拱桥问题和运动中的抛物线
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时拱桥问题与运动中的抛物线习题课件(新版)新人教版
9．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端 3 椅子 B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线 y＝－5x2＋3x＋1 的一部分． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高 BC＝3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离 是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由．
6．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似 地看做抛物线．如图，正在甩绳的甲、m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距
离1 m，2.5 m处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学 生丙的身高是1.5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图 所示)( B ) A．1.5 m
1 5．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看做是抛物线 y＝－4x2 ＋bx＋c 的一部分(如图)，其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1 m，球落地点 A 到 O 点的距离是 4 m，那么这条抛物线的解析式是( A ) 1 3 A．y＝－4x2＋4x＋1 1 3 B．y＝－4x2＋4x－1 1 3 C．y＝－4x2－4x＋1 1 3 D．y＝－4x2－4x－1
3．如图为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示， 某菜农身高 1.6 米，则他在不弯腰的情况下，在大棚内左右活动的范围是( B) 5 A. 2 米 B. 5米 C．1.6 米 D．0.8 米
4．(习题 3 变式)一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)与飞行时间 t(秒) 满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C ) A．1 米 B．5 米 C．6 米 D．7 米
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6， 1 1 解得 a＝－60，故 y 与 x 的关系式为 y＝－60(x－6)2＋2.6 1 (2)当 x＝9 时，y＝－60(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过球网； 1 当 y＝0 时，－60(x－6)2＋2.6＝0，解得 x1＝6＋2 39，x2＝6－2 39(舍去)， 因为 6＋2 39＞18，所以球会出界
部编数学九年级上册22.3第3课时拱桥问题和运动中的抛物线含答案
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。
一、选择1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=-2x 2B ．y=2x 2C 、212y x =-D 、212y x =第1题 第2题 第3题 第4题2、有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm ，面积是sm 2，则s 与x 的关系式是（ ）A 、2324s x x =-+B 、2224s x x =-+C 、2324s x x =--D 、2224s x x=-+米，则铅球运行路线的解析式为（ ）B 、y 、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为A 、y=36（1-x ） B 、y=36（1+x ）C 、218(1)y x =+D 、218(1)y x =-7、如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+D 、21y x x =--第5题 第7题 第8题8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A 、4米B 、3米C 、2米D 、1米二、填空题厘米，面积随之增加平方厘米，米，现把它第10题 第13题 第14题 第15题3、二次函数2y ax bx c =++中，2b ac =，且x=0时y=4,则y 的最（大或小）值=4、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出约 米。
22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
第3课时拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A(0，209)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－19(x－4)2＋4.将点C的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x＝1代入解析式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题． 如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－112m 2＋m ＋3)，D (m ，－112m 2＋m ＋3)．即“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－112m 2＋m ＋3)＋(12－2m )＋(－112m 2＋m ＋3)＝－16m 2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
人教版九年级数学上知识点深度解析 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
3
4
3. 如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动
路线是抛物线 y ＝－ （ x ＋1）（ x －7）的一部分.
铅球落在 A 点处，则 OA ＝
7
第3题图
1
2
3
4
m.
4. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h
（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间
2
的关系式是 h ＝－ t ＋10 t （0≤ t ≤4）.
（1 ） 当 小 球的 高 度是 8.4m时 ， 求 此时 小 球的 运
动时间；
1
2
3
4
2
解：（1）由题意可得8.4＝－ t ＋10 t ，解得 t1＝1.2，
t2＝2.8.
∵0≤ t ≤4，∴ t1＝1.2， t2＝2.8都符合题意.
∴当小球的运动时间为1.2s或2.8s时，它的高度是8.4m.
实物问题
运动路线
（轨迹）
问题
具体方法
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛
物线形状的图形放到平面直角坐标系中；
（2）从已知条件中获得求二次函数解析
式所需要的条件；
（ 3 ）利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解
析式；
（4）根据所求出的抛物线解析式去解决
相关问题.
