2018第三章-力系的平衡
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第三章力系的平衡静定与超静定的概念
FCy
FE
FE=250N,
[CE]
整体]
F
q FQ
Fix=0, FAx=0
A
FAx
B
C
FAy 1 1
2
2
MA=0, –F·1+FB·2–FQ·4–M+FE·8=0
FB
ME
D 2m FE
FQ=4· FB=1500N q Fiy=0, FAy+FB+FE–F–FQ=0
FAy=–250N
例4-15：三根自重不计的杆组成构件如图示，巳知：F=600N,
得： FAx= –400N,
Fiy=0, FAy–F =0
得：FAy= 1000N,
M F3 [BD]
Miz 0
空间平行力系平衡方程
Fiz 0
Mix 0 Miy 0
例3-6：三轮平板车放光滑地面上，自重为：W，货重为F， 已知：F=10kN,W=8kN，试求各轮约束力的值。
解：这是空间平行力系。
z
Mix =0，
(200–80)W–200·FA =0； FA=4.8kN，
Miy =0，
y
FC
FAx= –2.8kN。
如校核方程： MCi=0， 应满足。
例3-9：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自
重不计，已知有力F作用，试求三根支撑杆的约束力。
解： 试用三力矩方程
B
MA 0,
M C 0,
2F1 5F 0, 1m
5F F1 2
1m
F2 4F 0 A
C 1m
3
M F3 2
0 32 42
FAx
B
3m
FAy
MD
第三章力系的平衡介绍
工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学
工程力学力系平衡
D
FC
l
A B
l
FP
D
第 三 种 情 形
l
C FA A l FCy l B l FP D
FCx
C
FA A
l
B
l
FP
D
第 三 种 情 形
FCy
FCx C
E
MA ( F ) = 0 : FCx l -FP 2l = 0 MC ( F ) = 0 : -FA l - FP 2l = 0 ME ( F ) = 0 : -FCy 2l -FA l = 0
A
F ＝0
x
l －FQ －FW x FTB lsin＝0 2 l FP x＋FQ 2 ＝ 2 FW x F FTB＝ Q lsin l
F ＝0
y
FAx FTB cos＝0 FQ 2 FW x FQl FW FAx＝ x cos30 ＝ 3 l 2 l FAy－FQ－FP＋FTB sin＝0
例题
均质方板由六根杆支 撑于水平位臵，直杆 两端各用球铰链与扳 和地面连接。板重为 P，在A 处作用一水 平 力 F ， 且 F=2P ， 不计杆重。求各杆的 内力。
简单的刚体系统平衡问题
前面实际上已经遇到过一些简单刚体系统 的问题，只不过由于其约束与受力都比较简单， 比较容易分析和处理。 分析刚体系统平衡问题的基本原则与处理 单个刚体的平衡问题是一致的，但有其特点， 其中很重要的是要正确判断刚体系统的静定性 质，并选择合适的研究对象
平衡方程
根据平衡的充要条件
F1 M1 O
z
F2
M2
y Mn
FR ＝0 ， MO＝0
第3章平衡问题 矢量方法
M
F
iy
A
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
FAy FBy 2 P P 1P 2 0
解得
0
解得
FAy 72.5kN
F
ix
0
FAx F FBx 0
27
2018/10/10
2)取吊车梁,画受力图.
未知量个数和独立方程个数比较
• 未知量个数 = 独立方程个数
• 未知量个数 ＞独立方程个数
静 定
静不定
静不定次数 =未知量个数 - 独立方程个数 • 未知量个数 ＜独立方程个数
2018/10/10
不平衡 ？？？
9
静不定带来的问题:
1
2 G
3
• 3根绳子的受力相同吗?
图示结构在安装时会遇 到什么问题?
M O 0.
