4.3 质点系动量守恒定律
物理-动量守恒定律 火箭推进原理
2、守恒条件：合外力为零，或外力<<内力；
3、合外力沿某一方向为零，则该方向动量守恒；
Fix, y,z 0 pix, y,z 常量
4、适用范围： 惯性系中普遍适用。
一、动量守恒定律
例：炮车以 角发射一炮弹，炮 车质量为M，炮弹质量 为m，炮弹出口速度为u（对炮车），如图。
求：炮车反冲速度（炮车与地面磨擦力忽略不计）
•多级末速度： υf ui ln Ni
若 u1 u2 un u
υ f ui ln( N1 N 2 N n )
例 u＝2.8km / s N1 N2 N3 15
υ f 22.75km / s
•重力场中： υt u ln M0 gt
M
•自由场中： υt u ln M0
M
火箭质量比：
N M0 Mf
末速度： υ f u ln N
(1) 提高 u（现可达 u = 4.2 km/s）
(2) 增大 N（受一定限制）
Mg
二、火箭推进原理
单级末速度： υ f u ln N
为提高N，采用多级火箭
分析： 炮车+炮弹系统在水平 方向 动量 守恒
设炮弹对地速度为 υ
υ uV υ
u
ห้องสมุดไป่ตู้
V
υx
x
V
υx u x V ucosθ V
二、火箭推进原理 1、动力学方程
F外
M
dυ dt
u
dm dt
υ dυ
F外：火箭系统所受外力；
沿火箭飞行方向为正 u dm：喷气对火箭的反推力
dt
二、火箭推进原理
2、箭体飞行的理想速度
一、动量守恒定律
质点系动量定理
质点系角动量守恒定律
前言 质点的角动量 质点系的角动量定理及角动量守恒定律 质点系对质心的角动量定理和守恒定律 对称性 • 对称性与守恒律 经典动力学的适用范围
§5.1 前
一、本章的基本内容及研究思路
言
角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体的运动 时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确定点或轴线运动 的情况，并且在这类运动中也存在着某些共同的重要规律。例 如，天文观测表明，行星绕日运动遵从开普勒第二定律，在近 日点附近绕行速度较快，远日点速度较慢，这个特点如果用角 动量及其规律很容易说明。特别是在有些过程中动量和机械能
都不守恒，却遵从角动量守恒定律，这就为求解这类运动问题 开辟了新途径。
角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理 论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量，例如原子核的角 动量，通常称为原子核的自旋，就是描写原子核特性的。 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然界最基本最
普遍的定律之一。由于角动量这个物理量，从概念到数学表达，
都比动量要难理解，我们循序渐进逐步深入地来理解。 本章还要触及对称性的概念，尽管经典力学中的对称性没
有在微观领域中那么重要，但是介绍一下与本课水平相当的对
称性问题是十分有益的。
二、本章的基本要求
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理； 3. 掌握角动量守恒定律； 4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
由上（1）式可以看出，在过程中如果外力对参考点的力矩
的矢量和始终为零，则质点系对该点的角动量保持不变，称为 质点系对该点的角动量守恒定律，即
当τi 0时,
L 常量.
