第四章 非稳态导热(5)14

大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
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B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突 然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平 壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方Leabharlann Baidu体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体
2.1 无限大平壁的分析解和诺谟图
对于无限大平壁、无限长圆柱体的非稳态导热 的分析解，即使是一维，表达式也很复杂。为工程 计算方便，把计算结果绘制成线图，称为诺谟图。
问题：如图所示，一厚为2δ的无限大平壁，无内热源， 物性参数等均为常量（常物性，与温度无关）； 初始温度均匀分布为t0。现将它放入温度恒为tf 的流体中进行冷却，对流传热系数为常量h 。 要求确定，平壁内的温度分布表达式（温度场） 及所放出的热流量。
c
a
导温系数，a大
t
大
。
2）通过重直于热流方向各截面的热流
量不相等，且随时间变化，即 ,
1 a b ....... 2 。
当非稳态导热过程结束，达到新的
稳态导热过程时，物体的内部温度
分布不再发生变化时，通过重直于
热流方向各截面的热流量才相等。
3）过程可划分为二个阶段：
① 不规则情况阶段（初始阶段）；
④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
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2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。 本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁 无限长圆柱体
(6)
aT d X dx2
1 dT 2 dT 2aT 0
(7)
aT d
d
1 X
d2X dx 2
2
d2X dx 2
2X
0
(8)
8
解得偏微分方程式（1）的特解为： (x, )
2 s in
n
c os ( n
x
)
2 n
e
a 2
0
n1 n sin n cosn
(9)
这是一个无穷级数，式中n 是解方程（1）过程中
A）大平壁一侧被加热过程 假设一个大平壁处于稳态导
热过程，两边初始温度分别为tW1， tW2，tW1>tW2左侧突然被加热温度 升为tW1‫ ׳‬,右侧流体温度保持不变为 tf ，平壁内发生了非稳态导热过程。 平壁中的温度分布、表面温度和表 面热流量的变化如右图所示。
右图(b)中阴影部分面积的大小表 示平壁在非稳态导热过程中所获得的 热量，它是以内能的形式贮存平壁内。
热处理钢板，从加热炉 中出来时温度为840℃， 经过20min后钢板温度 降为多少？在这20min 内钢板散去多少热量？ 在20min末了时的热流 密度是多少？
进行淬火处理的钢件， 在冷却油中经过多长时 间才能使钢件中心温度 由 800℃ 降 到 320℃ 下 。
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第四章 非稳态导热
作业
思考4-3 习题 4-2（142.6,557.2）
1.3 求解的目的和方法
1） 求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某 一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
度分布、表面温度和中心温度的变化、表 面热流量的变化如图所示。
同样，过程可划分为二个阶段：
① 不规则情况阶段（初始阶段）；
由两侧表面开始导入的热量到达中心对称面
之前的一段时间。
无限大平壁突然被加热
② 正常情况阶段。
当两侧表面导入的热量到达中心表面之后，使中心对称面温度不断升高，直
到中心对称面的温度达到热流体的温度，即达到新的平衡状态的这段时间。
大平壁非稳态导热分析 3
非稳态导热过程可以归纳出以下三个特点
1）过程中物体内各点温度随时间变化，即 t f (x, )，t 0
影响温度变化 t 快慢的因素主要有二个：
① 物体的导热系数的大小。 大 导热快 各点温度变化就快；
② 材料的比热容量 c 值，c 小温度变化快。
以上二方面合起来，表示成
t x
x
h t( , ) t f
(c)
引入过余温度 (x, ) t(x, ) t f
以上各式改写为
微分方程：
a
2
x 2
(1)
初始条件：（x,0） 0 （t0 t f )
(2)
边界条件：
(x,
x
x
) 0
x0
h
x
(3)
(a)
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方程求解思路: 采用分离变量法进行求解。
式（1） a 2 中含有两个变量 , x ，可以将该式的解表示成为两个函数的乘
出现的特征方程的根，即：
y
y1 tan
tan Bi ，其中Bi h ，
参数Bi叫毕渥准则 或毕渥数
设：y1 tan ，y2
有无穷多个解：1, 2, 3
Bi
,.........
..
n
实际计算表明：当
a 2 0.2
时，
Bi y2
o
1 2 3 4
一、概 述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地 变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时 间不断的 升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
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求解思路
物理模型：为第三类边界条件下的一维非稳态导热问题，即 t f (x, )。
数学模型：由导热微分方程式 t a( 2t 2t 2t ) qV x2 y2 z2 c
t a 2t
x2
定解条件：初始条件 0，t(x, ) t0
(b)
边界条件
x
0，t x
x0
0，
x
，
x 2
积，即： （x, ) (x) T ( )
(4)
将式（4）代人式（1），得： dT aT d 2 X
d
dx 2
将函数与变量合并，得： 1 dT 1 d 2 X aT d X dx2
(5)
该式成立的条件就是两边都等于某一常数，令该常数
为 2，
则式（5）改写为：
1 dT 1 d 2 X 2