M x 0 M y 0 M z 0
投 影 式
力矩 式
2
2018/10/10
平面任意力系的平衡方程
M x 0 M y 0 Fz 0
设力系所在平面为O-xy
平 衡 方 程 有 三 种 形 式 2018/10/10
三矩式
2018/10/10
A, B, C 三个取矩点，不得共线
4
（2）汇交力系平衡方程
空 间 汇 交 力 系
MO 0
平 衡 方 程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
平面汇交力系平衡方程
Fx 0 Fy 0
5
2018/10/10
定研究对象：滑轮 定问题性质：平面 受力分析 主动力简化
C·A上传 【理论力学】第三章 力系的平衡
BE CE FDC =0 0; ∑ Fix =FDB DB DC
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
FDC FDB
P
BE = CE DB = DC 则:FDB = FDC
DO DO DO ∑ Fiy FDB = 0; FDC FDA =0 DB DC DA
cm DB = 20 3, , DA = 20 5;cm
FDA
EO AO 0; ∑ Fiz = FDB 2 FDA P=0 DB DA
汇交力系
√2 FA = FC = — F = FB 力多边形自行封闭
2
r F r F
C
B
r FB
例3-2:已知物体的重量为 .求:(a)平衡时铅垂力 , - :已知物体的重量为P )平衡时铅垂力F, (b)维持平衡时 的最小值及其相应方向.不计构件自重. )维持平衡时F 的最小值及其相应方向.不计构件自重. 讨论题
3 联立求解 FDA = P = 745N , 3 FDB = FDC = 289N
避免解联立方程 改变坐标方向
立柱AB与绳 与绳BC 例3-8:起重机起吊重量 =1kN.求:立柱 与绳 ,BD,BE - :起重机起吊重量P . x' 的受力. 的受力.
解: B点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交, 点有四个未知力汇交
§3-1 汇交力系的平衡 -
汇交力系简化的结果
汇交力系平衡的充要条件: 汇交力系平衡的充要条件: 充要条件 力系的合力等于零
r FR = 0
各力全部 汇交力系平衡的几何条件 力多边形自行封闭 首尾相连 几何条件: 汇交力系平衡的几何条件: 仅适用于平 力多边形法则 解析条件: 汇交力系平衡的解析条件 平衡方程 汇交力系平衡的解析条件: 面汇交力系 几何法 空间汇交力系: 合力投影定理
工程力学第三章-力系的平衡
将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
F F F
可以求解3个未知量。
x y
z
0 0 0
• 2.平面汇交力系
力系的平衡
• 力偶系的平衡方程 • 1.空间力偶系
平衡的充要条件（几何条件） M Mi 0 将上式两边向x、y、z 轴投影，可得平衡方程
M M M
可以求解3个未知量。
ix iy iz
0 0 0
• 2.平面力偶系
力系的平衡
• 平衡的充要条件:力偶系中各力偶矩的代数和等于零.
m 0
i
• 任意力系的平衡方程 空间任意力系： • 平衡的充要条件:力系的主矢和对任一点的主矩均为零。
FR 0
MO 0
G3 a
e
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
由(1)、(2)式 得：
G1 G2 L
G1e G 2L G3 ab
3
A FN A b
B FN B
(2)空载时
不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
FAB = 45 kN
600
y B TBC 15 15 30 TBD
0 0 0
x
C
D
150
B
300
TBD=G E
A
E
FAB G
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。
理论力学第3章 力系的平衡
基础部分——静力学第3 章力系的平衡主要内容：§3-7 重心即：力系平衡的充分必要条件是，力系的主矢和对任一点3-2-1 平衡方程的一般形式∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 已知∑=iF F R ∑=)(i O O F M M 投影式：平衡方程i即：力系中所有力在各坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有力对各坐标轴之矩的代数和分别等于零。
说明：¾一般¾6个3个投影式，3个力矩式；¾一般形式基本形式3-2-2 平面一般力系的平衡方程xy zOF1F2Fn平面内，¾一般形式¾3个2个投影式，1个力矩式；¾ABAzzCC附加条件：不垂直附加条件：不共线Bx二矩式的证明必要性充分性合力平衡AA 点。
B 点。