由（2）式可以看出，有时外力矩对参考点虽不为零，但 是，外力矩沿某固定的 z 轴分量为零，则质点系对 z 轴的角动 量保持不变，叫做质点系对 z 轴的角动量守恒定律。即
质点系动量守恒定律
7. 在同一个惯性系中使用．并且只适用于惯 性系。
3
动量定律的说明
8.若F ex Fiex 0，但满足 Fxex 0
i
有 px mi vix C x
i
Fxex 0 , px mivix Cx
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
pν
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
例题
已知 v 2.5103 m s1 v' 1.0 103 m s1
求 mv11,1v020 kg
质点系动量守恒定律
或 180o 61.9o 118.1o
7
例题
例3 一枚返回式火箭以 2.5103 m·s-1 的速
率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气阻力不
计．现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱质量为
m1 =100 kg，后方的火箭容器质量为m2 = 2 00 kg， 仪器舱相对火箭容器的水平速率为v’=1.0103 m·s-
1. 动量守恒定律是牛顿定律的必然推论。 2. 外力的矢量和为零，是动量守恒的条件。 3. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系,
且动量若在某一惯性系中守恒,则在其它一 切惯性系中均守恒。
4. 系统的总动量保持不变，即为各质点的动量 和不变，而不是指其中一个质点的动量不变。
2
动量定律的说明
5. 当合外力为零，或外力与内力相比小很多如 爆炸过程），这时可忽略外力，仍可应用动 量守恒。
x x'
z
z'
9
例题
解 v1 v2 v' (m1 m2 )v m1v1 m2v2
v2
v
m1 m1 m2
v'
2.17 103
m s1
v1 3.17 103 m s1
y s v
y' s' v'
m2 m1
o z
o' z'
x x'
10Leabharlann 1求．仪器舱和火箭 容器相对惯性系
的速度．
y s v
y' s' v'
m2 m1
o
o'
x x'
z
z'
8
4.3 质点系动量守恒定律
4.3 质点系动量守恒定律
r r 质点系动量定理 dP = F dt 外 r r 当 F = 0 时，质点系动量 P 不变 外
——— 质点系动量守恒定律 讨论 (1) 动量守恒的分量表述
α =180 −θ
o
r 和 r及 r 都成 o， 即 v v v2 135 3 1
且三者都在同一平面内
v2 o tanθ = =1, θ = 45 , v1
α =135
o
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
∴ P = 常量 x ∴ P = 常量 y ∴ P = 常量 z
(2) 动量守恒定律适用于惯性系及高速、微观领域。 动量守恒定律适用于惯性系及高速、微观领域。
一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等， 例 一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且 以相同速度30 沿相互垂直的方向飞开， 以相同速度 m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的 沿相互垂直的方向飞开 质量恰好等于这两块质量的总和。 质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度 大小和方向）。 （大小和方向）。 炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力， 解： 炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故 在爆炸中，可认为动量守恒。 在爆炸中，可认为动量守恒。
r r r mv1 + m2v2 + m v3 = 0 1 3 r r r −m v3 = mv1 + m2v2 3 1
(m3v3 ) = (mv1) + (m2v2 ) 1
2 2 2
(m3v3 ) = (mv1) + (m2v2 ) , m3 = 2m 1
大学物理冲量和动量
t1)
F t1
F
注意
(t2 t1)
O
t t t
1
2
t
在 p一定时 t 越小，则 F 越大 .例如人从高处跳下、飞机与鸟相撞、
打桩等碰撞事件中，作用时间很短，冲力很大 .
青岛理工大学
例1 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到达地面后，以同 样速率反弹，接触时间仅0.019s.
v1
m 2m v3
o
x
0 2mv 3 sin mv 2
m
v2
青岛理工大学
2mv 3 cos mv 1 （1）