当堂检测
1. 一足球被踢出后，距离地面的高度 h （m）和飞行
第二十二章
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
要点归纳
知识要点
拱桥问题和运动中的抛物线
常见情形
几种常见的抛物线形实物有拱形桥
拱桥问题与运动中的抛物线-课件
炮弹落到地上爆炸了．
9．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为
h＝at2＋bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高
度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( C )
A．第3秒
B．第3.5秒
C．第4.2秒
D．第6.5秒
10．如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在AB位置时，拱顶离水
B．2.816米
C．2.82米
D．2.826米
6．如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的
薄壳屋顶．它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m．建立如图的直角 坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为__y_＝__－__0_.2_x_2_．
知识点4：二次函数在运动中的应用 7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出 水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范 围)
(2) 当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出，∴y＝a(x－6)2＋h
过点(0，2)，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－
1 60
.故y与x的关系式为y
＝－610(x－6)2＋2.6
(2)当x＝9时，y＝－
1 60
(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能越过
球网；当y＝0时，－
1 60
(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2
39，x2＝6－
2 39(舍去)，因为6＋2 39＞18，所以球会出界
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
22.3 拱桥问题和运动中的抛物线
2 ag22 1 a 2
y 1 2 x 2
-4
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：
2.45 x 2.45
现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？ 水面宽3m时 从而
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
A
∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2.
3 x 2 2
1 3 9 y 1.125 2 2 8
因此拱顶离水面高1.125m
y
我们来比较一下
（2，2）
y
（0，0）
o
x
o
（0，0）
（4，0） x
（-2，-2）
（2，-2）
y （0，2）
（-2，2） 谁最 合适
y
（-2，0）
o
（2，0）
o x
（-4，0）
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
第二十一讲 拱桥问题和运动中的抛物线(解析版) -2021年新九年级数学上册(人教版)
第二十一讲拱桥问题和运动中的抛物线【学习目标】1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3.能运用二次函数的图象与性质进行决策．【新课讲解】知识点1：利用二次函数解决实物抛物线形问题建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤(1)实际问题。
（2）建立二次函数模型。
（3）利用二次函数的图象和性质求解。
（4）确定实际问题的解。
【例题1】有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；【答案】见解析。
【解析】设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.∵该抛物线过(10,-4),∴-4=100a，a=-0.04∴y=-0.04x2.知识点2：利用二次函数解决运动中抛物线型问题【例题2】悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；【答案】见解析。
【解析】根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y 轴，设抛物线的函数表达式为y=ax 2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a •4502+0.5. 解得故所求表达式为(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m 处垂直钢索的长. 解：当x=450－100=350（m ）时，得当x=450－50=400（m ）时，得拱桥问题和运动中的抛物线过关检测注意：满分100分，答题时间60分钟1．(8分)图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？【答案】【解析】建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(a ≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a ， 解得：12a =-.∴212y x =-.当y=-3时，x =答：当水面高度下降1米时，水面宽度为.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．2．（8分）抛物线形桥拱的跨度AB 为6米，拱高为4米，求桥拱的函数关系式． 【答案】2449y x =-+（答案不唯一）． 【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系， ∵AB=6 ∴AO=3∴点A 的坐标为（-3,0） 可设所求解析式为2y ax c =+， 由抛物线过和得： 解得：∴抛物线解析式为2449y x =-+（答案不唯一）． 【点睛】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，并利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．3．（10分）有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB 宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m .（1）在如图的坐标系中，求抛物线的解析式.（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2m 的速度上升）【答案】（1）2125y x =-；（2）再持续5h 到达拱桥顶. 【解析】（1）设所求抛物线的解析式为2y ax =.设，则，把D 、B 的坐标分别代入2y ax =， 得解得 ∴2125y x =-. （2）∵1b =-， ∴∴拱桥顶O 到CD 的距离为1，150.2=. 故再持续5h 到达拱桥顶.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，将实际问题抽象成二次函数的问题．4．（10分）某公司生产A 型活动板房成本是每个425元．图①表示A 型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长4AD m =，宽3AB m =，抛物线的最高点E 到BC 的距离为4m ．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用()20y kx m k =+≠表示，求该抛物线的函数表达式；（2）现将A 型活动板房改造为B 型活动板房．如图②，在抛物线与AD 之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN ，点G ，M 在AD 上，点N ，F 在抛物线上，窗户的成本为50元2/m ．