古典概型例题及变式
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古典、几何概型例题及变式
例题.同时掷两个骰子，观察向上的点数，计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）点数之和是5的结果有多少种？
（3）点数之和是5的概率是多少？
变式：（1）点数之和为6的概率是多少？
（2）点数之和为5的倍数的概率是多少？
（3）点数之和为3的倍数的概率是多少？
（4）点数之和为奇数的概率是多少？
（5）出现点数相同的概率是多大？
（6）点数之和为多少时的概率最大？
例题：一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率。（尝试用多种解法）
E D O B
A C 例题．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
例题：如图，60AOB ∠= ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，
试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率；
(2)AOC ∆为锐角三角形的概率．
4例题：解：如图，由平面几何知识： 当
AD OB ⊥时，1OD =；
当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．
（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形
记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45
OD EB P M OB ++=== 即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．
（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，
记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N ，则3()
0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．
3.解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，
10－（x ＋y ）， 则 010010010()10x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<-+<⎩，即010010010x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩． 由一个三角形两边之和大于第三边，有 10()x y x y +>-+，即510x y <+<．
又由三角形两边之差小于第三边，有 5x < ，即05x <<，同理05y <<．
∴ 构造三角形的条件为0505510x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩
．
∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）． 2125·522S ∆阴影＝＝，21·1052
OAB S ∆＝＝0． ∴ 1()4
OMN S P A S ∆∆阴影＝＝． 古典、几何概型例题及变式
例题.同时掷两个骰子，观察向上的点数，计算：
（4）一共有多少种不同的结果？
（5）点数之和是5的结果有多少种？
（6）点数之和是5的概率是多少？
5 5
10 10
x y
O
E D O B
A C 解：（1）36（2）4（3）9
1 变式：（1）点数之和为6的概率是多少？
（7）点数之和为5的倍数的概率是多少？
（8）点数之和为3的倍数的概率是多少？
（9）点数之和为奇数的概率是多少？
（10）出现点数相同的概率是多大？
（11）点数之和为多少时的概率最大？
解：（1）365（2）367（3）31（4）21（5）6
1（6）7 例题：一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率。（尝试用多种解法）
解：8
7 例题．在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率． 解：
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例题：如图，60AOB ∠= ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：(1)AOC ∆为钝角三角形的概率；
(2)AOC ∆为锐角三角形的概率．
4例题：解：如图，由平面几何知识： 当
AD OB ⊥时，1OD =；
当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．
（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形
记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45
OD EB P M OB ++=== 即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．
（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，
记＂AOC ∆为锐角三角＂为事件N ，则3()
0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．
3.解：设构成三角形的事件为A ，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x ，y ，
10－（x ＋y ）， 则 010010010()10x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<-+<⎩，即010010010x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩． 由一个三角形两边之和大于第三边，有 10()x y x y +>-+，即510x y <+<．
又由三角形两边之差小于第三边，有 5x < ，即05x <<，同理05y <<．
∴ 构造三角形的条件为0505510x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩
．
∴ 满足条件的点P （x ，y ）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）． 2125·522S ∆阴影＝＝，21·1052
OAB S ∆＝＝0． ∴ 1()4OMN S P A S ∆∆阴影＝＝． 5 5
10 10
x y
O