2mv 3 sin mv 2 （2） v1
v3
1 2
v12
v
2 2
1 800 2 600 2 2
500 m/s
方向：tg v2 36.9
y s v y' s' v'
o
o'
x x'
z
z'
青岛理工大学
解：设仪器舱和火箭容器的速度分别为v1 , v2 分离前速度为
v 2.5103 ms1
分离后，仪器舱相对火
y s v y' s' v'
箭容器的速度为
v' 1.0103 ms1
v1 v2 v'
o z
m2 m1
青岛理工大学
又如汽车从静止开始运动，加速到 20m/s如果牵引力大，所用时间短，如果 牵引力小所用的时间就长。
可以看出，当物体的状态变化一定 时，作用力越大，时间越短；作用力越 小，时间越长。
青岛理工大学
定义：力和力的作用时间的乘积称为冲量。I 矢量,同力的方向
第四章冲量和动量
例、质量为2.5g的乒乓球以 质量为 的乒乓球以 10 m/s 的速率飞来，被板推 的速率飞来， 挡后， 挡后，又以 20 m/s 的速率飞 出。设两速度在垂直于板面 的同一平面内， 的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为 45o 和
v1 v2 30o 45o n
：（ ） 30o，求：（1）乒乓球得到 的冲量；（ ） 的冲量；（2）若撞击时间 ；（ 为0.01s，求板施于球的平均 ， 冲力的大小和方向。 冲力的大小和方向。
r(t)
积分
v(t)
积分
a(t)
力的累积效应
F(t)对 t积累 →I , ∆p F 对 r积累 →W, ∆E
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动量定理、 动量、 动能、 动能、功、动能定理、机械能守恒 动能定理、
4.5
角动量 角动量守恒定律
1. 质点的角动量 质点的角
角动量（动量矩） 一、 角动量（动量矩）
O
y
v2 30o 45o x
α
n
v1
一篮球质量0.58 kg，从2.0 m高度下落 到达地面后 以同样 高度下落,到达地面后 例 一篮球质量 ， 高度下落 到达地面后,以同样 速率反弹，接触时间仅 速率反弹，接触时间仅0.019 s。 。 对地平均冲力 平均冲力? 求 对地平均冲力 解 篮球到达地面的速率 F F(max)
如图所示， 例题 如图所示，固定的光滑斜面与水平面的 夹角α 轻弹簧上端固定。 夹角α=30°,轻弹簧上端固定。今在弹簧的另一端 ° 轻弹簧上端固定 轻轻地挂上质量为M=1.0kg的木块，则木块将沿斜 的木块， 轻轻地挂上质量为 的木块 面向下滑动。当木块向下滑x=30厘米时，恰好有 面向下滑动。当木块向下滑 厘米时， 厘米时 一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度 的子弹， 一质量 的子弹 υ=200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的倔强系 射中木块并陷在其中。 射中木块并陷在其中 k=25N/m。 数k=25N/m。求子弹打入木块后它们刚一起运动时 的速度。 的速度。
质点系动量矩守恒定律
质点系动量矩守恒定律一、引言质点系动量矩守恒定律是物理学中一个非常重要的定律，它描述了质点系在运动过程中动量和角动量的守恒规律。
本文将从定义、推导、应用等方面详细介绍这一定律。
二、定义质点系是指由多个质点组成的系统，其中每个质点都有自己的质量和速度。
在运动学中，我们可以用一个坐标系来描述整个质点系的运动状态。
而在动力学中，我们需要考虑到各个质点之间的相互作用力，以及整个系统所受到的外力。
根据牛顿第二定律，一个质点所受到的合力等于其加速度乘以其质量。
同样地，对于一个质点系，在外力作用下，其总动量和总角动量也会发生变化。
当然，在某些情况下，如果系统受到的外力为零，则总动量和总角动量将保持不变。
三、推导1. 总动量守恒我们先来推导总动量守恒定律。
假设一个质点系由n个质点组成，分别为m1, m2, ..., mn，并且每个质点分别具有速度v1, v2, ..., vn。
那么这个质点系的总动量可以表示为：p = m1v1 + m2v2 + ... + mnvn现在假设这个质点系受到一个外力F作用，从而发生了加速度a。
根据牛顿第二定律，每个质点所受到的合力都等于其加速度乘以其质量：F1 = m1a, F2 = m2a, ..., Fn = mna将上述式子代入总动量公式中，可以得到：p' = (m1v1 + F1t) + (m2v2 + F2t) + ... + (mnvn + Fnt)= (m1v1 + m1at) + (m2v2 + m2at) + ... + (mnvn + mnat)= p + at(m1+m2+...+mn)由此可见，在外力作用下，质点系的总动量会发生变化，并且变化的大小与系统的加速度以及系统的总质量有关。
但是，在某些情况下，如果系统受到的外力为零，则系统将不会发生加速度变化。
此时，根据以上公式可知，系统的总动量将保持不变。
因此，我们可以得出结论：当一个质点系受到外力作用时，它的总动量会发生变化，但如果外力为零，则它的总动量将保持不变。
