第五章 离散时间傅里叶变换2012
实验离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换
实验二离散时间傅里叶变换和离散傅里叶变换一.实验目的1. 深刻理解离散时间信号傅里叶变换的定义，与连续傅里叶变换之间的关系；2. 深刻理解序列频谱的性质(连续的、周期的等) ；3. 能用MATLAB编程实现序列的DTFT，并能显示频谱幅频、相频曲线；4. 深刻理解DFT的定义、DFT谱的物理意义、DFT与DTFT之间的关系;5. 能用MATLAB编程实现有限长序列的DFT ；6. 熟悉循环卷积的过程，能用MATLAB编程实现循环卷积运算。
二.实验原理1. 离散时间信号的频谱和图示化2. 离散傅里叶变换的定义和图示化三.实验结果w=[0:2:500]*pi*2/500;h=(1+0.9*exp(-j*w))./(1-0.9*exp(-j*w));magh=abs(h);plot(w/pi,magh);grid;xlabel( 'f' );ylabel( '|H(w)|' );n=[0:127];m=[0:127];x=exp(j*2*pi/128*m.* n);[xk]=dft(x,128);n=[0:127];m=[0:127];x=cos(2*pi/128*m.* n);[xk]=dft(x,128);stem( n,xk);xlabel( 'n' );ylabel( 'xk');« 0n=[0:127];m=[0:127]; [xk]=dft(x,128);stem( n,xk);xlabel( 'n' );ylabel( 'xk');n=[0:127];m=[0,127];x=s in(n);[xk]=dft(x,128);stem( n,xk);xlabel( 'n' );ylabel( 'xk');fC. ------------------------ ----------- ------------- ------------ ------------ ------------ -------------40 - -■3D ・-2D =-1D I- ii j | i■西k -____ g , ，上，___________注X] Sfl EC IDO 120 '40n=[0:127];m=[0:127];x=cos( n);[xk]=dft(x,128);stem( n,xk);xlabel( 'n' );ylabel( 'xk');n=[0:127];m=[0:127];x=n;[xk]=dft(x,128);stem( n,xk);xlabel( 'n' );ylabel( 'xk');n=[0:9];x1=[1,1,1,1,1,0,0,0,0,0];x2=[1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1];[y]=circ on vt(x1,x2,10);stem( n,y);xlabel( 'n' );ylabel( 'y');。
离散序列的傅里叶变换
离散序列的傅里叶变换离散序列的傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种将离散序列从时域转换到频域的数学工具。
它在信号处理、图像处理、通信等领域扮演着重要角色。
本文将介绍离散序列的傅里叶变换的基本概念、性质以及在实际应用中的一些例子。
一、离散序列的傅里叶变换的基本概念离散序列的傅里叶变换是将一个离散序列转换为一系列复数的运算。
它的定义公式为：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的复数序列，表示原始序列在频率为k的分量上的幅度和相位信息；x(n)为时域上的离散序列，表示原始序列在时间点n上的取值；N为序列的长度；e为自然对数的底数，j为虚数单位。
二、离散序列的傅里叶变换的性质离散序列的傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、平移性、对称性等。
1. 线性性：对于离散序列x(n)和y(n)，以及任意常数a和b，有DFT(ax(n) + by(n)) = aDFT(x(n)) + bDFT(y(n))。
2. 平移性：如果将离散序列x(n)平移m个单位，则其傅里叶变换为X(k)e^(-j2πkm/N)。
3. 对称性：如果离散序列x(n)是实数序列且长度为N，则其傅里叶变换满足X(k) = X(N-k)。
三、离散序列的傅里叶变换的应用举例离散序列的傅里叶变换在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子：1. 信号处理：在音乐、语音、图像等信号处理领域，离散序列的傅里叶变换可以用来分析信号的频谱特性，包括频率成分、能量分布等。
通过傅里叶变换，我们可以将时域上的信号转换为频域上的信号，从而更好地理解信号的特征。
2. 图像处理：在图像处理中，离散序列的傅里叶变换可以用来进行图像的滤波、增强、压缩等操作。
通过将图像转换到频域上，我们可以对不同频率分量进行处理，从而实现对图像的各种操作。
3. 通信系统：在通信系统中，离散序列的傅里叶变换可以用来实现信号的调制、解调、滤波等功能。
离散傅里叶变换(DFT)
尾补L－M个零后，再形成第一行的循环倒相序列。
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位 形成的。 （3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) y ( L 1)c x( L 1) x( L 2) x( L 3) x(1) h(0) x(2) h(1) x(3) h(2) x (0) h( L 1)
主值序列 x(n)
DFT变换对
x(n)的长度为M点，N≥M
N点DFT 变换对
DFT [ x(n)] X (k ) x(n)WNkn
n 0 N 1