已知2GM m =，求每个B 型活动板房的成本是多少？（每个B 型活动板房的成本＝每个A 型活动板房的成本+一扇窗户FGMN 的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的B 型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个B 型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n （元）定为多少时，每月销售B 型活动板房所获利润w （元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）2114y x =-+（2）500（3）n=620时，w 最大=19200元 【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E 的坐标，代入()20y kx m k =+≠即可求解； （2）根据N 点与M 点的横坐标相同，求出N 点坐标，再求出矩形FGMN 的面积，故可求解； （3）根据题意得到w 关于n 的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题可知D （2,0），E （0,1）代入到()20y kx m k =+≠得 解得∴抛物线的函数表达式为2114y x =-+； （2）由题意可知N 点与M 点的横坐标相同，把x=1代入2114y x =-+，得y=34∴N （1，34） ∴MN=34m ， ∴S 四边形FGMN =GM×MN=2×34=32， 则一扇窗户的价格为32×50=75元 因此每个B 型活动板的成本为425+75=500元；（3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月最多生产160个， ∴100+20×≤160 解得n≥620 ∵-2＜0∴n≥620时，w 随n 的增大而减小 ∴当n=620时，w 最大=19200元．【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质． 5．（10分）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式．【答案】（1）(12,0)M ，(6,6)P ；（2）2126y x x =-+．【分析】（1）利用现以O 点为原点，抛物线最大高度为6米，底部宽度OM 为12米，得出点M 及抛物线顶点P 的坐标即可；（2）利用顶点式将P 点M 点代入求出抛物线解析式即可． 【详解】（1）∵其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米， ∴点M 及抛物线顶点P 的坐标分别为：M （12，0），P （6，6）． （2）设抛物线解析式为：， ∵抛物线经过点（0，0）， ∴20(06)6a =-+，即16a =-， ∴抛物线解析式为：21(6)66y x =--+，即2126y x x =-+． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求二次函数解析式，利用数形结合得出抛物线解析式是解题关键．6．（10分）某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所示.(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，求该抛物线对应的函数关系式；(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由【答案】（1）213y x =-；（2）不能通过. 【分析】（1）根据图中数据假设适当的解析式，用待定系数法求解； （2）车从中间过，即x ＝1.5，代入解析式求出y 值后，比较即可． 【详解】(1)如图，设抛物线对应的函数关系式为y=ax 2抛物线的顶点为原点，隧道宽6m ，高5m ，矩形的高为2m ， 所以抛物线过点A(−3,−3)， 代入得−3=9a ， 解得a=−13， 所以函数关系式为213y x =-(2)如果此车能通过隧道，集装箱处于对称位置，将x=1.5代入抛物线方程，得y=−0.75，此时集装箱角离隧道的底为5−0.75=4.25米，不及车与箱总高4.5米，即4.25<4.5.从而此车不能通过此隧道.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．7．（10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C 离地面AA1的距离为8m．（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m，宽为4m，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆贷车能否安全通过？【答案】(1) y=﹣132x2+8；（2）货运卡车能通过，理由见解析.【分析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y=ax2+6，再有条件求出a的值即可；（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．【详解】（1）根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），设抛物线的解析式为y=ax2+8（a≠0），把B（﹣8，6）代入64a+8=6解得：a=﹣1 32．抛物线的解析式为y=﹣132x2+8．（2）根据题意，把x=±4代入解析式，得y=7.5m．∵7.5m＞7m，∴货运卡车能通过．8．（10分）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB ＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)．【答案】门的高度约为9.1m【分析】根据所建坐标系，易求A 、B 、D 的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度OE 长．【详解】解：由题意得，抛物线过点(4,0)A -、(4,0)B 、(3,4)D -， 设，把(3,4)D -代入， 得4(34)(34)a =-+--， 解得47a =-， 4(4)(4)7y x x ∴=-+-．令0x =得647y =，即64(0,)7， 649.17OE ∴=≈ 门的高度约为9.1m ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．9.（12分）如图，是某市一条河上一座古拱挢的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线拱桥处于正常水位时水面宽AB 为26m ，当水位上涨1m 时，抛物线拱桥的水面宽CD 为24m ．现以水面AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式；（2）经过测算，水面离拱桥顶端1.5m 时为警戒水位．某次洪水到来时，小明用仪器测得水面宽为10m ，请你帮助小明算一算，此时水面是否超过警戒水位？【答案】见解析。
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
y
y
y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
5
合作交流探究新知
利用二次函数解决实物抛物线型问题
例1 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已
知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需
要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少? y
15
反馈练习巩固新知
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=
-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则
球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米） 关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x2 1 x 3 ，那么
O
x
(-2,-2) ● 4米
● (2,-2)
-3
6
合作交流探究新知
y
解：建立如图所示坐标系,
设二次函数解析式为 y ax2.