动量定理,动量守恒定律
3
0
Fx dt m vx m v3
1 2 3 4
对不对？
y
N
f
m
o
F
x
1 :
N 10 0.672 ？ t
t , F 1.12t
物体可能飞离桌面，
何时飞离？
mg
令 10 0.672 0 得： t 14.9 s
N 10 - 0.672 t N 0
§4.3 动量定理
一、质点的动量定理 1. 微分形式 2. 积分形式
dp F dt Fdt dp 令 dI Fdt
t1
— 力的元冲量
t2 I Fdt — 力的冲量
t2 p2 得： I Fdt dp p2 p1 p t1 p1
三、动量定理
t2 I内 F内dt 0
t1
t1
四、动量守恒定律——空间平移对称性 孤立系统：
F外 0 p总 恒矢量 vc 恒矢量
m
M
h
当 m 自由下落 h 距离，绳被拉紧 m 的瞬间， 和 M 获得相同的运动速率 M v ，此后 m 向下减速运动， 向上 减速运动。M 上升的最大高度为：
v H 2a
2
分两个阶段求解
第一阶段：绳拉紧，求共同速率 v
解1：
解2：
M m m不能提起M , 共同速率 v 0
绳拉紧时冲力很大，忽略重力， M
*质点所受合力的冲量等于质点动量的增量
分量式：
Ix Iy Iz
t1
t2
t1 t2
Fx dt p x Fy dt p y Fz dt p z
质点系动量矩守恒定律
质点系动量矩守恒定律介绍物体的运动是一个复杂的过程，涉及到质点的动量和力矩等概念。
质点系动量矩守恒定律是描述多个质点在相互作用下的动量守恒规律。
本文将深入探讨质点系动量矩守恒定律的原理和应用。
质点系动量矩守恒定律的原理质点系动量矩守恒定律是基于质点的动量和力矩守恒的推导而来的。
在一个封闭系统中，如果没有外力和外力矩的作用，质点系的总动量和总动量矩将保持不变。
质点系动量守恒定律的表达式质点系动量守恒定律可以用以下表达式表示：∑m i⋅v i⃗⃗⃗ =∑m i⋅v i⃗⃗ ′其中，m i表示第i个质点的质量，v i⃗⃗⃗ 表示第i个质点的速度，v i⃗⃗ ′表示第i个质点的速度在相互作用后的值。
质点系动量守恒定律的应用质点系动量守恒定律的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1. 弹性碰撞在弹性碰撞中，两个物体之间发生碰撞后会互相作用。
根据质点系动量守恒定律，碰撞前后质点系的总动量保持不变。
这种定律在撞球、弹簧振子等场景中得到了广泛的应用。
2. 力矩平衡在一个力矩平衡的系统中，物体对轴产生的力矩之和为零。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量矩也将保持不变。
这个应用场景常见于杠杆平衡、旋转机械等领域。
3. 爆炸反应在爆炸反应中，物体间发生的爆炸会导致质点系的动量发生变化。
根据质点系动量守恒定律，系统的总动量依然保持不变。
这个原理被应用于爆炸物理学和火箭动力学等领域。
4. 流体力学在流体力学中，质点系动量守恒定律被广泛应用于描述流体的运动。
根据定律，流体中各个质点的总动量保持不变，从而可以推导出流体动力学的一些基本方程。
质点系动量守恒定律的证明质点系动量守恒定律可以通过牛顿定律的推导来证明。
假设在一个封闭系统中，只有内力存在，没有外力作用。
根据牛顿第三定律，内力满足作用力与反作用力相等且方向相反。
因此，内力互相抵消，系统的总动量保持不变。
质点系动量守恒定律的局限性质点系动量守恒定律在某些特殊情况下可能不适用，比如包含外力或外力矩的系统。
质点系的动量定理 动量守恒定律
f21
m2 v20 → v2 F2
考虑质点组成的系统 两式求和： 两式求和：
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
∫ ( ∑ Fi外 + ∑ fi内 )dt = ∑ mivi ∑ mivi 0
t t0
f12与f21为一对作用力和反作用 力,
f12 = f21
∑ fi内 = 0 即系统的内力矢量合为 0。 。 令P = ∑ mivi = ∑ Pi 为系统的动量矢量合， 为系统的动量矢量合，
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
质点系的动量定理： 质点系的动量定理：合外力的冲量等于质 点系动量的增量。 点系动量的增量。
§2.质点系的动量定理 / 一、质点系的动量定理 质点系的动量定理
§2.质点系的动量定理 / 二、注意几点 质点系的动量定理
如图2.13所示，一辆装矿砂的车厢以 ＝4 m/s的速率从漏斗下通过， 所示， 的速率从漏斗下通过， 例2.6 如图 所示 一辆装矿砂的车厢以v＝ 的速率从漏斗下通过 每秒落入车厢的矿砂为k＝ 每秒落入车厢的矿砂为 ＝200 kg/s，如欲使车厢保持速率不变，须施与车 ，如欲使车厢保持速率不变， 厢多大的牵引力(忽略车厢与地面的摩擦 忽略车厢与地面的摩擦). 厢多大的牵引力 忽略车厢与地面的摩擦 解 设t时刻已落入车厢的矿砂质量为m， 经过dt后又有dm＝kdt的矿砂落入车厢.取m 和dm为研究对象，则系统沿x方向的动量 定理为
