【高中数学必修2精品课件】6.2.4 向量的数量积

解：
―→ AO
―→ · BC
＝
―→ AO
―→ ·( AC
－
―→ AB
)＝
―AO→·―A→C －―AO→·―A→B ，如图，过O作OE⊥AC
于E，OF⊥AB于F.根据数量积的定义，得
―AO→·―A→C －―AO→·―A→B ＝3|AE|－2|AF|＝3×32－2＝52.
向量的模 [例 2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.
2．已知|a
|＝1，|b
|＝2，a
与b
的夹角为
π 3
，则b
在a
方向上的投
影向量为________． 解析：b 在a 方向上的投影向量为|b |cosπ3|aa|＝2×12a ＝a .
答案：a
3．已知向量a ，b 均为单位向量，a ·b ＝
2 2
，则a
与b
Fra Baidu bibliotek
的夹角为
________．
解析：设a 与b 的夹角为θ，由题意知|a |＝|b |＝1，则cos θ＝
向量数量积的运算 [例 1] (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°， 且|a |＝4，|b |＝2，求：①a ·b ；②(a ＋b )·(a －2b )． (2)如图，正三角形 ABC 的边长为 2，―AB→＝c，―B→C ＝a ， ―CA→＝b ，求 a ·b ＋b ·c＋c·a .
[解] (1)①由已知得 a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. ②(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12. (2)∵|a |＝|b |＝|c|＝ 2，且 a 与 b ，b 与 c，c 与 a 的夹角均 为 120°， ∴a ·b ＋b ·c＋c·a ＝ 2× 2×cos 120°×3＝－3.
a ·b b (2)向量 a 在 b 方向上的投影向量 · .
|b | |b | (3)注意：a 在 b 方向上的投影向量与 b 在 a 方向上的投影向
a 量不同，即向量 b 在 a 上的投影向量可表示为|b |cos θ .
|a |
3．向量数量积的运算律 (1)向量的数量积不满足消去律：若 a ，b ，c 均为非零向量， 且 a ·c＝b ·c，但得不到 a ＝b . (2)(a ·b )·c≠a ·(b ·c)，因为 a ·b ，b ·c 是数量积，是实数，不是 向量，所以(a ·b )·c 与向量 c 共线，a ·(b ·c)与向量 a 共线，因此， (a ·b )·c＝a ·(b ·c)在一般情况下不成立.
向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量 的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合 运算类似于多项式的乘法运算．
[变式训练]
1．在等腰直角三角形 ABC 中，AB＝BC＝4，则―A→B ·―B→C ＝ ________，―B→C ·―C→A ＝________，―C→A ·―A→B ＝________.
解析：由题意，得|―A→B |＝4，|―B→C |＝4，|―C→A |＝4 2， 所以―AB→·―BC→＝4×4×cos 90°＝0，―B→C ·―C→A ＝4×4 2×cos 135° ＝－16，―C→A ·―A→B ＝4 2×4×cos 135°＝－16.
答案：0 －16 －16
2．△ABC 的外接圆圆心为 O，AB＝2，AC＝3， 求―AO→·―B→ C .
＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，所以|a＋b|＝ 13.
新学法解读 本节重点是平面向量的数量积的概念、向量的模及夹角 的表示，难点是平面向量数量积的运算律的理解及数量 积的应用．另外，向量的数量积与数的乘法既有区别又 有联系，学习时注意对比.
[思考发现]
1．已知|a |＝2，|b |＝ 3，a 与b 的夹角为π6，则a ·b ＝________.
解析：a ·b ＝|a ||b |cosπ6＝2× 3× 23＝3. 答案：3
|aa|·|bb|＝ 22，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.
答案：π4
4．已知平面向量a ，b 满足|a |＝ 3 ，|b |＝2，a ·b ＝－3，则|a ＋2b |＝________. 解析：根据题意，得|a ＋2b |＝ a2＋4a·b＋4b2＝ 7. 答案： 7
5．下面给出的关系式中正确的序号是________． ①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ； ⑤(a ·b )2＝a 2·b 2. 解析：①②③正确，④⑤错误，|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|≥a ·b ， (a ·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝a 2·b 2cos2θ≠a 2·b 2. 答案：①②③
(1)求 a 与 b 的夹角 θ；
(2)求|a ＋b |.
[解] (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
将|a|＝4，|b|＝3 代入上式，得 a·b＝－6， 所以 cos θ＝|aa|··b|b|＝4－×63＝－12.又 0≤θ≤π，所以 θ＝23π. (2)因为|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2
[系统归纳]
1．关于数量积的结果 (1)非零向量数量积的运算结果是一个数量， 当 0°≤θ<90°时，a ·b >0； 当 90°<θ≤180°时，a ·b <0； 当 θ＝90°时，a ·b ＝0. (2)特别地，如若 a 或 b 等于零，则 a ·b ＝0.
2．关于投影向量 (1)向量 a 在 b 方向上的投影向量为|a |cos θ e(其中 e 为与 b 同向的单位向量)，它是一个向量，且与 b 共线，其方向由向量 a 和 b 夹角 θ 的余弦决定．
本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待 你的加入与分享
6 ．2 .4 向量的数量积
新课程标准 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其
物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的
意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.