WN e
j
2 N
k 0,1,..., N 1 n 0,1,..., N 1
1 N 1 IDFT [ X (k )] x(n) X (k )WN kn N k 0
1 IDFT[ X (k )]N N
N 1
[ x(m)WNmk ]WN kn
k 0 m 0
N 1 N 1
1 x ( m) N m 0
1 N
WNk ( m n )
k 0
N 1
W
k 0
N 1
k ( mn ) N
1 N
e
k 0
N 1 j 2 k ( m n ) N
x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
用矩阵计算循环卷积的公式
L 1 yc (n) h(m) x((n m)) L RL (n) m0
第五章离散时间傅里叶变换课件
n
x[m]
m
1
1 e j
X (e j ) X (e j0 ) ( 2k)
k
dx(t) jX ( j)
dt
t
x(t)dt
1 X ( j) X (0) () j
2024/8/3
25
第五章 离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换 5. 时间反转
x[n] X (e j )
连续时间傅里叶变换 x(t) X ( j)
连续傅立叶变换与离散傅里叶变换：
T1
T1
2024/8/3
T1 T1
N1
N1
N1 N1
15
第五章 离散时间傅里叶变换
5.2 周期信号的傅立叶变换
思路：将冲激函数引入到傅立叶变换中。
考虑单位脉冲序列的傅里叶变换：
X (e j ) [n]e jn 1 n
它的反变换为：
1 X (e j )e jnd 1 e jnd [n]
k
2ak
(
k
2
N
)
a1
aN 1
0
a2
2 2 0
aN 2
20 22 20
a0
aN
2024/8/3
0
2 2
20
0
第五章 离散时间傅里叶变换
例1 考虑周期信号
x[n]
cos0n
1 2
e
j0n
1 2
e
j0n
0
2
5
所以傅里叶变换为：
X (e j ) ( 0 2l) ( 0 2l)
sin(k / N)
k 0,N ,2N ,
2N1 1
k 0,N ,2N ,
离散时间傅里叶变换
X
(e
j
)
sin
N1
sin
1 2
2
连续时间非周期矩形脉冲傅里叶变换： X(j)2sinT1
4. x[n][n]
X(ej) 1
Xej xnejn nejn1
n
n
20
三、离散时间傅里叶变换的收敛性
例5.1，5.2是无限长序列
x[n]a|n|,|a|1; 其傅里叶变换存在。 x[n]anu[n]|,a|1
X * ( e j ) X ( e j )即,X * ( e j ) X ( e j )
因此:
X (ej)X (e j) RX ( e ej) RX ( e e j) X (ej) X (e j) Im X (ej) Im X (e j)
❖ 若 x[n] 是实偶信号,则 x[n]x[n],
x% [n]X(ej)
ak2(k02l) kN l
23
如图P263 Fig5.9:下页
X (e j ) 2 a 0 ( 2 l) 2 a 1 (0 2 l)
l
l
.. .2aN1 ((N1)02l) ,02/N l
如果周期函数中包含连续相继的N次谐波，则有：
X(ej)2k ak(2N k)
调制特性在信息传输中是极其重要的。
一定是以 2 为周期的,因此,频域的冲激应该是周
期性的冲激串:
2（0 2k）
k
对其作反变换有
xn 1 X ej ejnd
2 2
0 ejnd ej0n
2
22
可见, 2（ 02k） F 1 ej0n k
由DFS ,有 ~ xnkNakejk0n,02N
因此,周期信号 ~xn 可表示为DTFT
信号与系统第五章离散时间傅立叶变换
, N
,
n k
4
考察脉冲宽度不变，周期N增大时Nak变化情况
N1 2
Nak
N 10
k
N1 2
N 20
k
N1 2
k
N 40
5
当 N 时，有0 (2 / N ) 0 ，将导致信号的频谱无 限密集，最终成为连续频谱。
从时域看，当周期信号的周期 N 时，周期序列
5.9 小结 Summary
本章与第4章平行地讨论了DTFT，讨论的基本 思路和方法与第4章完全对应，得到的许多结论 也很类似。
通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号 时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在 CTFT中都有相对应的结论，而且它们也存在一 些重要的差别，例如DTFT总是以2π为周期的。
10
0 a 1
x[n] 单调指数衰减
1 a 0
x[n] 摆动指数衰减
11
2. x[n] a|n|, | a | 1
x[n] anu[n 1] anu[n]
1
X (e j ) ane jn ane jn ane jn ane jn
Nak
j 2 kn
x[n]e N
n N
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Nak
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 4 5
8 9 10
2siNn[1 2k1, (N1 1/
sin(k / N
2) )
/
N
k ),
k
0, N , 2N 0, N, 2
ak
2
ak 2称为周期信号的功率谱。
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
离散时间傅里叶变换
离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。
考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。
下图给出了这种类型的⼀个信号。
由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。