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
简述质点系的动量定理及动量守恒定律
动量是物体运动状态的一种量度，它与物体的质量和速度成正比。
质点系的动量定理和动量守恒定律是描述物体运动规律的重要定律，对于理解和研究物体的运动具有重要意义。
本文将从简述质点系的动量定理开始，逐步深入探讨动量守恒定律，希望能够为读者提供一份深入浅出的参考。
1. 质点系的动量定理质点系的动量定理是描述质点系受力情况下动量的变化规律的定理。
根据牛顿第二定律，质点系的动量定理可以表述为：当一个质点系受到合外力时，它的动量随时间的变化率等于合外力的作用，即\[ \frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F} \]其中，\[ \vec{p} \]代表质点系的动量，\[ \vec{F} \]代表合外力的矢量。
这个定理表明了力对物体动量的影响，是经典力学中非常重要的基本定律之一。
2. 动量守恒定律当质点系受到合内力作用时，它的动量不会发生改变，这就是动量守恒定律的基本内容。
对于一个封闭系统来说，合内力为零，因此动量守恒定律可以表述为：在一个封闭系统内，当没有合外力作用时，质点系的动量保持不变，即\[ \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots + \vec{p}_n = \vec{p}_1' +\vec{p}_2' + \cdots + \vec{p}_n' \]其中，\[ \vec{p}_i \]代表质点i的初始动量，\[ \vec{p}_i' \]代表质点i的最终动量。
动量守恒定律是一个非常重要的物理定律，它对于理解和分析自然界中的各种物理现象具有重要作用。
3. 个人观点和理解动量定理和动量守恒定律的提出和应用，使我们能够更深入地理解物体运动规律，并且在工程技术和自然科学研究中得到了广泛的应用。
在实际生活中，通过对动量定理和动量守恒定律的应用，我们可以更好地理解交通事故、火箭发射和碰撞实验等现象。
这些定律的深入理解和应用，有助于我们更加科学地分析和解决相关问题。
质点系的动量守恒定律
质点系的动量守恒定律一、前言质点系的动量守恒定律是力学中一个非常重要的定律，它描述了质点系在不受外力作用下动量守恒的情况。
本文将从以下几个方面来详细介绍这个定律：定义、公式、证明、应用以及注意事项。
二、定义质点系是指由多个质点组成的系统。
在不受外力作用下，质点系内部的相互作用力使得系统内部各个质点之间的动量发生改变，但是系统整体的动量却保持不变。
这就是质点系的动量守恒定律。
三、公式根据牛顿第二定律，一个物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度。
因此，对于一个由N个质点组成的系统，其总动量可以表示为：P = m1v1 + m2v2 + ... + mNvN其中，mi和vi分别表示第i个质点的质量和速度。
如果该系统不受外力作用，则其总动量保持不变：ΣPi = Σmi vi = 常数这就是质点系的动量守恒定律。
四、证明证明该定律可以采用牛顿第三定律和牛顿第二定律。
具体证明过程如下：1. 假设一个由N个质点组成的系统不受外力作用，其总动量为P0。
2. 假设第i个质点受到第j个质点的作用力Fij，根据牛顿第三定律，Fij = -Fji。
3. 根据牛顿第二定律，Fij = mi ai，其中ai是第i个质点的加速度。
4. 对于整个系统来说，Σmi ai = 0。
因此，Σmi vi = P0是一个常数。
5. 如果该系统在某一时刻发生碰撞或者其他内部相互作用力的变化，则会导致其中某些质点的速度发生改变。
但是由于其他质点对这些质点的作用力仍然满足牛顿第三定律，因此整个系统的总动量仍然保持不变。
6. 因此，在不受外力作用下，质点系的总动量守恒。
五、应用1. 碰撞问题在碰撞问题中，可以利用质点系的动量守恒定律求解碰撞前后物体的速度和方向等信息。
例如，在弹性碰撞中，两个物体碰撞前后总动量保持不变，因此可以通过总动量守恒定律求解碰撞后物体的速度和方向。
2. 火箭推进问题在火箭推进问题中，可以利用质点系的动量守恒定律分析火箭的推进效率。
质点系动量定理
质点系动量定理质点系动量定理是一个物理学中重要的定理，它描述了物体在不受外力干扰的情况下，其动量的总和将恒定不变。
它也被称为质点系动量守恒定律，或简称动量守恒定理。
它由英国物理学家威廉汉弗莱斯斯特兰奇（William H.F. Strutt）于1902年首先提出。
质点系动量定理的运用广泛，它说明了物体的动量的总和在某一时刻可以在没有外力干扰的情况下保持不变。
也就是说，当外力不作用时，它保证物体的动能在任何时刻保持不变。
这就是所谓的动量守恒定理。
它还说明了当外力作用时，物体的总动能也将发生变化。
即受外力的作用，物体的动能总和也会发生改变，有增有减。
换句话说，当物体受到外力的作用时，它的动能总和将发生变化，即动量定理不再成立。
这个定理也被应用于多体系统，它表明：多体系统的动量的总和也受外力的作用而发生变化，即总动量不再恒定不变，而是会受外力的作用而发生变化。