过ABBx故必有合力为零，力系平衡证毕平面问题3个3个 解题思路BAMFo45l l[例3-1] 悬臂梁，2解：M A 校核：0)(=∑F MB满足！解题思路？AyF AxF[例3-2] 伸臂梁F AxF AyF BF q 解：0=∑x F 0)(=∑F AM3(F −+0=∑yF3(F −+(F −+0)(=∑F AM=∑yF0=∑x F F AxF AyF BF q 思考：如何用其他形式的平衡方程来求解？0=∑x F 3(F −+0)(=∑F AMF AxF F BF q 0)(=∑F BM(F −+二矩式思考练习][练习FFlll F ACB DlllACB DM=F l[思考][思考]lll F ACB DlllACB DF见书P54例3-1—约束lllACB DF—约束CBADEFM—约束—约束—整体平衡局部平衡CB ADEFM研究对象的选取原则¾仅取整体或某个局部，无法求解；¾一般先分析整体，后考虑局部；¾尽量做到一个方程解一个未知力。
qCBAm2m2m2m2MBCM[例3-3] 多跨梁，求：如何选取研究对象？F CqF CFAxF AyM ABAqF'BxF'ByM A F Ax F AyF Bx F By解：先将分布力用合力来代替。
第三章 力系的平衡
设主矢FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，平面力系中各力F1、 F2、…、Fn在x、y轴上的投影分别为Xi、Yi，则
FR =XR i+YR j
以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i +（Y1+Y2+…+Yn）j
i a1
b1
x
F F F Xi Yj
x
y
式中：i、j——坐标轴x、y正向的单位矢量。
目录
第三章 力系的平衡\平面力系向一点的简化 【例3.1】 试计算图示各力在x轴和y轴上的投影。已知F1= F2
=100 N，F3=150 N， F4=200 N。
目录
第三章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
第三章 力系的平衡
第三章 力系的平衡
本章介绍平面力系向一点简化的结果，由此得到平面力系的平 衡条件和平衡方程；在介绍力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴 之矩的基础上，直接给出空间力系的平衡方程。着重于应用平衡方 程求解力系的平衡问题。最后介绍物体的重心、形心和静矩的概念 及其计算。本章是刚体静力分析的重点。
FRd1 sin MO
因 FR sin YR ，故
d1
MO YR 0.5 m目录第三章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
2）力系向A点简化。主矢与上面 的计算相同。主矩为
MA＝∑ MA (F) ＝ －F×3m － W1×1.5m － W2×4m ＝ －3150 kNm
其转向如图所示。
明，线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力的作用线通过 荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向相同。
FR =XR i+YR j
以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i +（Y1+Y2+…+Yn）j
i a1
b1
x
F F F Xi Yj
x
y
式中：i、j——坐标轴x、y正向的单位矢量。
目录
第三章 力系的平衡\平面力系向一点的简化 【例3.1】 试计算图示各力在x轴和y轴上的投影。已知F1= F2
=100 N，F3=150 N， F4=200 N。
目录
第三章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
第三章 力系的平衡
第三章 力系的平衡
本章介绍平面力系向一点简化的结果，由此得到平面力系的平 衡条件和平衡方程；在介绍力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴 之矩的基础上，直接给出空间力系的平衡方程。着重于应用平衡方 程求解力系的平衡问题。最后介绍物体的重心、形心和静矩的概念 及其计算。本章是刚体静力分析的重点。
FRd1 sin MO
因 FR sin YR ，故
d1
MO YR 0.5 m目录第三章 力系的平衡\平面力系向一点的简化
2）力系向A点简化。主矢与上面 的计算相同。主矩为
MA＝∑ MA (F) ＝ －F×3m － W1×1.5m － W2×4m ＝ －3150 kNm
其转向如图所示。
明，线分布荷载合力的大小等于荷载图的面积，合力的作用线通过 荷载图的形心，合力的指向与分布力的指向相同。
理论力学课件—力系的平衡
分布荷载的合力及其作用线位置 P
q(x)
dP
A
x dx h l
由合力之矩定理：
B
x
Ph dP x q( x) xdx
l 0
q(x)
荷载集度
合力作用线位置：
dP=q(x)dx 合力大小：
P dP 0 q( x)dx
l
q( x) xdx h q( x)dx
0 l 0
q A 2a
M B
C
G 4a
FAx
FB
解：以水平横梁AB为研究对象。
X 0, F 0 M A F 0,
Ax
FB 4a G 2a q 2a a M 0 3 1 FB G qa 4 2
Y 0, F