O
(-2,-2) ●
-3
x
由抛物线经过点（2，-2），可得
a 1,
2
所以，这条抛物线的解析式为
● (2,-2)
y 1 x2.
2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3. 当 y 3 时，x 6.
A 1.25米
O
17
反馈练习巩固新知
y B
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25
22.3.3 拱桥问题
，当y 1时 1 1 (x 2)2 2
2
解：建立如图所示的直角坐标系
x 62
因为顶点（2，2）
所以，水面下降1m，水面的宽度为 2 6 m.
∴水面的宽度增加了 2 6 4 m
建立的坐标系不同,得 到函数关系式也不同, 但不同的方法得到的结 果相同.
变式练习 1、如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离
0.2m/h的速度上升，从水
位AB开始 ，再持续多长时
B
间水位达到拱桥顶？
12
小结： 用二次函数解决抛物线形拱桥问
题的一般步骤：
审题,弄清拱桥抛物线形问题中的已知和未知
建立恰当的直角坐标系
转化为二次函数模型
将实际距离转化为点的坐标，求出抛物线 解析式。
注意变量的取值范围 找出实际问题的答案
反馈训练：
课堂小结
1.抛物线型建筑物问题： 几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞
口、拱形门等． 解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的
位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解 析式，然后利用函数解析式解决问题．
2.运动问题： (1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题多根 据运动规律中的公式求解． (2)物体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思 想方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立 直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求出运 动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数的性质 去分析、解决问题．
(0,2), 代入解析式得
2 0
此时二次函数解析式为y=-
131464aa(x-h6h,),2解+ 得8 ,ah
8 3
1 54
,
人教版九年级数学上册22 3 3拱桥问题和运动中的抛物线 一课一练 (含答案)
人教版 九年级数学上册一课一练 22.3.3 拱桥问题和运动中的抛物线一．选择题1．一足球被踢出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数解析式：h ＝－(t －2)2＋5，则当足球距离地面的高度最大时，飞行时间为( ) A ．2秒 B ．3秒 C ．4秒 D ．5秒2. 如图，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y ＝－(x －2)2＋6，则水柱的最大高度是( )A . 2B . 4C . 6 D. 2＋63. 已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为( )A. y ＝x 2－2x ＋2B. y ＝x 2－2x －2C. y ＝－x 2－2x ＋1D. y ＝x 2－2x ＋1,4. 对于抛物线y ＝x 2－2x －1，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x ＝－1B. 顶点坐标为(1，－2)C. 与x 轴交于(0，－1)D. 当x ＝1时，y 有最小值25．某店加工烤鸡时，烤鸡的口感系数y 和加工时间t (h )之间的关系式为y ＝－0.2t 2＋1.4t －2，口感系数越大，口感越好，则最佳加工时间为( )A ．3B ．3或4C ．3.5D ．3或5二．填空题1.九年级某班一女生在一次投掷实心球的测试中，实心球所经过的路线为如图的抛物线y ＝－19x 2＋23x ＋169的一部分，则该同学的成绩是 m .2.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m 时，水面宽度为4 m ，那么当水位下降2 m 后，水面的宽度增加 m .3．有一个抛物线形拱桥的最大高度为16 m ，跨度为40 m ，把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M 的距离5 m 处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱的长为 m .4.小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h (m )与足球被踢出后经过的时间t (s )之间的关系为h ＝－5t 2＋12t ，则足球距地面的最大高度 是 m .三．解答题1. 如图，某运动员在2016年里约奥运会10米跳台跳水比赛时，估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y ＝－256x 2＋103x (图中标出的数据为已知条件)，求该运动员在空中运动时离水面的最大高度是多少.2.. 