2018第三章-力系的平衡

第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
4、具有摩擦的平衡问题 5、重心
§3-1 力系的平衡方程
F2
z
F1
MO
z
FR′
y o
y o
x
Fn
x
空间任意力系向任意点O简化为： 主矢 FR′=∑Fi 主矩 MO=∑MO（Fi )
平衡的充分必要条件： FR' 0 Mo 0
整体平衡，局部必然平衡。
静定与静不定问题
静定问题 (statically determinate problem) —由平衡方程可解出全部未知数。 静不定问题(statically indeterminate problem) — 由平衡方程无法求出全部未知数。
请思考：下列问题属于静定还是超静定问题
M
F
q
45
B
A
l
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
M
F
45
Fx 0, FAx F cos 45 0
A
l
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
M A F 0,
l M A ql 2 F cos 45 l M 0
y
M
3、 解方程，得
约束力FAB为负值，说明该力实际指向与图 上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则：
当由平衡方程求得某一未知力的值为 负时，表示原先假定的该力指向和实际指 向相反。
方法比较：几何法要求受力图中的反力方向必须实际 方向，往往要使用三力汇交；解析法对受力图要求宽， 适用面更广；但有时几何法计算更简便。
A
30°
B
30°
C
G
a
A 30° B
30°
C
G
a
解：1、取滑轮 B 轴销为研究
对象，画出受力图。
y FBC
B 30°
x
30°
FAB
FG
2、列出平衡方程：
Fx 0 Fy 0
FBCcos 30 FAB F sin 30 0
FBCcos 60 G Fcos 30 0
联立求解得 FAB 5.45 kN FBC 74.5 kN
q FAx
45 F FAx F cos 45 0.707 F
A
l
B x FAy ql 0.707F
MA
FAy
MA
1 2
ql 2
0.707 Fl
M
课堂练习：梁AB上受到一个均布载荷和一
个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位
长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小 M = 500 N·m。求活动铰支座 D 和固定铰支座
例1 图a所示是汽车制动机
构的一部分。司机踩到制动
蹬上的力F =212 N，方向与
水平面成α = 45角。当平衡
时，DA铅直，BC水平，试
求拉杆BC所受的力。已知
EA=24 cm， DE=6 cm
O
点E在铅直线DA上 ，又B 、
C 、D都是光滑铰链，机构
的自重不计。
F
A
BE C D
24cm 6cm
G3
G2
G
A
G1
B
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
解1：、取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
2、列平衡方程。
G3
G2
G
A
G1 B
F 0
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
FA FB G G1 G2 G3 0
MB F 0
G(2.5 m 3 m) G2 2.5 m G1 2 m FA(1.8 m 2 m) 0
MA F 0
AB F 2 FD 2 m M 0
3、联立求解，可得
FD= 475 N， FAx= 0 ， FAy= －175 N
§3-2 物体系统平衡问题
物体系统：是指由几个物体通过约束组成的系统。
特点：整体系统平衡，每个物体也平衡，局 部也平衡。可取整体或部分系统或单个物体 或局部为研究对象。
F F2 60 Ay
Fy
FBy
0
F1
F2
sin
60
0
x 3、解方程，得
FAx
FBy
FAx 0.75 kN
FBy 3.56 kN FAy 0.261 kN
例7 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l，求固定端的约束力。
注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz(F ) 0
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
解题步骤：
1、选取研究对象； 2、作受力图； 3、作力多边形求解---几何法
或列平衡方程并求解---解析法
坐标及方程的选取原则：
1、坐标轴与尽可能多的力作用线平行或垂直； 2、坐标轴尽可能与未知力作用线平行或垂直； 3、可选取非正交轴系，注意力在非正交轴系上的投影； 4、选取合适的平衡方程，尽可能避免方程组连解。
FR' 0
Mo 0
平面任意力系平衡方程基本形式：（一矩Hale Waihona Puke Baidu）
Fx= 0 Fy = 0 MO（F）= 0
三个独立的平衡方程，可解 3 个未知量。
平衡方程其他形式：
B
Fx = 0 MA（F）= 0 MB（F）= 0
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
FB
sin
F 750 N
解析法 1、取制动蹬 ABD 为研究对象
y
O 45°
2、画受力图
A
3、列出平衡方程
F
建立图示坐标系
Bx
DFB
Fx 0
FB FD cos F cos 45 0
Fy 0
FD sin F sin 45 0
联立求解得 FB 750 N
例2 利用铰车绕过定
滑轮B的绳子吊起一货 物重G = 20 kN，滑轮 由两端铰接的水平刚 杆AB和斜刚杆BC支持 于点B 。不计铰车的 自重，试求杆AB和BC 所受的力。
忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的
力。
F
A
B
C
D
A
F 解：1、取AB杆为研究对象，
B
C
受力分析如图。
2、 列平衡方程:
D
y
FAy
l
l
AFAx
C 45 FC
建立如图所示的坐标系
Fx 0, FAx FC cos 45 0
Fy 0, FAy FC sin 45 F 0
x B
F MA F 0, FC cos 45 l F 2l 0
A的约束力。
q
M
A B
D
2m
1m
解：
A
1、取梁AB 为研究对象， 受力分析如图。
q
M
B D
2m
1m
FAy
F
M
A
DB
FAx
C
FD
其中F = q×AB = 300 N ，作用在 AB 的中点C