Ay
q 2a G FB 0
FAx
y
X 0,
M A ( F ) 0,
FAx P 0
FAx P
x
FB 2a M Pa 0
FB P
Y 0,
FAy FB 0
FAy P
2a M
P
a
C
FAy
D
FB
解法2
A
FAx
B
解法3
M A ( F ) 0, M B ( F ) 0, M C ( F ) 0,
即
2M FA FB ab
§3.3 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
1. 平面任意力系的平衡方程
FR=0 ′ Mo=0
X 0 Y 0 M F 0
O
｝
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上 的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数 和也等于零。 ● 几点说明：
力系的平衡介绍
学 1:0.32:0.17。已知涡轮连同轴和锥齿轮的总重量为W=12Kn，
其作用线沿轴Cz；锥齿轮的平均半径OB=0.6m ，试求止推
轴承C和轴承A的反力。
第 三 章
力 系 的 平 衡
工
例：翻到问题
程 力
塔式起重机的结构简图如
学 图所示。起重机自重为W，载 重为W1，平衡物重W2。要使
W2
起重机在空载、满载且载重在
工 2、平面平行力系的平衡方程
程
力 学
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 Mo 0
各力不得与投影轴垂直。
第 三 章
M A 0 M B 0 A, B 两点连线不得与各力平行。
力 系 的 平 衡
工 3、平面汇交力系的平衡方程
程
力 学
Fx 0,
Fy 0
4、平面力偶系的平衡条件
第
M 0
三
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
章
力 系 的 平 衡
工
§3-3 平衡方程的应用
程
力
求解平衡问题的步骤
学
1、选择合适的平衡对象，从系统中隔离；
2、进行受力分析；
第
3、应用平衡方程进行求解
三
章
力 系 的 平 衡
工 例：圆弧杆AB与折杆BDC在B处铰接，A、C两处均为固定 程 铰支座，结构受力如图所示。试求A、C两处的约束力。 力 学
Fx Fy
0 0
的 平
Mo 0
衡
工 平面任意力系平衡方程的三种形式： 程
力
学
刚体平衡条件
一矩式 第
三
章
第三章 力系的平衡
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1： 作AB和CD示力图
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
解： AB示力图 FAx FAy
A D C B
F
A
B F'RD FRD D
F
CD示力图
FRD D C C FRC
FRC
C
4.物体间的内约束力不应该画出。
§3-3 汇交力系的平衡
一、汇交力系平衡的充分必要条件
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FR F1 F2 Fn 0
二、汇交力系的平衡方程
空间汇交力系： 平面汇交力系：
FRx =Fix=0
FRy =Fiy=0
两个构件用光滑圆 柱形销钉连接起来，称 为铰链连接（铰接）
四、活动铰支座
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
上摆
组成分析
销钉 底板 只能限制物体与支座接触处向着支承面或 离开支承面的运动。 运动分析
滚轮
受力分析
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
（A、B的连线不垂直于x轴）
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
连杆的约束力沿着连杆 中心线，指向不定
F'B
空间铰
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
六、球铰
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
力系的简化和平衡方程
表示，并 合成为一
个作用在点
O'
的力
v R
如图
3—2
所示。
R΄ O M O΄΄
R′ OR
R″O΄
Od R O΄
（a）
（b） 图 3-2
（c）
这个力
v R
就是原力系的合力，合力矢等于主矢，合力的作用线在
O
的哪一侧，需根
据主矢和主矩的方向确定；合力作用线到点 O 的距离 d，可按下式计算。
d = M0 R
必须指明是力系对哪一点的主矩。
二、简化结果的讨论
由于平面任意力系对刚体的作用决定于力系的主矢和主矩，因此，可由这两个物理
量来研（究一力）系若简主化矢的Rv最′ =后0 ，结主果矩。M 0 ≠ 0 ，则原力系与一力偶等效。此力偶称为平面任意
力系的合力偶，合力偶矩等于
M0
=
n
v
∑ m0 (Fi )
。由力偶的性质可知，力偶对任意点的力
一、平面任意力系向作用面内一点简化、主矢和主矩
设刚体上作用一平面任意力系
v F1 ,
v F2
⋅⋅⋅
⋅
⋅