要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管. 在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1 m处达到最高，且最高为3 m，水柱落地处离广场中央3 m，建立如图的直角坐标系.(1)求抛物线的解析式；(2)求水管的长度.3. 一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8 m，宽为2 m，隧道的最高点P 位于AB的中央且距地面6 m，建立如图的坐标系.(1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4 m，宽2 m，通过计算说明其能否从该隧道内通过；(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？为什么？人教版九年级数学上册一课一练22.3.3 拱桥问题和运动中的抛物线参考答案一．选择题1．一足球被踢出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数解析式：h＝－(t －2)2＋5，则当足球距离地面的高度最大时，飞行时间为( A )A．2秒B．3秒C．4秒D．5秒2. 如图，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝－(x－2)2＋6，则水柱的最大高度是( C )A. 2B. 4C. 6D. 2＋63. 已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为(1，－3)，则抛物线对应的函数解析式为( B )A. y＝x2－2x＋2B. y＝x2－2x－2C. y＝－x2－2x＋1D. y＝x2－2x＋1,4. 对于抛物线y＝x2－2x－1，下列说法正确的是( B )A. 对称轴是直线x＝－1B. 顶点坐标为(1，－2)C. 与x轴交于(0，－1)D. 当x＝1时，y有最小值25．某店加工烤鸡时，烤鸡的口感系数y和加工时间t(h)之间的关系式为y＝－0.2t2＋1.4t －2，口感系数越大，口感越好，则最佳加工时间为( C)A．3 B．3或4 C．3.5 D．3或5二．填空题1.九年级某班一女生在一次投掷实心球的测试中，实心球所经过的路线为如图的抛物线y＝－19x 2＋23x ＋169的一部分，则该同学的成绩是 8 m .2.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m 时，水面宽度为4 m ，那么当水位下降2 m 后，水面的宽度增加.3．有一个抛物线形拱桥的最大高度为16 m ，跨度为40 m ，把它放在如图所示的直角坐标系里，若要在离跨度中心点M 的距离5 m 处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，铁柱的长为 15 m .4.小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h (m )与足球被踢出后经过的时间t (s )之间的关系为h ＝－5t 2＋12t ，则足球距地面的最大高度是 7.2 m .三．解答题1. 如图，某运动员在2016年里约奥运会10米跳台跳水比赛时，估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y ＝－256x 2＋103x (图中标出的数据为已知条件)，求该运动员在空中运动时离水面的最大高度是多少.解：∵y ＝－256x 2＋103x ＝－256⎝ ⎛⎭⎪⎫x －252＋23，∴y 的最大值为23.∴运动员在空中运动时离水面的最大高度为10＋23＝1023(m ).2.. 要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管. 在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1 m 处达到最高，且最高为3 m ，水柱落地处离广场中央3 m ，建立如图的直角坐标系.(1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度.解：(1)设y ＝a(x －1)2＋3. ∵点(3,0)在此抛物线上， ∴0＝a(3－1)2＋3.解得a ＝－34，即抛物线的解析式为y ＝－34(x －1)2＋3.(2)当x ＝0时，y ＝－34(0－1)2＋3＝214.答：水管的长度是214 m .3. 一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8 m ，宽为2 m ，隧道的最高点P位于AB 的中央且距地面6 m ，建立如图的坐标系.(1)求抛物线的解析式；(2)一辆货车高4 m ，宽2 m ，通过计算说明其能否从该隧道内通过； (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？为什么？解：(1)y ＝－14(x －4)2＋6.(2)由图象可知，当y ＝4时，x 1＝4－22，x 2＝4＋22， ∴||x 1－x 2＝42>2.∴一辆货车高4 m ，宽2 m ，能从该隧道内通过. (3)由(2)知，12||x 1－x 2＝22>2，∴这辆货车可以顺利通过.。
拱桥问题
② 选择运算简便的方法.