随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。
⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。
现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
第五章离散时间傅里叶变换
五. 共轭对称性
如果 x[n] X (e j )
则有 x *[n] X * (e j )
1. 若 x[n] 是实序列，则 x *[n] x[n]
X (e j ) X *(e j )
两边同取共轭
X * (e j ) X (e j )
因此
X (e j ) X (e j )
X (e j ) X (e j )
(e
j0)
k
(
2k )
时域求和
n
例: [n] 1, 求 u[n] [k] 的傅里叶变换。 k
解：由积分时域求和性质求解：
u[ n]
1 1 e j
(
k
2k)
七. 时域与频域的尺度变换 书P268，图5.13
x(k
)
[n]
x[n
k
]
0
n是k的整倍数，k为正整数 其它n
则
第五章 离散时间傅立叶变换
本章主要内容
离散非周期信号的傅立叶变换； 离散周期信号的傅立叶变换； 傅立叶变换的性质； 系统的频率响应与频域分析；
常见英语缩写
DFS:离散时间傅立叶级数 the discrete Fourier series
CFS:连续时间傅立叶级数 the continuous Fourier series
N1 N1
求其傅里叶变换。
解：由 X (e j ) x[n]e jn
n
X (e j )
N1
e jn
n N1
s in( N1
1 2
)
sin
2
本例题的时域信号为实偶序列，对应的傅里叶变换
也是实偶函数，从而再次验证了例5.2的结论：
离散时间傅里叶变换
ω
2011-4-30
电气信息工程学院
高丙坤
2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
Ak = 1 Ts
FT e jk Ω s t 2πδ (Ω − k Ω s ) →
∞
S a ( jΩ) = Ω S
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
2011-4-30
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Digital Signal Processing
δ (Ω − k Ω s − θ ) =
1 0
2.2 离散时间傅里叶变换 卷积 是一个具有DTFT 设 x(n) 是一个具有 的序列， X (e ) 的序列，请用 X (e ) 表示
jω jω
x(n) ∗ x (−n) 的DTFT
*
2011-4-30
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Digital Signal Processing
2.2 离散时间傅里叶变换 能量守恒定理
连续信号FT FT与 2.3 连续信号FT与DTFT 例题 证明
s a (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nT )
s
∞
的傅里叶变换为
S a ( jΩ) = Ω S
2011-4-30
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
∞
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Digital Signal Processing
连续信号FT FT与 2.3 连续信号FT与DTFT
2011-4-30
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2.4 采样定理
Xa ( jΩ)
π Ts
−6000π 6000π
π Ts
《离散傅里叶变换》课件
其中，$W_N = e^{-frac{2pi i}{N}}$是复数单位根。
DFT的性质
• 线性性质：若$a[n]$和$b[n]$是两个离散信号，且$c[n] = a[n] + b[n]$，则其DFT满足
DFT的性质
$C[k] = A[k] + B[k]$
直接计算法
定义
直接计算法是离散傅里叶变换 （DFT）最基础的方法，通过 直接计算得出信号的频域表示
。
过程
对给定的有限长度序列，通过 逐个计算每个复数乘积，得到 DFT的结果。
优点
简单易懂，易于理解。
缺点
计算量大，效率低，不适合处 理大规模数据。
快速傅里叶变换（FFT）算法
定义
过程
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT的算法，通过减少冗余计算，显著降低 了DFT的计算复杂度。
周期性：对于长度为N的信号，其DFT具有周期性，即
DFT的性质
$X[k+N] = X[k]$
共轭对称性：对于长度为N的实数信号，其DFT具有共轭对称性，即
DFT的性质
$X[-k] = X[k]^*$ Parseval恒等式：对于任何离散信号x[n]，其DFT满足
$sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 = frac{N}{2pi} sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2$
频率提取
通过DFT，可以从复杂的信号中 提取特定的频率分量，用于信号 识别和特征提取。
信号处理
滤波
利用DFT，可以对信号进行滤波，去 除噪声或增强特定频率的信号。
调制与解调
《信号与系统》第五章
l) +
... +
c ∑ 2πδ (Ω − ( N − 1)2π / N
l)
例5－9，例5－10
离散时间信号
的傅立叶变换为（ ）
A.