⋅Fvn
如图(3—1)。根据力的平移定理，将力
矩系Fv1'分中, Fv别诸2' ..等力....F于向vn' 力平,以面MFv及11内,=F相v任2M应⋅ ⋅一0⋅(的⋅F点⋅v1⋅附F)vnO加对点M力O平2偶点=移系M的，0M矩(OF1v,,2M)点即2称:..M..为..3M简=nM化。0这中(Fv些心3 )力。偶这作样用得在到同作一用平于面O内点,它的们力系的
θ
态。取料斗车为研究对象，对料斗车进行受力分析，所
O
受力有：重力
力系的平衡
•画支座反力NA与NB。令NA=50 kN。列平衡方程：
ΣmB (F) = 0
G×0.5+W ×8− NA ×4 − P×10 = 0
P=200 kN
•如为空载，仍应处 于平衡状态，故
ΣmA(F) = 0, NB ×4 +W ×4 −G×3.5 = 0
符合题意要求。
例3-7 图示为可沿铁路行驶的 起重机，本身自重G=250 kN， 其重心在 E 点。最大载荷P=200 kN，在 C 点起吊。为防止机身 向右翻倒，在左端D有一平衡重 W，W的重心距支点A的水平距 离为 x。W 与 x 必须计划适当， 使得既能在C点满载时防止机身 向右翻倒，又能在空载时机身 不致向左翻倒。为保证安全， 必须使任一侧轮（ A 或 B）的向 上反力，不得小于50 kN。设 b=1.5 m，e=0.5 m，l=3 m，求 W与x的适当值。
例3-4 一容器如图示，连同盛装物共重W=10 kN， 作用在容器上的风荷载q=1 kN/m，在容器的受力 平面内有三根杆件支承。求各杆所受的力。 解：
杆件AD、AC和BC都 是二力杆，其约束反 力SAD、SAC和SBC沿各 杆的中心线，因指向 未定，故暂都假设各 杆受拉力 研究容器受力图如图
ΣmA(F) = 0
解： 列力矩方程，矩心应 选在两个未知力的交 点，如图中 A 点或 B 点。 在单个物体上遇有分 布载荷时，可先将分 布 载 荷 简 化 为 合 力 Q=Σq 来 计 算 ， 本 题 Q=q×4=40 kN，作用线在AB的中点。
投影方程中，不用考虑任何力偶的投影； 在力矩方程中，不问矩心何在，只要将所 有力偶矩的代数值统统列入即可 。
第三章 力系的平衡
第一节 平面力系的平衡 第二节 静定问题与超静定问题 第三节 物系平衡问题的应用 第四节 空间力系的平衡
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
力系的平衡ppt课件
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上 17
平面任意力系平衡方程讨论：
Fx = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量 平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量 平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN 3m9
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz( F ) 0
3
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
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注意：对任意一点的主矩为零。
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz(F ) 0
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
思考题1
若匀质杆AB长为2R，求AB的平衡位置。
AB与水平线夹角α=32.5°
二、平面力偶系 n
平面力偶系合成的结果 : M Mi i1 一个合力偶，其力偶矩等于原力偶系中 所有力偶矩之代数和。
平面力偶系的简化结果：主矩 Mo
平面力偶系的平衡条件： Mo = 0
平衡方程： M 0
例3 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
例1 图a所示是汽车制动机
构的一部分。司机踩到制动
蹬上的力F =212 N，方向与
水平面成α = 45角。当平衡
时，DA铅直，BC水平，试
求拉杆BC所受的力。已知
EA=24 cm， DE=6 cm
O
点E在铅直线DA上 ，又B 、
C 、D都是光滑铰链，机构
的自重不计。
F
A
BE C D
24cm 6cm
F F2 60 Ay
Fy
FBy
0
F1
F2
sin
60
0
x 3、解方程，得
FAx
FBy
FAx 0.75 kN
FBy 3.56 kN FAy 0.261 kN
例7 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l，求固定端的约束力。
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN m
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
3、联立求解。
FA
1 3.8
