有限元第四章一些数学概念和结论
有限元法的原理_求解域_概述及解释说明
有限元法的原理求解域概述及解释说明1. 引言1.1 概述有限元法是一种数值分析方法，用于求解物理问题的数学模型。
它在工程领域得到了广泛的应用，能够对复杂的结构和系统进行精确的建模和计算。
有限元法通过将连续域划分为许多小的离散单元，在每个单元上使用适当的近似函数来表示待求解的变量，然后利用这些离散单元之间相互连接关系建立代数方程组，并通过求解该方程组得到所需结果。
1.2 文章结构本文将围绕有限元法展开讨论，并按照以下结构组织内容：引言包含概述、文章结构和目的；有限元法的原理部分将涵盖离散化方法、强弱形式及变分问题以及单元划分和网格生成；求解域部分将介绍求解域的定义与划分、边界条件设定和处理以及网格节点和单元的挑选策略；概述及解释说明部分将探讨有限元法在工程领域中的应用、与其他数值方法之间的对比与优势以及未来发展趋势和挑战；最后，本文将总结主要观点，并展望有限元法在应用领域的发展前景。
1.3 目的本文旨在对有限元法进行全面而清晰的介绍和解释，包括其基本原理、求解域的定义与处理方法以及在工程领域中的应用。
通过深入理解有限元法的原理和应用，读者可以更好地了解该方法的优劣势，并掌握将其应用于实际问题求解的能力。
此外，本文还将通过探讨有限元法未来的发展趋势和挑战，为研究者提供对该方法进行进一步改进和扩展的思路。
2. 有限元法的原理2.1 离散化方法有限元法是一种使用离散化方法来对偏微分方程进行求解的数值方法。
它将求解域划分为许多小单元，每个小单元称为有限元。
在这些有限元内，我们假设待求解的场量是线性或非线性的，并通过适当选择合适的函数空间来进行近似。
2.2 强弱形式及变分问题在有限元法中，我们将偏微分方程转化为一个弱形式或者说变分问题。
这是通过将原始方程乘以一个测试函数并进行积分得到的。
这样可以减小方程中高阶导数项对近似解产生的影响，并提供了更好的数学性质以进行计算。
2.3 单元划分和网格生成为了进行离散化，求解域需要被划分成一系列小单元。
有限元基本概念和原理
有限元基本概念和原理有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。
20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。
不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。
有限元知识点汇总
有限元知识点汇总有限元知识点汇总第一章1、何为有限元法？其基本思想是什么？》有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法。
》基本思想：化整为零，化零为整2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？》有限元法的基本思想是几何离散和分片插值；》用离散单元的组合来逼近原始结构，体现了几何上的近似；用近似函数逼近未知量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利用与问题的等效的变分原理建立有限元基本方程，又体现了明确的物理背景。
3、单元、节点的概念？》单元：把参数单元划分成网格，这些网格就称为单元。
》节点：网格间相互连接的点称为节点。
4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？》3大步骤；——结构离散化；——单元分析；——整体分析。
5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？》有限元方法分3种；——位移法、力法、混合法。
》本课程讲授的：位移法6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？》弹性力学的基本变量是——{外力、应力、应变、位移}》几何方程——{描述弹性体应变分量与位移分量之间关系的方程} 》物理方程——{描述应力分量与应变分量之间的关系}》虚功方程——{描述内力和外力的关系的方程}》弹性矩阵特点——{ }7、何为平面应力问题和平面应变问题？》平面应力问题——{满足（1）几何条件——所研究的是一根很薄的等厚度薄板，即一个方向上的几何尺寸远远小于其余两个面上的几何尺寸;（2）载荷条件——作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用}》平面应变问题——{满足（1）几何条件——所研究的是长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变；（2）载荷条件——作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力}第二章7、形函数的特点？》1形函数Ni再节点i处等于1，在其他节点上的值等于0，对于Nj、Nm也有同样的性质。
有限元第四章 一些数学概念和结论
a b a b cos a a b
Euclid空间的三角不等式
5. 收敛性与完备性 （1）收敛性
点列xn E
（赋范线性空间），若存在
lim xn x0 0
则，称 x 0 为点列x 的强极限，读作：x 强收敛于 n n 义不同。
n
x0
，模的定义不同收敛的涵
例２ 由于可以找出任意多个线性无 关的连续函数（1、x、x 2 x n ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
u u i i , v vi i
i 1 i 1
的位移场则组成 2n 维线性空间。
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义 当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
b
２. 内积模
在内积空间，可以直接利用内积来定义元素的模
u
u, u
在内积空间Ｅ中，u 与 v 之间的距离可用内积模表示
u v
u v, u v
3. 正交性
内积空间与一般线性空间的不同之处是可以用内积来定义两个元素之间的正交关 系，函数之间的“正交”。 若（ u、v）＝０
b
1 2
L2 模 定义为：
u
L2
b 2 u dx a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称
为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
有限元基本知识归纳
