3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律

* 链条在此时的速度 v = 2g(l + h) 根据动量定理
m ml = λl = l L
h
dm = λ dl = λυ dt
(以向下为正方向)
2m(l + h)g f = v = λv = dt L
2
λvdt
f (t)dt = 0 (λvdt)v
= f '
地面受力
m F = f '+ ml g = (3l + 2h)g L
例5 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来 在恒星系中， 的星球， 为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近 为静止，且相距为无穷远，后在引力的作用下， 它们之间的相对速率为多少？ ，到相距为 r 时，它们之间的相对速率为多少？ 由动量守恒， 解 由动量守恒，机械能守恒
下面以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。 下面以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。
2. 火箭飞行原理 （rocket） ）
特征: 火箭体在飞行过程中,由于不断地向外喷气 由于不断地向外喷气, 特征 火箭体在飞行过程中 由于不断地向外喷气 所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 所以火箭体的质量不断地变化。飞行速度？ 取微小过程，即微小的时间间隔d 取微小过程，即微小的时间间隔 t 系统： 系统：火箭箭体 和dt 间隔内喷出的气体
Ft1 = (m + m2 )v1 0 1
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为 子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 = m2v2 m2v1
Ft1 v1 = m + m2 1
解得
Ft1 Ft2 v2 = + m + m2 m2 1
例3 如图所示 ， 两部运水的卡车 、 B在水平面上沿同 如图所示， 两部运水的卡车A、 在水平面上沿同 一方向运动，B的速度为 ，从B上以 一方向运动， 的速度为u 上以6kg/s的速率将水抽至 的速率将水抽至 的速度为 上以 A上， 水从管子尾部出口垂直落下 ， 车与地面间的摩擦不 上 水从管子尾部出口垂直落下， 车的质量为M，速度为v 计，时刻 t 时，A车的质量为 ，速度为 。 车的质量为 的瞬时加速度。 求 时刻 t ，A 的瞬时加速度。 解 选A车M和t 时间内抽至 车 和 A车的水m为研究系统， 车的水 为研究系统， 车的水 为研究系统 水平方向上动量守恒 A A
v
B
u
Mv + mu = (M + m)v′
Mv + mu ′= v M + m m v ≈ (u v) M
m(u v ) v =v′ v = M + m
v dm u v 6 a = lim = = ( u v ) t →0 t dt M M
的匀质链条， 例4 质量为 m 的匀质链条，全长为 L， 开始时， 开始时，下端与地面的距离为 h , 当链 条自由下落在地面上时, 条自由下落在地面上时 求 链条下落在地面上的长度为 l ( l<L )时， 时 地面所受链条的作用力。 地面所受链条的作用力。 解 设 L m
∑ (∫
i
t2
t1
r r v t2 r Fi d t + ∫ f i d t ) = ∑ (Pi Pi 0 )
外力冲量之和 内力冲量之和
∑∫
i
t2 t1
v Fi d t =
∫ (∑
t1 i
t2
r Fi ) d t =
∫
t2 t1
r F外 d t
内力冲量之和 内力冲量之和 同样， 同样，由于每个质点的 受力时间dt 相同, 受力时间 相同, 因为内力之和为零： 因为内力之和为零： 所以有结论： 所以有结论：
主体的质量增加（如滚雪球） ▲粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） 主体的质量减少（如火箭发射） ▲抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射） 还有另一类变质量问题是在高速（ 还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下， ）情况下， 这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变— 这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变— 随速度 变化 m = m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。 ，这是相对论情形，不在本节讨论之列。
“神州”号飞船升空 神州” 神州
1. 变质量问题
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为 ，由于外力 F 的作用 ，速度为v， 和质量的并入， 时刻， 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 ， 时间内， 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 时间内 ， 与 合并前的速度为 u，根据动量定理有 ，
t1
t2
r r r ∫ F外dt = P P0
t1
微分形式？ 微分形式？
动量定理
v v dP F= dt
v v F = ma 吗？
可以写成
某段时间内，质点系动量的增量， 某段时间内 ， 质点系动量的增量 ， 等于 作用在质点系上所有外力 所有外力在同一时间内 作用在质点系上 所有外力 在同一时间内 的冲量的矢量和 ——质点系动量定理 质点系动量定理 质点动量守恒定律： 质点动量守恒定律： v F =0 外 质点系动量守恒定律： 质点系动量守恒定律： r ∑Fi外 = 0
思考：卫星绕地球作匀速圆周运动， 思考：卫星绕地球作匀速圆周运动，卫星动量 是否守恒？ 是否守恒？
v Fn
地
v v 动量不守恒。因为 Fn 作用，即 F外 ≠ 0。 动量不守恒。 作用，
或者直接从动量定义来看。 或者直接从动量定义来看。
炮车放在光滑地面上。炮车质量为 ，炮弹质量 炮车质量为M， 例1 炮车放在光滑地面上。v 为m。起始时静止当炮弹以 v ' 相对于炮车射出，求： 。起始时静止当炮弹以 相对于炮车射出， 炮车在 x 方向的反冲速度 u 。 动量定律在惯性系成立。射炮时， 解： 动量定律在惯性系成立。射炮时， 炮车有加速度，为非惯性系。 炮车有加速度，为非惯性系。
m 1
x O 1 1 m m2 2 2 mv1 + m2v2 G 1 = 0 1 2 2 r 2G 2G v2 = m 1 解得 v1 = m2 (m + m2 )r 1 (m + m2 )r 1