2G1
2.5G2
5.5G
A
G3 G1 B
G2
G
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
4、不翻倒的条件是：
FA≥0， 所以由上式可得
G≤
1 5.5
2G1
2.5G2
7.5
kN
故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN
例6 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，
F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kN·m， l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及
FB
2、取整体为研究对象
Fx 0
30
Mq
F
A
C
B 60 D
FAx FB cos 60 F sin 30 0
l
MA
FAy M
Fy 0
FAy
FB
sin
60 2ql F cos
30
FAx
0
A
l
M AF 0
ll
l
q
30
F
C
B 60 D
FB
ll
l
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0 解方程得:
FB
sin
F 750 N
解析法 1、取制动蹬 ABD 为研究对象
y
O 45°
2、画受力图
A
3、列出平衡方程
F
建立图示坐标系
Bx
DFB
Fx 0
FB FD cos F cos 45 0
Fy 0
FD sin F sin 45 0
联立求解得 FB 750 N
例2 利用铰车绕过定
滑轮B的绳子吊起一货 物重G = 20 kN，滑轮 由两端铰接的水平刚 杆AB和斜刚杆BC支持 于点B 。不计铰车的 自重，试求杆AB和BC 所受的力。
支座B的约束力。
F1
ll
F2
M
60
A B
l2
l1
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图。
2、 选取坐标系，列平衡方程。
F1 ll
M
A
B
Fx 0
F2
FAx F2 cos 60 0
60
MA(F) 0
l2
l1
FByl2 M F1l1 F2(l1 l2)sin 60 0
y FAy A
F1 M B
FR' 0
Mo 0
平面任意力系平衡方程基本形式：（一矩式）
Fx= 0 Fy = 0 MO（F）= 0
三个独立的平衡方程，可解 3 个未知量。
平衡方程其他形式：
B
Fx = 0 MA（F）= 0 MB（F）= 0
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
y
FAy
l
l
A FAx
45
C
FC
x B F
3、解平衡方程，可得
FC 2F cos 45 28.28 kN
FAx FC cos 45 2F 20 kN
FAy F FC sin 45 F 10 kN
例5 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起
重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固 定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸 臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试 求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。
G3
G2
G
A
G1
B
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
解1：、取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
2、列平衡方程。
G3
G2
G
A
G1 B
F 0
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
FA FB G G1 G2 G3 0
MB F 0
G(2.5 m 3 m) G2 2.5 m G1 2 m FA(1.8 m 2 m) 0
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
F 3 m G 5 m FBy 6 m FBx 6 m 0 联立求解得: FCx = -FBx = 9.2 kN， FCy= 2.5 kN
M
F
q
45
B
A
l
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
M
F
45
Fx 0, FAx F cos 45 0
A
l
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
M A F 0,
l M A ql 2 F cos 45 l M 0
y
M
3、 解方程，得
q FAx
45 F FAx F cos 45 0.707 F
A
l
B x FAy ql 0.707F
MA
FAy
MA
1 2
ql 2