有限元知识点归纳1.、有限元解的特点、原因？答：有限元解一般偏小，即位移解下限性原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。
在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。
2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49(1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0;(2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续；(3)应包含完全一次多项式；(4)应满足∑Ni=1以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。
可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。
4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131）答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。
即：为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即：其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。
称前者为母单元，后者为子单元。
还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。
如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。
5、单元离散？P42答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。
每个部分称为一个单元，连接点称为结点。
对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。
这种单元称为常应变三角形单元。
常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。
有限元的核心概念
有限元的核心概念有限元（Finite Element，简称FEM）是一种用于求解工程和科学问题的数值方法。
它通过将连续的物理问题离散化为离散的小单元，然后利用各个单元之间的关系来近似求解整个问题。
在有限元方法中，存在一些核心概念，包括离散化、单元、自由度、插值、形函数、刚度矩阵、质量矩阵和边界条件等。
离散化是指将连续问题转化为离散的小单元。
在有限元方法中，通常将求解域划分为许多小单元，如三角形、四边形或六面体等，这些小单元被称为有限元。
通过将问题的定义域离散化，可以将计算问题简化为对单元上的计算。
在有限元分析中，单元是离散化的基本单元。
每个单元都有其自身的性质和几何形状。
根据问题类型的不同，常见的有限元包括一维线段单元、二维三角形和四边形单元以及三维四面体和六面体单元等。
自由度是指在有限元中用于描述问题解的不同位置和方向的变量。
在每个单元内部，根据问题的自由度的数量，定义相应数量的自由度。
通过将连续问题离散化为离散的单元，并为每个单元定义自由度，可以将整个离散化的问题转化为代数形式的问题。
插值是指通过已知的节点值来估计未知节点值的过程。
在有限元方法中，通过使用插值函数，可以在每个单元内部估计出问题的解。
插值函数通常由形函数表示，形函数是通过节点值之间的插值计算得到的。
形函数是描述单元内部节点上解的变化规律的数学函数。
它是对单元内部解的近似表达，通常选择具有一定形状特点的函数，例如线性、二次、三次等。
形函数的选择和性质直接影响到解的计算结果的精度。
刚度矩阵是描述物体变形时各个部分相互作用的力的程度。
它是由单元的几何形状和材料特性决定的。
在有限元方法中，通过组装各个单元的刚度矩阵，可以得到整个问题的总刚度矩阵。
刚度矩阵是求解有限元问题的关键。
质量矩阵是描述物体对动态负载响应的能力。
在求解动力学问题时，需要考虑物体的质量特性。
通过组装各个单元的质量矩阵，可以得到整个问题的总质量矩阵。
质量矩阵是求解动力学问题的关键。
有限元分析及应用第四章
则称ϕ1、ϕ２Lϕ n 线性相关；
(ii) 若 c1ϕ1 + c2ϕ 2 + L + cnϕ n ≡ 0
仅当
c1
才成立，则称
ϕ=1c、2
=L= ϕ２Lϕ
cn
n
≡0
线性无关。
（２） 线性空间的维数
若线性空间Ｅ满足
（i）任意 n+1 个元素一定线性相关。
（ii）存在着 n 个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ的维数为 n。
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cosα ≤ a ⋅ b
上式为 Euclid 空间的三角不等式，此式仅是 Schwarz 不等式的一个特例。 ５、收敛性与完备性 （1）收敛性
∀ 点列{xn } ∈E（赋范线性空间），若存在
lim xn − x0 = 0
n →∞
则，x0 称为点列{xn }的强极限，读作：{xn }强收敛于 x0 ，注意模的定义不同收敛的涵
c1ϕ1 + c2ϕ 2
c1ϕ1′ + c2ϕ 2′
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有限元分析与应用
霍战鹏
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成一种线性空
间，记作 C1[a, b]。 例４ Rn n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空
形的项点为结点，以结点处的函数值对单元内的位移场进行分片线性插值。根据第 3-4 节的
分析可知，对于这样定义的函数 u(x,y)在Ω上连续，且积分
y
∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω
u 2dxdy
、
Ω
∂u ∂x
2 dxdy
、
Ω
有限元分析理论基础大全超详细
有限元分析理论基础大全超详细有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
有限元分析第四章
