
【答案】D
【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，
AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，
在Rt△ACE中，CE＝＝．
故选：D．
5. （2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）
A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）
【答案】A
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH=1，HO=2，
∴Rt△AOH中，AO=，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG=∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO=∠EOG，
∴∠AGO=∠AOG，
∴AG=AO=，
∴HG=﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．
二、填空题：
6. （2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=cm．
【答案】5
【解答】解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，
∴D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=5cm．
故答案为：5．
7. （2019•河南•3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C
为圆心，大于1
2
AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC
的中点，则CD的长为.
【答案】22．
【解答】解：如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，
∴∠F AO＝∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
，
∴△FOA≌△BOC（ASA），
∴AF＝BC＝3，
∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，
∴CD2+DF2＝FC2，
∴CD2+12＝32，
∴CD＝2．
8. （2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．
【答案】
【解答】解：连接AD．
∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC ﹣DB=5﹣=，
故答案为． 三、解答题：
9. 2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.
(1)利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法) ①作AC 的垂直平分线，交AB 于点O ，交AC 于点D; ②以O 为圆心，OA 为半径作圆，交OD 的延长线于点E. (2)在(1)所作的图形中，解答下列问题.
①点B 与⊙O 的位置关系是_____________；(直接写出答案) ②若DE ＝2，AC ＝8，求⊙O 的半径．
解：(1)如图所示： (2)①连接OC ，如图，
∵OD 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，
∵∠A ＋∠B ＝90°，∠OCB ＋∠ACO ＝90°，∴∠B ＝∠OCB ，∴OC ＝OB ，∴OB ＝OA ，∴点B 在⊙O 上； ②∵OD ⊥AC ，且点D 是AC 的中点，∴AD ＝1
2
AC ＝4，
设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OE ＝r ，OD ＝OE －DE ＝r －2，在Rt △AOD 中，∵OA 2＝AD 2＋OD 2，即r 2＝42＋(r －2)2，解得r ＝5.∴⊙O 的半径为5
10. （2018•安徽•分） 如图，⊙O 为锐角△ABC 的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E 到弦BC 的距离为3，求弦CE 的长.
【答案】（1）画图见解析；（2）CE=
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可；
（2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC 中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长.
【详解】（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴＝，
∴OE⊥BC，
∴EF＝3，
∴OF＝5﹣3＝2，
在Rt△OCF中，CF＝＝，
在Rt△CEF中，CE＝＝．
11. （2019•江苏泰州•8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于1
2
AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）设AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
12. （2018·广东·6分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可；
（2）根据∠DBF=∠ABD﹣∠ABF计算即可；
【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=∠A=30°，
∵EF垂直平分线线段AB，
∴AF=FB，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°．
13. （2019•湖北孝感•8分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是CD＝CE；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝13，知sin∠DAF＝DF
AD
＝
BC
AB
，即
12+
x
x
＝
5
13
，解之求得x＝
15
2
，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝13，
∴sin∠DAF＝DF
AD
＝
BC
AB
，即
12+
x
x
＝
5
13
，
解得x＝15
2
，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝DF
BF
＝
15
2
×
1
5
＝
3
2
．。