排列用课件

A24=156(个).
(2)是 5 的倍数的五位数可分为两类:个位数字是 0 的五位数有A45
个;个位数字是 5 的五位数有A14 ·A34个.
故满足条件的五位数共有A45 + A14 ·A34=216(个).
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反思感悟元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件 解题策略
元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体 参与其他元素排列
元素不相 邻
通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的 排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空档
有多少种? 解:第一步:从其余 5 人中选 1 人放于甲、乙之间,有A15种排法. 第二步:将甲、乙及中间 1 人看作一个元素与其他四个人全排,
有A55种排法. 第三步:中间 1 人固定,甲、乙两人排列,有A22种排法. 根据分步乘法原理得A15 × A22 × A55=1 200(种), 故有 1 200 种排法.
殊元素开始考虑,或从特殊的位置开始考虑.
解:(1)(方法一 元素分析法)
先排甲有 6 种排法,其余有A88种排法,故共有 6·A88=241 920 种排法.
(方法二 位置分析法) 中间和两端有A38种排法,包括甲在内的其余 6 人有A66种排法,故共 有A38 ·A66=336×720=241 920 种排法.
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跟踪训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从
中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少
种不同的安排方法?
解:(方法一 分类法)分两类. 第 1 类,化学被选上,有A13A35种不同的安排方法; 第 2 类,化学不被选上,有A45种不同的安排方法. 故共有A13A35 + A45=300(种)不同的安排方法. (方法二 分步法)第 1 步,第四节有A15种排法;第 2 步,其余三节有 A35种排法,故共有A15A35=300(种)不同的安排方法. (方法三 间接法)从 6 门课程中选 4 门安排在上午,有A46种排法, 而化学排第四节,有A35种排法,故共有A46 − A35=300(种)不同的安排方 法.
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5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?
(2)这些四位数中大于6 500的有多少个?
解: (1)偶数的个位数只能是 2、4、6,有A13种排法,其他位上有A36种排 法,由分步乘法计数原理,知共有四位偶数A13 ·A36=360(个);能被 5 整 除的数个位必须是 5,故有A36=120(个). (2)最高位上是 7 时大于 6 500,有A36种,最高位上是 6 时,百位上只能
(4)(插空法)将其余 4 人排好,有A44种排法.将甲、乙、丙插入 5 个空中,有A35种排法.
故共有A44 × A35=1 440(种)排法.
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互动探究对于本例中的7人wenku.baidu.com若甲、乙两人之间只有1人的排法
(3)比1 325大的四位数可分为三类:
第一类:形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有A14 ·A35个; 第二类:形如 14□□,15□□,共有A12 ·A24个; 第三类:形如 134□,135□,共有A12 ·A13个. 由分类加法计数原理知,比 1 325 大的四位数共有 A14 ·A35 + A12 ·A24 + A12 ·A13=270(个).
2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法一 般针对对立面比较容易求解的题目特别实用.
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3.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,
则有
个七位数符合条件.
是 7 或 5,故有 2×A25种.∴由分类加法计数原理知,这些四位数中大于
6 500 的共有A36+2×A25=160(个).
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法二:(插空法)将其余 5 人全排列,有A55种排法,5 人之间及两端 共有 6 个位置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26种排法.故共有A55 × A26=3 600(种)方法.
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排列, 有A55种排法,甲、乙、丙三人有A33种排法,共有A55 × A33=720(种)排法.
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“邻”与“不邻”问题 例37人站成一排. (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种? (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种? (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种? (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种? 思路分析:若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、 乙或甲、乙、丙“捆绑”在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列. 至于不相邻问题,可以用“总”的排法减去“相邻”的排法,也可以用插 空法解决.
(3)(插空法) 先排 4 名男生,有A44种方法,再将 5 名女生插空,有A55种方法,故共 有A44 ·A55=2 880 种排法.
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方法点睛1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用 各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更 多的解决这类问题的方法.
第一类:当 0 在个位时,有A35个;
第二类:当 2 在个位时,千位从 1,3,4,5 中选定 1 个(A14种),十位和
百位从余下的数字中选(有A24种),于是有A14 ·A24个;
第三类:当 4 在个位时,与第二类同理,也有A14 ·A24个.
由分类计数原理知,符合题意的四位偶数共有A35 + A14 ·A24 + A14 ·
中
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用多种方法解决排列问题
典例 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少
种不同的排法?
(1)甲不在中间,也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
【审题视点】这是一个排列问题,一般情况下,从受到限制的特
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变式训练3用0,1,2,3,4,5这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?
(3)能组成多少个比1 325大的四位数?
解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:
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(方法三 等机会法) 9 个人的全排列数有A99种,甲排在每一个位置的机会都是均等的, 依题意,甲不在中间及两端的排法总数是A99 × 69=241 920(种). (方法四 间接法) 共有A99-3·A88=6A88=241 920 种排法. (2)先排甲、乙,再排其余 7 人,共有A22 ·A77=10 080 种排法.
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解:(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素,与其余 5 人全排 列,共有A66种排法.甲、乙两人可交换位置,有A22种排法,故共有A66 × A22=1 440(种)排法.
(2)法一:(间接法)7 人任意排列,有A77种排法,甲、乙两人相邻的 排法有A22 × A66(种),故甲、乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66=3 600(种).
解析:若 1,3,5,7 的顺序不定,则 4 个数字有A44=24 种排法,故按 1,3,5,7
这一顺序排列的排法只占总排法数的214.
故有 1
24
×
A77
=210(个)七位数符合条件.
练习 7个人站一排，其中甲在乙前面，乙在丙前面，共有多少
种不同的站法？
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