19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )
有限元法PPT课件
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元知识点总结
有限元分析及其应用-2010；思考题：1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？答：基本思想：几何离散和分片插值。
基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。
离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。
当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。
2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低；里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解；有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。
3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件；2）构造其泛函形式；3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。
4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩阵）。
5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用节点载荷：作用于节点上的外载6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自由度和节点解释）？答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。
Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。
7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。
形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0；单元内任一点的形函数之和恒等于1；形函数的值在0~1间变化。
有限元理论总结
有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
形函数的解释：我们知道有限元计算中需要形函数，形函数的作用是什么呢？其实就是插值函数，为了插值计算。
对于某个单元以四边形单元为例，如果我们知道了四个结点的计算结果，那么单元内部各处的结果是多少呢？这个时候就需要我们利用形函数在进行插值计算。
如果已知单元内部某个点（x0，y0），通过形函数插值代入坐标点就可以计算出该点处的物理量值，比如位移大小。
积分点则是指高斯积分点，主要涉及刚度矩阵计算。
对于高斯积分点的选择，其积分点与单元结点是不一样的，但是采用高斯积分计算能够大大提高计算效率而又不怎么会影响计算精度和收敛性，因此有限元中计算中都采用高斯积分点来进行计算。
结点力和积分点应力的讨论：下面就涉及到关于节点力和积分点应力情况的讨论。
在分析软件中，最先都是计算得到节点的位移，这个是最精确的；之后通过节点位移再求解应力应变。
但是在求解过程中就会涉及到高斯积分点，因此它是先得到积分点处的应力应变值，这个是最准确的。
然后通过形函数将积分点处的值外插到节点上，获得节点处的应力应变值。
有限元课件ppt
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
有限元法的基本概念和特点
边界条件和载荷对分析结果的影 响
边界条件和载荷的设置直接影响分析结果 的精度和可靠性，因此需要仔细考虑和验 证。
03 有限元法的特点
适应性
有限元法能够适应各种复杂形状和边 界条件，通过将连续的求解域离散化 为有限个小的单元，实现对复杂问题 的近似求解。
有限元法的适应性表现在其能够处理 不规则区域、断裂、孔洞等复杂结构 ，并且可以根据需要自由地组合和修 改单元，以适应不同的求解需求。
降低制造成本。
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通过将不同物理场（如结构、流体、电磁等）耦 合在一起，可以更准确地模拟复杂系统的行为。
多物理场耦合分析将为解决复杂工程问题提供更 全面的解决方案面具有重要作用。
通过先进的建模技术和优化 算法，可以更有效地设计出 高性能、轻量化的结构。
有限元法在结构优化方面的应 用将有助于提高产品的性能和
近似性
利用数学近似方法对每个单元体的行 为进行描述，通过求解代数方程组来 获得近似解。
通用性
适用于各种复杂的几何形状和边界条 件，可以处理多种物理场耦合的问题。
高效性
通过计算机实现，能够处理大规模问 题，提高计算效率和精度。
02 有限元法的基本概念
离散化
离散化
将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接的单元，每个单 元称为“有限元”。
随着计算机技术的发展，有限元法的精度不断提高，对于一些高精度要求的问题 ，有限元法已经成为一种重要的数值分析工具。
04 有限元法的应用领域
工程结构分析
01
02
03
结构强度分析
通过有限元法，可以对工 程结构进行强度分析，评 估其在各种载荷条件下的 稳定性。
有限元法_精品文档
12
一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
25
4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
21
对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
有限元的基本理论知识
1 3 0
2 3
0 0 0
T
分布体积力的等效结点荷载
{P}
e
= t ∫∫ [N ] {p}dxdy
T
= [X
e i
Yi
e
X
e j
Y
e j
X
e m
Y
e T m
]
t ∫∫ [N ] {p}dxdy = t ∫∫ N i p x
T
[
Ni py
N j px
N j py
N m px
N m p y dxdy
2.2 变分原理
