圆周角公式推导

[文件] ｓx ｃ3ｊja0010.d ｏc

[科目］ 数学

［年级] 初三

[章节］

[关键词] 圆周角/圆

[标题] 圆周角(二)

[内容]

教学目标

(一）使学生掌握圆周角定理的三个推论,并能运用这些知识进行有关的计算和证明;

（二)使学生掌握利用直径所对的圆周角是直角作辅助线的方法；

(三)使学生认识到圆周角定理及其推论是证明和圆有关的角相等的重要定理,培养学生ﻭ

分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力.

教学重点和难点

圆周角定理的三个推论是重点；三个推论的灵活应用以及辅助线的添加是难点. 教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.什么是圆周角?(学生回答)

2.叙述圆周角定理.

3.观察图形7-７2，如果∠AOB=120°，那么∠ＡC 1B ，∠ＡC ２B,

∠AC 3B 各等于多少度?

先由学生观察回答，后教师指出：由于∠AC 1B,∠AC 2B,∠AC ３B 都是所对的圆周角,由圆周角定理知,它们都等于圆心角∠AOB

的一半，故∠AC 1B ＝∠A Ｃ2B ＝∠AC 3B ＝60°.

如果∠ＡOB 等于任意角α，那么结论又会怎样呢?

学生易答出∠ＡC 1B ＝∠A Ｃ2B ＝∠ＡＣ3B ＝2

1α． 于是由学生用文字语言叙述出上述结论：同弧所对的圆周角相等.

４．观察图7-７3，如果,那么∠E 和∠F 是什么关系?反过来如果∠E=∠F,那么AB

和CD 是什么关系?

在学生回答的基础上,由教师总结，并由学生用文字语言叙述出结论：等弧所对的圆周ﻭ

角相等，在同圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 5.观察图7－74,⊙O 1和⊙O 2是等圆,如果

,那么∠Ｃ1和∠C 2相等吗?反过来ﻭ，如果∠C 1=∠C 2，那么是否相等?

根据3、4、5的讨论,由师生共同归纳得出推论:

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆

周角所对的弧也相等

.

提问：在推论1中,

(１)“同弧或等弧”能否改为?“同弦或等弦”？为什么?

(2)“同圆或等圆”的条件能否去掉？

在学生回答的基础上,教师投影打出图形7-75.

由图(1)可以看到，∠C1和∠C２在一般情况下

是不相等的,由图（２）可知,如果在两个不

相等的圆中，相等的圆周角所对的弧是不等的.

６．请学生再思考:

（1)一个特殊的圆弧——半圆，它所对的圆

周角是什么样的角?

(２)如果一条弧所对的

圆周角是9０°，那么这条弧

所对的圆心角是什么样的角?

通过以上两个问题的

解决，得推论2:

推论２半圆(或直

径)所对的圆周角是直角；

90°的圆周角所对的弦是直

径(图7－76)

教师指出:这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、构成垂直关系创造ﻭﻭ了条件,要熟练掌握.

７.启发学生根据推论2推出推论3：

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形教师指出：推论3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一

半.

二、应用举例,变式练习

例1 如图7-７7,AD是△ABC的高，ＡE是△ABC的外接圆直径.

求证：AB·AＣ=ＡEＡD

分析：由AE是⊙O的直径，联想到直径的几个性质:

(１)直径上的圆周角是直角.

若连结BＥ或CE,便可得直角三角形ＡBE和直角三角形ACE.

(２）垂径定理

若过点O作弦AB的垂线ＯF,便可得直角三角形AＯＦ，同时

.

由于不同的思考方法，便得下述不同的证明方法

证法一:如图7-７8,连结ＢE．(具体证明过程由学生口述,教师板

书)

证法二：如图7-79.连结CＥ．

因为∠ＡCＥ=∠ADB=９０°，∠Ｂ=∠E，

所以△ACE∽△ABＤ

证法三：如图７－80,过点O作OF⊥ＡB于Ｆ,交⊙O于G.

证完后教师引导学生思考：

(1)此题还有其它证法吗？

(2)比较以上证法的优缺点.

最后教师指出:在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.

变式1 (投影打出）

如图7-81,△ＡBC内接于⊙Ｏ,∠1＝∠２.

求证：AB·AC＝AE·AD．

分析：要证明ＡB·AＣ＝AE·AD,只要证明，于是考虑

到要证明△AＢD∽△Aﻭ

EC,或△ABE∽△AＤＣ成立，因此连结BＥ或CE便可得出上述结论.

证明：(学生口述，教师板书)

变式2 (投影打出)

如图7－8２，已知△ABC内接于⊙Ｏ,弦ＡE平分∠BAC交BC于

D.

求证：AB·ＡC=ＡＥ·AD

由学生口述证题思路后,由一名学生上黑板板演一种证明方法.

教师指出:这组题目比较典型，圆和相似三角形有密切联系,证明

圆中某些线段成比例ﻭ

,常常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.

练习1 根据图7-８3中的条件,回答下列问题：(点A，B，C，Ｄ在同一个圆上)

（１)图7-８3（1）中有哪些相等的角？找出图中所有的相似三角形.

(2)在图7－83（2）中,若∠ＡDB=∠CDB,则图中哪些角相等?有几对相似三角形?有哪些相

等的弧和线段?

例2 如图7-84,已知在⊙O中,直径AB

为1０厘米,弦ＡC为6厘米，∠Ａ

ＣB的平分线交⊙Ｏ于D.

求BC，AD和BD的长.

分析：由AB为直径,知△AＣＢ和△ADB为直角三角形，

又AC和AB已知,可由勾股定理求BC.而CD是∠ACB的角平分线,

所以AD=DB,再由勾股定理可求AD和BD.

解:(略)

例3 求证:以等腰三角形的一腰为直径的圆平分底边.

缺图7－85

分析:首先引导学生依题意画出图7-85，并且明确题目的已知和求证,然后再考虑证法

重点启发学生添加辅助线AＤ.

证完此题后，教师进一步指出:

(1)若另一腰AＣ与⊙O交于点Ｅ,连结DＥ.则DE和BD、DＣ有何关系？△DEC是什么三

角形?它与△ＡBC有何关系?（

(2)若△ＡBC为等边三角形,则D，E分别是边BC和AC的什么点?AE,

ＤE和ＢD有何关系?请证明你的结论.(图７-87)

练习２如图7-8８，ＡB为⊙O的直径,弦AＣ=３厘米，BＣ=4厘米ＣD⊥AB，垂足为Ｄ．求AD，BD和CD的长．

说明：此题除了要用圆周角定理的推论，还要用到相似三角形的性质和勾股定理解题ﻭ

时可引导学生回忆以上内容后自己写出解题过程.另外，此题还可利用三角形的面积公式AC