高等数学6.3平面曲线的弧长

且每个小段Mi1Mi都缩向一点时， 如果此折线的长 |Mi1Mi|的 极限存在， 则称此极限为曲线弧AB的弧长， 并称此曲线弧AB B Mn 是可求长的．
n i 1
定理 光滑曲线弧是可求长的．
A M0
Mn1
M1
M2
)
二、直角坐标情形
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间[a，b]上具有一阶连续导数． 曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为， s ( dx) 2 ( dy) 2 1 y2 dx ， y 弧长元素(即弧微分)为 ds 1 y dx ，
b
b a
2 [(1 b)3 / 2 (1 a)3 / 2 ] ， 3
x 例2 计算悬链线 y cch 上介于xb与xb之间一段弧的 c 长度． x sh ，从而弧长元素为 解 y c y x 2 x ds 1 sh dx ch dx ． x c c y cch c 因此，所求弧长为 b b x x c s ch dx 2 ch dx b 0 c c x b 2c[ch ]b 2csh ． 0 c c -b b x O
§6．3 平面曲线的弧长
一、平面曲线的弧长的概念 二、直角坐标情形 三、参数方程情形
四、极坐标情形
一、平面曲线的弧长的概念
设A，B 是曲线弧的两个端点．在弧AB上任取分点 AM0，M1，M2，· ，Mi1，Mi，· ，Mn1，MnB ， · · · · )
并依次连接相邻的分点得一内接折线．当分点的数目无限增加
2
b
讨论：
x (t ), (1)设曲线弧由参数方程 ( t )给出，其中 y (t )
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
是什么？ (2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
2 3/ 2 例1 计算曲线 y x 上相应于x从a到b的一段弧的长度． 3
解
yx 3/2， 从而弧长元素 ds 1 y2 dx 1 ( x1/ 2 ) 2 dx 1 xdx ，
因此，所求弧长为
2 s 1 xdx (1 x)3 / 2 a 3
三、参数方程情形
设曲线弧由参数方程 x (t ), (t) y (t )
给出， 其中(t)、(t)在[，]上具有连续导数．
dy (t ) dx(t)d t ， 所以弧长元素为 因为 (t ) ， dx
2 (t ) ds 1 2 (t)d t 2 (t ) 2 (t )dt ， (t )

，
r 2 ( ) r 2 ( )d ．
例4 求阿基米德螺线ra (a>0)相应于 从0到2p 一段的弧 长． 解 r( ) a． 弧长元素为 ds r 2 ( ) r 2 ( )d a 2 2 a 2 d a 1 2 d ， 于是所求弧长为
设曲线弧由极坐标方程 r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
x r ( ) cos , y r ( ) sin ,
于是得弧长元素为 ds r 2 ( ) r 2 ( )d 从而所求弧长为 s
2
yf(x) M s
已知曲线的弧长为 s a 1 y2 dx ．
b
M0
O x0
M
dy
dx
x x+dx x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则 ds 1 y dx ，s a 1 y2 dx ．
所求弧长为 s

2 (t ) 2 (t )dt ．
x a( sin ), 例3 计算摆线 的一拱(0 2p )的长度． y a(1 cos ) 解 x ( )a (1cos )，y ( )a sin ．
弧长元素为
ds x2 ( ) y2 ( )d
a 2 (1 cos ) 2 a 2 sin 2 d 2a sin d ． 2

所求弧长为 y
2p s 0 2a sin d 2a[2 cos ]0 8a ． 2 2
2p
Байду номын сангаас

2a
O
pa
2p a
x
四、极坐标情形
s 0
2p
a a 1 d [2p 1 4p 2 ln(2p 1 4p 2 )] ． 2
2
2pa
O ra
x