质的有限单元分析包含三个基本方面：介质的离散化、单元 特性计算以及单元组合体的结构分析。
对于二维连续介质，以图所示的建筑在 岩石基础上的支墩坝为例，用有限单元法 进行分析的步骤如下： (1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个 三角形单元，这些直线是单元的边界，几 条直线的交点称为结点。 (2)假定各单元在结点上互相铰接，结点 位移是基本的未知量。 (3)选择一个函数，用单元的三个结点的 位移唯一地表示单元内部任一点的位移， 此函数称为位移函数。 (4)通过位移函数，用结点位移唯一地表 示单元内任一点的应变；再利用广义虎克 定律，用结点位移可唯一地表示单元内任 一点的应力。 (5)利用能量原理，找到与单元内部应力状态等效的结点力，再利用单元应力与 结点位移的关系，建立等效结点力与结点位移的关系。这是有限单元法求解应力 问题的最重要的一步。 (6)将每一单元所承受的荷载，按静力等效原则移置到结点上。 (7)在每一结点建立用结点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组：解 出这个方程组，求出结点位移，然后可求得每个单元的应力。
1 − 2µ br b s + cr cs E (1 − µ )t 2(1 − µ ) [k rs ] = 4(1 + µ )(1 − 2 µ ) A µ c b + 1 − 2µ b c 1 − µ r s 2(1 − µ ) r s
有限元基本原理与概念
有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。
它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。
有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。
有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。
离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。
2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。
它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。
3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。
该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。
4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。
这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。
5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。
这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。
有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。
常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。
2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。
节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。
3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。
在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。
4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。
这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。
5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。
有限元方法概述
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析北 Nhomakorabea航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提
高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
X
北京航空航天大学
（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
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第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为 E，单位长度的重量为q， 杆的内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
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材料力学解答
N ( x) q( L x)
x
N ( x) q ( L x) A A
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
北京航空航天大学
再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下： 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
有限元基本概念
e
T
T
e
F
e
T
T
e
e
e
e
进行比较得：
F
e
B T D B e t dxdy K e e
T
单元刚度矩阵：
K e t BT D B dxdy t B
D B
将[B]、[D]代入上式：
广义坐标系
式中：
将单元内部位移用节点位移表示之 —
将三节点i,j,m坐标代入（1）式：
ui 1 x i v i 0 0 u j 1 x j v j 0 0 um 1 x m v m 0 0
（3）平面问题的有限元
节点位移与节点力