B.
C.
D.
下面说法中正确的是( ) A. 离散时间信号 x[n]的绝对可和是其离散时 间傅立叶变换存在的充分条件。 B. 非周期离散时间信号 x[n]的偶部：频谱为 的实偶函数。 C. 非周期离散时间信号 x[n]的虚部：频谱为 的虚奇函数。 D. x[n]是实值的，则其频谱X(Ω)的模是Ω的 奇函数。
x[n] =
k =< N >
∑
c k ϕ k [ n] =
k =< N >
∑
ck e jk 2πn / N
（5－29）
¾ 将周期序列表示成式（5－29）的形式，即一组成谐波关系的复指 数序列的加权和，称为离散傅里叶级数（Discrete Time Fourier Series），而系数 k 则称为离散傅里叶系数。
3 时域抽样定理
时域抽样定理：设x(t)是一个有限带宽信号，即在 | ω |> ωm时, X (ω) = 0 ，若 ω > 2ω 或T < 1/ 2 f ，则x(t)可以唯一地由其样 s m m 本x(nT)确定。
最低抽样频率 2ω m 称为奈奎斯特抽样率
练习：信号 x(t) =
sin2π t πt
的奈奎斯特抽样间隔为(
)
时域抽样（采样）定理的具体应用 ¾若已知x(t)，可通过以下办法得到x(t) 的样本 x(nT)并重建x(t): 1)将周期冲激串 p(t)与x(t)相乘，得到一冲激串 xp (t) 2） x p (t) 的依次冲激强度得到样本值x(nT) 3)将冲激串通过一个增益为T，截至频率大于 ω m 而小于 ωs −ωm 的 理想低通滤波器，那么该滤波器 的输出就是x(t)
离散时间信号的傅立叶变换
第5章 章
离散时间信号的傅立叶变换
The Discrete-Time Fourier Transform
注释: 注释:
CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数 DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数 CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换
当 k 在一个周期范围内变化时， ω0 在 2π 范围 在一个周期范围内变化时， k 变化， 变化，所以积分区间是 2π 。
1 jω ak = X (e ) 2π ω= k N N
1 ∴ x(n) = 2π
2
∫π
X (e
jω
)e
jω n
dω
表明:离散时间序列可以分解为频率在 区间上 表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上 1 分布的、 分布的、幅度为 的复指数分量的 X (e jω )dω 2π 线性组合。 线性组合。 结论： 结论：
X e jω） （
X e ） （ =
jω
n = −∞
∑
∞
x (n )e
− jω n
DTFT
将其与 ak 表达式比较有
1 2π jk ω0 jk ω0 n 于是: x ( n ) = 于是: % ∑ > X ( e ) ⋅ e , ω0 = N N k =< N 1 jk ω0 jk ω0 n = ∑ > X ( e ) ⋅ e ⋅ ω0 2π k =< N 当 N →∞时，x(n) → x(n), kω0 →ω, ω0 →dω, ∑→ ∫ , %
第五章讲义——离散时间傅立叶变换
~
− jk ( 2π / N ) n
+∞
define the envelop of Nak is X (e jw ) X (e ) =
jw
n=−∞
∑ x [ n] e
)
n=−∞
n=−∞ − jk ( 2π / N ) n
1 = N
∑
+∞
x [ n] e−
− jk ( 2π / N ) n
∑
+∞
x [ n] e− jwn
jw
Example 5.3
1, | n |≤ N1 x[n] = ,determine X e jw 0, | n |> N1
( )
X (e ) =
jω
sinω ( N1 + 1 ) 2 sin(ω / 2)
5.0 Introduce
The difference of CFS and DFS
% (t) = x
CFS
ak
k =−∞
∑
T
+∞
ak e jkw0t
1 = T
∫
% ( t ) e − jkw0t dt x
% [ n] = x
DFS
k =< N >
∑
ak e
jkω0 n
1 ak = N
n=< N >
CFT
X ( jw ) = ∫ 1 x(t) = 2π
+∞ −∞
DFT
− jwt
x(t)e
dt
X (e
jω
)= 1 2π
n=−∞
∑
2
+∞
x[n]e − jωn