0.707 Fl
M
课堂练习：梁AB上受到一个均布载荷和一
个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位
长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小 M = 500 N·m。求活动铰支座 D 和固定铰支座
忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的
力。
F
A
B
C
D
A
F 解：1、取AB杆为研究对象，
B
C
受力分析如图。
2、 列平衡方程:
D
y
FAy
l
l
AFAx
C 45 FC
建立如图所示的坐标系
Fx 0, FAx FC cos 45 0
Fy 0, FAy FC sin 45 F 0
x B
F MA F 0, FC cos 45 l F 2l 0
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
平面任意力系平衡方程讨论：
Fห้องสมุดไป่ตู้ = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量
平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1个未知量。
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
4、具有摩擦的平衡问题 5、重心
§3-1 力系的平衡方程
F2
z
F1
MO
z
FR′
y o
y o
x
Fn
x
空间任意力系向任意点O简化为： 主矢 FR′=∑Fi 主矩 MO=∑MO（Fi )
平衡的充分必要条件： FR' 0 Mo 0
(a)
解： 几何法 1、取制动蹬ABD为研究对象，
并画出受力图。
AF
2、作出相应的力多边形。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD
平衡方程：
Fx 0
Mx(F )0
Fy 0
My(F )0
Fz 0
Mz(F ) 0
一、平面汇交力系
力系的平衡条件：主矢为零
平面汇交力系平衡方程：
Fx 0
平衡几何条件：
Fy 0
汇交力系的力多边形自行封闭
求解方法： 1、 几何法：利用力多边形自行封闭求解 2、 解析法：利用平衡方程求解
思考题1
若匀质杆AB长为2R，求AB的平衡位置。
AB与水平线夹角α=32.5°
二、平面力偶系 n
平面力偶系合成的结果 : M Mi i1 一个合力偶，其力偶矩等于原力偶系中 所有力偶矩之代数和。
平面力偶系的简化结果：主矩 Mo
平面力偶系的平衡条件： Mo = 0
平衡方程： M 0
例3 图中M, r 均为已知, 且 l=2r, 各杆自重不计。
例1 图a所示是汽车制动机
构的一部分。司机踩到制动
蹬上的力F =212 N，方向与
水平面成α = 45角。当平衡
时，DA铅直，BC水平，试
求拉杆BC所受的力。已知
EA=24 cm， DE=6 cm
O
点E在铅直线DA上 ，又B 、
C 、D都是光滑铰链，机构
的自重不计。
F
A
BE C D
24cm 6cm
F F2 60 Ay
Fy
FBy
0
F1
F2
sin
60
0
x 3、解方程，得
FAx
FBy
FAx 0.75 kN
FBy 3.56 kN FAy 0.261 kN
例7 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为 l，求固定端的约束力。
FAx 32.89 kN, FAy 2.32 kN, M A 10.37 kN m
例9 图示三铰拱桥，由左右两段借铰链C连
接，又用铰链A，B与基础相连接。已知每 段重G = 40 kN，重心分别在D，E处，且桥 面受一集中载荷F =10 kN。设各铰链都是光 滑的，试求平衡时各铰链约束力。
3、联立求解。
FA
1 3.8
2G1
2.5G2
5.5G
A
G3 G1 B
G2
G
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
4、不翻倒的条件是：
FA≥0， 所以由上式可得
G≤
1 5.5
2G1
2.5G2
7.5
kN
故最大起吊重量为 Gmax= 7.5 kN
例6 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，
F1=2 kN，F2=1.5 kN，M =1.2 kN·m， l1=1.5 m，l2=2.5 m，试求铰支座A及
FB
2、取整体为研究对象
Fx 0
30
Mq
F
A
C
B 60 D
FAx FB cos 60 F sin 30 0
l
MA
FAy M
Fy 0
FAy
FB
sin
60 2ql F cos
30
FAx
0
A
l
M AF 0
ll
l
q
30
F
C
B 60 D
FB
ll
l
M A M 2ql 2l FB sin 60 3l F cos 30 4l 0 解方程得:
FB
sin
F 750 N
解析法 1、取制动蹬 ABD 为研究对象
y
O 45°
2、画受力图
A
3、列出平衡方程
F
建立图示坐标系
Bx
DFB
Fx 0