课后作业
见《学练优》本课时练习
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 2 二次函数的形式为 y ax
如何确定a是多少？
-2
-1 -2
1
2
A
已知水面宽4米时，拱顶离水 面高2米，因此点A（2，-2） 在抛物线上，由此得出 解得
A
∴-4=100a，a=-0.04 ∴y=-0.04x2.
二 利用二次函数解决运动中抛物线型问题
例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距
离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运
行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，
篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中 心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少米？
导入新课
情境引入
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州 观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛
美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的
坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
5悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地
看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥 面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建
二次函数实际问题之拱桥与运动问题+课件+++2024--2025学年人教版九年级数学上册+
1
1 2
解：∵y＝− 6x +2x+4=− (x-6)2+10
6
∴对称轴为直线x＝6，
由题意得,货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）
∴当x＝2或x＝10时，y＝
∴这辆货车能安全通过.
22
＞6，
3
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果
三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象，为下
列选项中的( D )
A
B
C
D
例2
55页第3
3．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均
为20 cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以
2 cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y cm2与
时间t s之间的函数关系式．
解：由题意得AN＝2t，重叠部分为等腰直角三角形，
∴AM＝HM＝20－2t，
∴y＝ AM·HM＝ (20－2t)2＝2t2－40t＋200(0≤t≤10)．
叁 课堂练习
55页第6
城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通
道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2
2
解得a＝－ ，∴y＝－ x ，当水面下降1
m时，
2
即y＝－3时，－3＝－ x ，
解得x1＝－
∴
－(－
，x2＝
)＝2
，
．
答：当水面下降1 m时，水面的宽度为2
22.3.3拱桥问题和运动中的抛物线
22.3.3——拱桥问题和运动中的抛物线学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．(重点)2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．(重、难点)一、利用二次函数解决实物抛物线形问题建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？例1、如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米.（1）以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立坐标系，求出抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若水位上升1.5米时，求此时的水面宽度；（3）在（1）的条件下，若水位下降1米时，水面宽度比初始时增加多少？例2、如图1是一座抛物线型拱桥C1侧面示意图．水面宽AB与桥面长CD均为24m，点E在CD上，DE=6m，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离；(2)如图2，在(1)的条件下，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆是形状相同的抛物线C2，C3，其最低点与桥面CD的距离均为1m.①求出C2的解析式；②求拱桥抛物线C1与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值．二、利用二次函数解决运动中抛物线型问题例3、如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？例4、跳绳运动中，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是(0,1).身高1.50m的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1m时，绳子刚好经过她的头顶．(1)求绳子所对应的抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围)；(2)身高1.70m的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？(3)身高1.64m的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手s m，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s的取值范围．例5、飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s=60t−1.2t2.飞机着陆后滑行______米才能停下来．变式训练：1.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=20t−5t2，当遇到紫急情况时，司机急刹车，但由于惯性，汽车要滑行______s才能停下来．t2，飞机着陆2.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式为y=60t−65至停下来期间的最后10s共滑行______m.课堂练习：1.军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－x2＋10x.经过秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是米，经过秒炮弹落到地上爆炸了．2.烟花厂为春节特别设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度ℎ(m)关于飞行时间t(s)的函数表达式为ℎ=−3t2+12t+30，若这种礼炮在上升到最高点引爆，则从点火升空到引爆需时______s.23.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行____ _m才能停下来．4.如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需( )A. 18秒B. 36秒C. 38秒D. 46秒5.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度ℎ(米)与小球的运动时间t(秒)之间的关系式是ℎ=30t−5t2(0≤t≤6)，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出______秒时，两个小球在空中的高度相同．6.物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度ℎ(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度ℎ=30m时，t=1.5s其中正确的是( )A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ②③7.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱MN的高度为__ _米．8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2) 当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．。
22.3-第3课时--拱桥问题和运动中的抛物线
判断此球能否准 确投中的问题就
20 =a(0 4)2 4, 9
所以抛物线的解析式是 y
解得
1
a (x
1 9
4)2
.
