多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法

多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法

、条件极值、拉格朗日乘数法

1. 转化为无条件极值

在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。如求的极值，就是无条件极值问题。

然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。若设长方体的三度为

,

则体积，同时应满足

于是我们的问题的数学含义就是：当自变量

满足条件

下取何值时能使函数

取得最大值。（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。

一般抽象出来，可表为如下形式：

即函数在条件

下的取极大（小）值问题。今后，我们称这种问题为

函数的条件极值问题。对自变量有附加条件的极值称为条件极值。一般称为目标函数，

为约束条件

( 或约束方程) 。

对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。

例如上述问题, 由条件,

解得,

于是得V .

只需求V 的无条件极值问题。

例6 求函数在约束条件

下的条件极值。解由约束条件可解出

代入目标函数，有：令

得驻点

由于当时，

，当时，在

时取极大值，又当时，由约束条件可解出

，

而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。

通过讨论无条件极值可得问题的解答。但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。因此，对条件极值我们应讨论一般解法。

2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法

在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。

拉格朗日乘数法：要找函数z = f ( x , y ) 在条件j

( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y

) , 其中l 为某一常数。

然后解方程组.

由这方程组解出x , y 及l , 则其中( x , y )

就是所要求的可能的极值点。

一般称 F ( x , y ) = f ( x , y

) + lj ( x , y ) 为拉格朗日函数，待定常数λ称为拉格朗日乘数归纳上述讨论过程，可得拉格朗日乘数法如下：欲求函数满足约束条件

的极值，一般步骤为：（ 1 ）构造拉格朗日函数 F ( x , y ) = f ( x ,

y ) + lj ( x , y ) ;（2 ）建立偏导数方程组

（3 ）解此方程组的解，可得可能的极值点

例7 将正数12 分成三个正数之和

使得为最大

.

令,

则解得唯一驻点，

故最大值为这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。

至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例8 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积.

解设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件

2( xy + yz

+ xz ) = a 2 下

求函数

V = xyz 的最大值。

构成辅助函数 F ( x , y , z ) = xyz + l

(2 xy + 2 yz + 2 xz - a 2 ) ,

解方程组,

得,

这是唯一可能的极值点。

因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得。

此时.

思考题：若及

在点均取得极值，则

在点是否也取得极值？

五、小结

1 、多元函数的极值

2 、（取得极值的必要条件、充分条件）

3 、多元函数的最值

4 、拉格朗日乘数法

六、作业

P 471 1 、2 、3 、6