FB FD cos F cos 45 0
Fy 0
FD sin F sin 45 0
联立求解得 FB 750 N
例2 利用铰车绕过定
滑轮B的绳子吊起一货 物重G = 20 kN，滑轮 由两端铰接的水平刚 杆AB和斜刚杆BC支持 于点B 。不计铰车的 自重，试求杆AB和BC 所受的力。
支座B的约束力。
F1
ll
F2
M
60
A B
l2
l1
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图。
2、 选取坐标系，列平衡方程。
F1 ll
M
A
B
Fx 0
F2
FAx F2 cos 60 0
60
MA(F) 0
l2
l1
FByl2 M F1l1 F2(l1 l2)sin 60 0
y FAy A
F1 M B
FR' 0
Mo 0
平面任意力系平衡方程基本形式：（一矩式）
Fx= 0 Fy = 0 MO（F）= 0
三个独立的平衡方程，可解 3 个未知量。
平衡方程其他形式：
B
Fx = 0 MA（F）= 0 MB（F）= 0
A
x
A、B 连线不垂直于x 轴
（两矩式）
MA（F）= 0 MB（F）= 0 MC（F）= 0 （三矩式）
y
FAy
l
l
A FAx
45
C
FC
x B F
3、解平衡方程，可得
FC 2F cos 45 28.28 kN
FAx FC cos 45 2F 20 kN
FAy F FC sin 45 F 10 kN
例5 一种车载式起重机，车重G1= 26 kN，起
重机伸臂重G2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固 定部分共重G3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸 臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试 求车子不致翻倒的最大起吊重量Gmax。
G3
G2
G
A
G1
B
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
解1：、取汽车及起重机为研究
对象，受力分析如图。
2、列平衡方程。
G3
G2
G
A
G1 B
F 0
1.8 m 2.0 m 2.5 m
FA
FB
3.0 m
FA FB G G1 G2 G3 0
MB F 0
G(2.5 m 3 m) G2 2.5 m G1 2 m FA(1.8 m 2 m) 0
y
F’Cy
F
F’Cx C
E
G
O FBx
B x
FBy
Fx 0,
FCx FBx 0
Fy 0,
FCy FBy F G 0
MC F 0,
F 3 m G 5 m FBy 6 m FBx 6 m 0 联立求解得: FCx = -FBx = 9.2 kN， FCy= 2.5 kN
M
F
q
45
B
A
l
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
M
F
45
Fx 0, FAx F cos 45 0
A
l
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
M A F 0,
l M A ql 2 F cos 45 l M 0
y
M
3、 解方程，得
q FAx
45 F FAx F cos 45 0.707 F
A
l
B x FAy ql 0.707F
MA
FAy
MA
1 2
ql 2
0.707 Fl
M
课堂练习：梁AB上受到一个均布载荷和一
个力偶作用，已知载荷集度（即梁的每单位
长度上所受的力）q = 100 N/m，力偶矩大小 M = 500 N·m。求活动铰支座 D 和固定铰支座
忽略不计，求铰链A的约束力和杆DC所受的
力。
F
A
B
C
D
A
F 解：1、取AB杆为研究对象，
B
C
受力分析如图。
2、 列平衡方程:
D
y
FAy
l
l
AFAx
C 45 FC
建立如图所示的坐标系
Fx 0, FAx FC cos 45 0
Fy 0, FAy FC sin 45 F 0
x B
F MA F 0, FC cos 45 l F 2l 0
C B
A
C
A、B、C三点不
在同一条直线上
平面任意力系平衡方程讨论：
Fห้องสมุดไป่ตู้ = 0 Fy = 0 MO= 0
平面任意力系：三个独立的平衡方程，可解3个未知量
平面汇交力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面平行力系：二个独立的平衡方程，可解2个未知量
平面力偶系： 一个独立的平衡方程，可解1个未知量。
第三章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
4、具有摩擦的平衡问题 5、重心
§3-1 力系的平衡方程
F2
z
F1
MO
z
FR′
y o
y o
x
Fn
x
空间任意力系向任意点O简化为： 主矢 FR′=∑Fi 主矩 MO=∑MO（Fi )
平衡的充分必要条件： FR' 0 Mo 0
(a)
解： 几何法 1、取制动蹬ABD为研究对象，
并画出受力图。
AF
2、作出相应的力多边形。
BE
O
FD
FB
D
(b)
I
F
FD