相对速率
mv1 mv2 = 0
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r v1
r v2
m2
2G 2G v12 = v1 +v2 = m2 +m 1 (m + m2 )r (m + m2 )r 1 1
dM ∫ dV = M u M ∫ V0 0
M0 火箭的质量比 N M
t2
∫
t1
r Fi d t +
t2
∫
t1
r r r f i d t = Pi Pi 0 r v r v P = miυi P0 = miυi0 i i
r fi
mi r Fi
t1 i
质点系
第2步，对所有 步 质点i 求和： 质点 求和： 第3步，化简上式： 步 化简上式： 先看外力冲量之和 由于每个质点的受力 时间dt 相同,所以： 时间 相同,所以：
§3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
一、质点系 二、质点系的动量定理 动量守恒定律 火箭飞行原理—— 变质量问题 三、火箭飞行原理
一、质点系
N个质点组成的系统 研究对象 个质点组成的系统-个质点组成的系统 内力 internal force 系统内部 内部各质点间的相互作用力 系统内部各质点间的相互作用力 特点： 成对出现； 特点： 成对出现；大小相等方向相反 r 结论：质点系的内力之和为零 结论：质点系的内力之和为零 ∑ f i = 0
∑∫
i
t2
t2
v f id t
t1
t2 r r ∑∫ fidt = ∫ (∑ fi )dt i t1
∑
i
v fi = 0
t1
i
r fi
mi
质点系
r Fi
∑∫
i t1
t2
v f i dt = 0
内力的冲量 之和为零 质点系的重要结论之二
t2
则，质点系的动量定理
r r r 积分形式） ∫ F外dt = P P0 （积分形式）
Fdt = (m + dm)(v + dv) (m + dmu) v
略去二阶无穷小量得
Fdt = mdv vrdm
dm dv F +vr =m dt dt
Fdt = mdv + (v u)dm
vr = u v
dm 与 m 合并前 相对于m 相对于 的速度
（密歇尔斯基方程） 密歇尔斯基方程）
变质量问题（低速， 变质量问题（低速，v << c）有两类： ）有两类：
t t + dt
喷出的气体
火箭体质量为M 火箭体质量为
r 速度 V
M + dM
r u
dm
r r r u + (V + dV )
r r V + dV
M
r V
u
---喷气速度（相对火箭体） 喷气速度（相对火箭体） 喷气速度
根据动量定理列出原理式： 根据动量定理列出原理式：
r r r r r r r ( M + dM )(V + dV ) + dm(u + V + dV ) MV = F dt
假设在自由空间发射， 假设在自由空间发射， M dV 注意到： 注意到：dm = - dM， ， 按图示，可写出分量式，稍加整理为： 按图示，可写出分量式，稍加整理为：
V
+ udM = 0
M
M dV + udM = 0
M0 V V0 = u ln M
提高火箭速度的途径有二： 提高火箭速度的途径有二： 第一条是提高火箭喷气速度u 第一条是提高火箭喷气速度 第二条是加大火箭质量比M 第二条是加大火箭质量比 0/M
两个质子发生二维的完全弹性碰撞
两个质子在盛有 液态氢的容器中发生 弹性碰撞 . 一个质子 从左向右运动, 从左向右运动 与另 一个静止质子相碰撞, 一个静止质子相碰撞, 碰撞后, 两个质子的 碰撞后 运动方向相互垂直 。 磁感强度的方向垂直 纸面向里 。
火箭飞行原理——变质量问题 三、火箭飞行原理 变质量问题
i
r f
质点系
r F
质点系中的重要结论之一 外力 external force 系统外部对质点系内部 外部对质点系内部质点的作用力 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 约定：系统内任一质点受力之和写成
内力之和
r r Fi + f i
外力之和
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 利用质点系 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 获最简形式。 的特点加以化简 获最简形式。 质点i 使用动量定理： 第1步，对 质点 使用动量定理： 步
i
v v 常矢量 P＝m v
v v P＝ mivi 常矢量 ∑
讨论 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 .动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。质点 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 系内各质点的速度必须是相对同一惯性参照系而言。 相对同一惯性参照系而言 系内各质点的速度必须是相对同一惯性参照系而言。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其他 一切惯性系中 动量若在某一惯性系中守恒， 一切惯性系中 惯性系 均守恒。 均守恒。 4. 若某个方向上合外力为零，则该方向上动量守恒，尽管 某个方向上合外力为零 合外力为零， 该方向上动量守恒 上动量守恒， 总动量可能并不守恒 5. 当外力 内力且作用时间极短时（如碰撞） 当外力<<内力且作用时间极短时 如碰撞） 内力且作用时间极短时（ 可认为动量近似守恒。 可认为动量近似守恒。 6. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍、更基本 ， 在宏观和 动量守恒定律比牛顿定律更普遍 普遍、 微观领域均适用。 微观领域均适用。 系统的内力可以改变系统内部各质点的动量， 7.系统的内力可以改变系统内部各质点的动量，但不会引 起系统动量的改变， 起系统动量的改变，揭示了物体间的相互作用及机械运 动发生转移的规律。 动发生转移的规律。
v v v : 炮弹对地速度， ' : 炮弹对车速度 炮弹对地速度， v r u u : 车相对地的速度 u v 分别是矢量在 x 方向分量
∴ Mu + mv = 0
N
v v' α
y
O
α
mg
x
v = v 'cos α u
mv 'cos α u= M +m
例2 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的 木块,已知两木块的质量分别为 木块 已知两木块的质量分别为 m1, m2 ，子弹穿过两木块的 时间各为 设子弹在木块中所受的阻力为恒力F 时间各为 t1, t2 ，设子弹在木块中所受的阻力为恒力 子弹穿过后， 求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 解 子弹穿过第一木块时，两木块速 子弹穿过第一木块时， 度相同，均为v 度相同，均为 1