4
.
是判断代表篮圈 的点是否在抛物 线上；
当x=8时，则
y9
B
C
y 1 (8 4)2 4 20 3,
9
9A
20 米
4米
3米
所以此球Байду номын сангаас能投中.
9
O 4米
x
当堂练习
1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则 球在 4 s后落地.
2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米） 关于水平距离x(米）的函数解析式为 y 1 x2 1 x 3 ，那么
8 22
铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米. y
O
x
3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一 个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处 的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落 下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处 达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的 半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的
位置，说出这个二次函数的解析式类型.
y
y
y
O
x
x
O
x
拱桥问题中的抛物线(课堂PPT)
第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数（4）
第4课时 拱桥问题中的抛物线
1
学习目标
1.通过拱形桥问题的学习,学会怎样求二次 函数的解析式； 2.能够根据题意建立适当的平面直角坐标 系,利用数形结合解决实际问题.
y
X 2
4
12
y
解：建立如图所示坐标系,
设二次函数解析式为 y a x 2 .
O -2,-2) ●
-3
x 由抛物线经过点（2，-2），可得
a 1, 2
● (2,-2) 所以，这条抛物线的解析式为
y 1 x2. 2
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
y 3.
水面下降 1 m, 水面
当 y 3 时，x 6.
19
课堂小结
转化
实际问题 （实物中的抛物线形问题） 回归
数学模型
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛 物线问题
转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
20
宽度为多少？水面 宽度增加多少 ？
所以，水面下降1m，水面的宽度
为 2 6 m.
所以水面的宽度增加了 2 6 4 m. 13
知识要点 解决抛物线型实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行 有关的计算.
东丽区二中九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线学习目标：会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．重点、难点1.重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题2.难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题导学过程：阅读教材P25, 完成课前预习【课前预习】探究1：如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是35321212++-=x x y ，问此运动员把铅球推出多远？探究2：图26．3-2中的抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2m 。
水面宽4m 。
水面下降1m ，水面宽度增加多少？(多种方法)【课堂活动】活动1：预习反馈活动2：典型例题例1．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2．25m ．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）活动3：随堂训练1.2.一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图2,已知球在A处出手时离地面20/9 m,与篮筐中心C的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4m（B处）,设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3m. ①问此球能否投中?（选做)②此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m,他如何做才能盖帽成功?活动4：课堂小结【课后巩固】1.有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图1，已知沿底部宽AB为4m，高OC为3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4m；集装箱顶部离地面2.1m。
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拱桥问题和运动中的抛物线
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点一：建立二次函数模型
【类型一】运动轨迹问题
某学校初三年级的一场篮球比赛中，如
图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20
9米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球
出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．
解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，20
9)，B (4，4)，C (7，
3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－1
9(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所
以此球一定能投中．
(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
【类型二】拱桥、涵洞问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱
桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝
a ×22，a ＝－12
，∴y ＝－12
x 2，当y ＝－3时，－1
2
x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直
角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．
解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．
(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即
a ＝－
112.所以此函数关系式为y ＝－
1
12
(x －6)2＋6＝－
1
12
x 2＋x ＋3.
(3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－
1
12m 2＋m ＋3)，D (m ，－
1
12
m 2＋m
＋3)．即“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－
1
12
m 2＋m ＋3)＋(12－2m )＋(－
1
12
m 2＋m ＋
3)＝－1
6m 2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大
值为18.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。