数学文化之将军饮马问题

将军饮马问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有

一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教

一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎

样走才能使路程最短?

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.

“将军饮马”问题实际是平面几何里的线段问题，平面几何中涉及最值问题的相

关定理或公理有：①线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；

②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.

【模型1】一定直线、异侧两定点

直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

【模型2】一定直线、同侧两定点

直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

【模型3】一定直线、一定点一动点

已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小.

【模型4】一定点、两定直线

点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小.

【模型5】两定点、两定直线

点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小.