2、选图示坐标系，列平衡方程。
y
FAy
F
M
A
A
DB
FAx
C
x
Fx 0
FD
FAx 0
q
M
B D
2m
1m
Fy 0 FAy F FD 0
载荷q = 10 kN/m，M = 20 kN•m，l =1 m。
求：A处的约束力。 M q
30
F
A
解：1、取梁CD为研究对象
C
B 60 D
MC F 0
lll
l
FB sin
60 l ql l F cos 2
30 2l
FC
0
30
代入数据，得
y
q
F
B
FB 45.77 kN
FCx C
D
60
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
平面任意力系平衡方程讨论：
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量
平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1个未知量。
平面任意力系平衡方程讨论：
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？
x
x
y
x
y
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连
接，并各以铰链A，D连接于铅直墙上。如图
所示。已知AC=CB；杆DC与水平线成45o角；
载荷F=10 kN，作用于B处。设梁和杆的重量
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN m
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
FB
2、取整体为研究对象
Fx 0
30
Mq
F
A
C
B 60 D
FAx FB cos 60 F sin 30 0
l
MA
FAy M
Fy 0
FAy
FB
sin
60 2ql F cos
30
FAx
0
A
l
M AF 0
ll
l
q
30
F
C
B 60 D
FB
ll
l
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0 解方程得:
(a)
(c)
(b)
(d)
物体系统平衡问题求解方法及步骤：
1、判断系统是否为静定结构； 2、选取研究对象（整体或构件或部分构件），
作出受力图，并判断是否能解出未知力；若 否，进行第三步； 3、选取其它研究对象，进行步骤2，直到能解出 全部未知力； 4、列平衡方程，求出未知力。
例8 图示组合梁，已知：F = 20 kN，均布
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
F 3 m G 5 m FBy 6 m FBx 6 m 0 联立求解得: FCx = -FBx = 9.2 kN， FCy= 2.5 kN
y
FAy
l
l
A FAx
45
C
FC
x B F
3、解平衡方程，可得
FC 2F cos 45 28.28 kN
FAx FC cos 45 2F 20 kN
FAy F FC sin 45 F 10 kN
例5 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起
重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固 定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸 臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试 求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。
6m
6m
F
3m
1m
D
C
E
G
G
6m
A
B
解：
1、取整体为研究对象。 受力分析如图。
6m
DC G
6m
F 3m 1m
E
G
6m
M AF 0,
A FAx
FBy 12 m G 1 m
FAy
F 9m G 11 m 0
B
FBx
FBy
得： FBy= 47.5 kN
2、再取BC为研究对象，受力分析如图。
(a)
解： 几何法 1、取制动蹬ABD为研究对象，
并画出受力图。
AF
2、作出相应的力多边形。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
J
FB
K
(c)
3、由图 b 几何关系得：
OE EA 24 cm
tan DE 6 arctan 1 14.01
OE 24
4
4、由力三角形图c 可得：
sin 180
3、联立求解。
FA
1 3.8
2G1
2.5G2
5.5G
A
G3 G1 B
G2
G
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
4、不翻倒的条件是：
FA≥0， 所以由上式可得
G≤
1 5.5
2G1
2.5G2
7.5
kN
故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN
例6 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，
F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kN·m， l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及
思考题1
若匀质杆AB长为2R，求AB的平衡位置。
AB与水平线夹角α=32.5°
二、平面力偶系 n
平面力偶系合成的结果 : M Mi i1 一个合力偶，其力偶矩等于原力偶系中 所有力偶矩之代数和。
平面力偶系的简化结果：主矩 Mo
平面力偶系的平衡条件： Mo = 0
平衡方程： M 0
例3 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
求:C 处的约束力。
解：取 BDC 为研究对象
作出受力图
由力偶理论，知 FB = FC
M 0
2
2
2 FB • r 2 FB • 2r M 0
注意：计算(FB，FC )的力偶矩
可以不用定义式。
FB D
解得： FB FC
2M 3r
FC
三、平面任意力系
平面任意力系问题的提出
平面任意力系平衡的充分必要条件：
支座B的约束力。
F1
ll
F2
M
60
A B
l2
l1
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图。
2、 选取坐标系，列平衡方程。
F1 ll
M
A
B
Fx 0
F2
FAx F2 cos 60 0
60
MA(F) 0
l2
l1
FByl2 M F1l1 F2(l1 l2)sin 60 0
y FAy A
F1 M B