ui v i i uj j u j m u m um
e
y
vm m vi j i ui x um vj uj
o
位移函数
yi 0 yj 0 0
0 0
0 0 0
1 xi 1 xj 1 xm
ym 0
0 1 y i 2 0 3 x j 4 0 5 y m 6
1 e
简记为： 其中：
e
61
• 常见的单元类型
①一维单元 单元的形状是一条直线，每个单元有两个节点 （在两端），或者内部设臵节点的单元。 一般对应杆系结构，或柔索结构。 杆系结构：单一拉压杆件、两个方向的弯曲杆件、 弯曲及扭转杆件等； 柔索结构：考虑轴向拉伸具有较小抗弯及抗扭 刚 度的结构。
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续函数。故定义在[a, b]上的所有连续函数组成一个线性空间。记作C [a, b]。
例２ L2 （a,b）
b
b
若 1(x)、2 (x)是（a, b）上平方可积的函数，即 1 (x)2 dx 、 2 (x)2 dx 存在
设真实解为u，有限元解为uh，
当‖u-uh‖→0，
有限元解收敛于真实解。 模的定义不同，收敛的意义也不同。
例１ 在 平面(Ｒ２) 内，向量 x（x1, x2）可以有下列三种模的定义:
x 2
x12
x
2 2
x 1
x1
x2
x
max
x1 , x2
例２ 设 x, y E 则， II x- y II 可以表示这两个元素的“接近程度”，若在
若线性空间Ｅ 满足
（i）任意n+1个元素一定线性相关。 （ii）存在着n个线性无关的元素。
则称线性空间Ｅ 的维数为n。
(ii) 若 c11 c22 cnn 0
仅当 c1 c2 cn 0
例１ 若 1、２n 线性无关，则
所有形式为
才成立，则称 1、２n 线性无关。
c11 c22 cnn
§4-2 内积空间（酉空间）
１. 内积 对于线性空间Ｅ 的每一对元素 u、v 定义一个确定的实数与之对应，称 为 u、v 的内积，记作（u、v），且满足:
(i) （ u、v）＝（v、u）
（对称性）
(ii) 对任一常数α有(αu, v) = α(u, v)
（齐次性）
(iii) 对于u1、u2、v ∈E 有 ( u1+u2 , v ) = ( u1 , v )+( u2 , v ) （可加性）
(2) 设Ｅ 中的元素与实数域的元素有“数乘”运算，即 x, y E，a, b K(实数
域） abx abx E （i） 1 x x
（ii） a b x ax bx
（iii） ax y ax ay
（iv）若Ｋ为实数域则Ｅ 称为实线性空间，Ｋ 为复数域则Ｅ 称为复线性空间。
例１ C [a,b]
a
a
则
c11 (x) c22 (x)2
c1212 (x) c2 22 2 (x) 2c1c21 (x)2 (x)
2 c1212 (x) c2222 (x)
所以 c11 (x) c22 (x) 也是（a, b）上平方可积的函数。所有（a, b）上平方可积的
函数组成一个线性空间，记作L2 (a, b) 。
R2 空间中的两个元素，x ( 1, 1 ), y ( 2, 4 ) 可以有如下模的定义:
xy 2
x1 y1 2 x2 y2 2
10
xy 1
x1 y1
x2 y2
4
x y max
Hale Waihona Puke x1 y1 , x2 y2
＝3
y (2,4)
10 3 １
x (1,1)
在实数域内， 模 x 与绝对值 x 是等价的。
(i) ‖x‖≥0 ,仅当 x ≡ 0 时 ‖x‖=0 (ii) 对任一常数α有: ‖αx‖=∣α∣•‖x‖ (iii) 对任意 x、y ∈ E 有:
‖x + y‖≤‖x‖＋‖y‖ （此式又称三角不等式）。
‖x‖----------元素 x 的“大小”，
‖x - y‖--------两个元素 x、y 之间的“距离”。
第四章 一些数学概念和结论
关于有限元方法的一些数学概念和结论； 有限元解的收敛性以及单元精度问题； 本章的主要对象是函数：
真实解是一个函数； 基函数是一组函数； 试探函数是某一类函数； 有限元解是某类函数中使πP 取最小值的那一个函数。 本章中： “元素”指的就是函数； “空间” 就是具有某种性质的函数的集合，即函数空间。
图４－１
（２）两种常用的模
① 一致模 若u ∈ C [a, b]，则 u 必在 [a, b] 上取到最大值和最小值，故:
② L2 模
u max u
a xb
b
若u ∈ L2 (a, b) 则 L2 u 2dx
a
存在，
L2 模 定义为：
u
L2
1
b u 2dx 2
a
按一致模收敛是一致收敛，按 L2 模收敛则是平均收敛。
例２ 由于可以找出任意多个线性无 的试探函数组成n维线性空间。而所有
关的连续函数（1、x、x2 xn ） 所以Ｃ空间为无限维线性空间。Ｌ2 空 间也是无限维线性空间。
形式为
n
n
u uii , v vii
的位移场则组成 2ni1维线性空间。i1
3. 线性空间的模（范数）
（１）模的定义
当线性空间 E 中的任意一个元素 x 可用一个非负实数与之对应，记作‖x‖ （表示“大小”或“长度”）称为E 空间为模线性空间或赋范线性空间，实数‖x‖ 称为模或范数。模的性质如下：
§4-1 线性空间（向量空间）
1. 线性空间的定义
满足下列条件的空间E为线性空间 (1) x, y , zE 有如下“加法”运算 （i） x ( y z) ( y x) z
（ii） x y y x
（iii）存在“零元素” q E x E 有 x x
（iv） x E 存在逆元素 –x E 使 x (x)
例３ C1 [a,b] 若 1 (x) 、1(x) 、2 (x) 、2 (x) 在[a, b]上连续，则
c11 c22 c11 c22
也在（a, b）上连续。所有函数本身及一阶导数都在（a, b）上连续的函数组成 一种线性空间，记作C1 [a, b]。
例４ Rn
n 维欧氏空间是线性空间，R2（二维平面）, R3（三维空间）是 n 维欧氏空 间的特例。
(iv) (u , u) ≥0 仅当 u ≡0 时 (u , u ) = 0。
定义了内积的线性空间称为内积空间。
例 u(x), v(x) C2 [a, b] 至少存在以下四种形式的内积：
u,
v
b
a
u
例５Pn(x) [a,b] 定义在 [a,b] 上的n 次多项式 Pn(x) [a,b] C [a,b] 构成线性空间。
2 线性空间的维数
( 1 ) 线性相关与线性无关
( 2 ) 线性空间的维数
设 1、２n 为线性空间Ｅ的n个元素
（i）若存在不全为零的常数使得
c11 c22 cnn 0 则称 1、２n 线性相关；