奥数知识点 图形计数

巧数图形

例1、数出下图中共有多少条线段。

分析与解：对于基础图形，用最小线段为单位，按序递增。

单拼：3（段），双拼：2（段），三拼：1（段）

通过以上的计数方法可以发现：开小火车的方式解决。

最小线段（基础线段）的数量为火车头

火车头为基础线段数3段：3+2+1=6（段）

或者，线段个数=基础线段数×端点÷2（高阶）

基础线段要求：手拉手，肩并肩

对于相交的线段，分别计算各个方向，然后加总

例2、数出下页左上图中锐角的个数。

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

最小线段的数量为火车头。

或者，角的个数=最小角个数×（最小角个数+1）÷2

又，角的个数=射线的个数×（射线个数-1）÷2

例3、下列各图形中，三角形的个数各是多少？

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决，最小线段的数量为火车头。

所以，三角形个数=底边线段个数(每个底边基础线段构成一个基础三角形)

或者，三角形的个数=最小三角形个数×（最小三角形个数+1）÷2（高阶）

以上的内容基本是单层规整图形：数线段（数角，数三角形），解决方法：开小火车！

对于多层规整的图形，应该以单层规整图形为基础，运用技术，算出多层规整图形的数量。例4、下列图形中各有多少个三角形？

分析与解：方法（1）使用分层计数法：

方法（2）公式法：第一层三角形的总数×层数

例5、下列图形中各有多少个三角形？小TIPS：吹泡泡法

例6、右图中有多少个三角形？

例7、右图中有多少个三角形？

分析与解：对于不规则的图形，数之前，先将每个图形编号，

编好后，先数单拼三角形1、4、3号，共3个。

再数两个图形合成的（双拼）三角形，1+2号，2+3号，

3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。

最后数由1+2+3+4号组成的（四拼）大三角形，有1个。

所以3+4+1=8，共8个三角形。

例8、下列各图形中，长方形的个数各是多少？

分析与解：对于（单层）基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

每个长方形相当于最小线段。所以数单层的基础长方形，

就是数基础线段数。

对于多层的长方形的个数=单层长方形的数量×层数（个）

单层长方形的数量=长边上的线段数（个），层数=宽边上线段的个数（层）

例9、下列图形中，长方形的个数是多少个？

分析与解：对于基础图形，可以使用开小火车的方式解决。

单层长方形的数量=长边线段数=4+3+2+1=10（个），

层数=宽边线段数=3+2+1=6（层）

总数=（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）

例10、下列图形中，长方形的个数是多少个？

分析，先将<格1>与<格2>隐去，剩下的格3，

就是一个多层规整长方形=10×6=60（个）

格1带来的长方形=4（个）（吹泡泡法）

格2带来的长方形=5（个）

总数=60+4+5=69（个）

例11、下列图形中，长方形的个数是多少个？

分析与解：了解正方形的构成特点：四边相等。

方法（1）数格子：一格，四格，九格，十六格……

方法（2）开小火车法：最小正方形的个数为“火车头”，后面的“车

厢”中的每个乘数都减-1，直至出现1为止（0乘任何数都等于0）

解：3×3+2×2+1×1=14（个）

例12、下列图形中，正方形的个数是多少个？

分析与解：利用开小火车法：

火车头为最小9正方形数量：6×5

正方形个数=6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=70（个）

例13、数下列图形中共有21个三角形，一共需要多少个小棒：

例10、在下图中，包含“*”号的长方形和正方形共有多少个？

分析与解：对于不规整的图形，进行分类讨论。

左图中，应先进行分类：正正方形与斜正方形

正正方形=5+5=10（个）

斜正方形= 5（个）

总数=10+5=15（个）

例11、如下图是由小立方体构成的塔，数一数有多少个小立方体？

分析与解：数立方体时，先从顶层数起。

公式：本层可见数+上层数

本题：1+（3+1）+（5+4）+（7+9）=30（个）

例12、数一数，下列图形中有多少个长方形？

方法（1）：小讨厌法：

不包含小讨厌的多层规整图形：10×6=60（个）

小讨厌□1+□2+□12：4+4+4=12，共：60+12=72（个）

*方法（2）：重叠法（三年级）：

横：10×6=60（个），竖：3×10=30（个）

中（重叠）：3×6=18（个），共：60+30-18=72（个）

例13、数一数，第10个图形应该有多少圆圈组成？

1 2 3 (10)

2 2+4+2 2+4+6+4+2 ……2+4+…+20…+4+2

2 8 18 (200)

例13、数一数，第10个图形应该有多少条线段？

……

通过观察可以发现如下的规律：

1 2 3 4 (10)

1×2+2 3×2+3 6×2+4 10×2+5 55×2+11 22=4 32=9 42=16 52=25 112=121

例14、数一数，下列图形中包含★长方形有多少个？

方法(1)勾对角线法：将★的左上角的点和右下角的点相连：

通过加标字母A、B和a、b、c、d、e、f，帮助我们数图形：

Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、

Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、

*方法(2)公式法：经过★划十字线，左侧、右侧、上面、下面

焦点数相乘：2×2×1×3=12（个）

例15、数一数，下列图形中有多少条线段？有多少个三角形？

（1）数线段：分方向：共：6×5+5=35（条）

（2）数三角形：分方向

中间五角星（不用①③③④⑤）：共10个三角形。

仅使用①③③④⑤中一条：每一条有4个三角形，共4×5=20（条）

使用①③③④⑤中的两条：共4个三角形。

共：10+20+5=35（个）