质点系动量定理的有趣地方是，当其中的任何物体受到外力的作用时，整个系统的动能总和将发生改变，而并不只是这个物体本身的动量发生改变。
如果相对论性质也考虑在内，这个定理就可以被引申出更多的结论。
举个例子，在相对论当中，如果一个质点系统中有两个物体，由于它们之间的运动状况相互影响，当两个物体受到外力的作用时，它们的动能并不是变化的，而是一个物体的动量增加而另外一个物体的动量减少而使得总的动能不变。
总的来说，质点系动量定理是物理学中重要的定理，它描述了物体在不受外力干扰的情况下，其动量的总和将保持恒定不变；它也给出了动量定律、相对论以及多体系统分析中有关物体动能变化的重要指导。
同时它也被广泛用于物理、力学和电子学科的研究中，其影响力是非常深远的。
大学物理质点和质点系的动量定理 动量守恒定律
t1 t2
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于 系统动量的增量.
F2 t1 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F21 F12 t2 F1 m2 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 m1 t1 因为内力 F12 F21 0 ，故 t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
注意：
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 . ex dp i ex 力的瞬时作用规律 F , F 0, P C dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统 内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相对于同 一惯性参考系 .
t0 i i i
可知
ex ex 若质点系所受的合外力为零 F F 0 i i 则系统的总动量守恒，即 p pi 保持不变 .
ex 力的瞬时作用规律 F ex dp , F 0, P C dt
i
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律 动量守恒定律
I E
p mv
Fdt dp d (mv)
dp d (mv) F dt dt
t2 冲量 力对时间的积分（矢量） I Fdt
t1
t2
t1
Fdt p2 p1 mv2 mv1
2– 1 质点和质点系的动量定理 动量守恒定 律
mv1
F
质点系的动量定理动量守恒定律
x
mv1
mv2 O
y
解 由动量定理得： 方向与 Ox轴正向相同．
x
mv1
mv2 O
y
例2 一柔软链条长为l，单位长度
的质量为，链条放在有一小孔的桌上，
链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆 在小孔周围。由于某种扰动,链条因自 身重量开始下落。
m2
O
设各处摩擦均不计，且 认为链条软得可以自由伸开。
p
p0
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量
——质点系动量定理
I
p
p0
F ex F1 F2 FN
注意
➢区分外力和内力 ➢内力仅能改变系统内某个物体的动量， 但不能改变系统的总动量。
讨论
（1） F 为恒力
I Ft
（2） F 为变力
I
t2 t1
Fdt F (t2
t1)
平均冲力
理量始终保持不变，该物理量就叫做守恒量。
❖ 守恒定律 ? 由宏观现象总结出来的最深刻、最简洁的自
然规律。（动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定
律和角动量守恒定律等）
❖ 适用范围 ? 不仅适用于宏观也适用于微观世界，不仅适
用于任何物理过程，也适用于化学、生物等其他过程，是
自然界的普遍规律。
1、动量守恒定律
O
y2gdy ydy dyv yv dyv
dt
m1
y
g y y2 d y yv yv dyv
0
0
y
1 gy3 1 yv2
3
2
v
2
gy
1 2
3
思考: 用牛顿定律是否可解此题? 如何解?
同学们再见！
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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5
例2静止的原子核衰变时辐射出一个电子和 一个中微子后成为一个新的原子核。 已知电子的动量为1.2×10-23kgm/s，中 微子的动量为6.4×10-23kgm/s, 它们的运动 方向相互垂直。
求 新原子核的动量 的大小和方向。
pe
α
p
θ
N
p
6
解 原子衰变前后系统动量守恒 pe p pN 0 因为 pe与 p 垂直： 所以： p N p p
px mi vix C1 ， p y mi viy C2 ，
i
i
p z mi viz C3
i
讨论 1. 系统总动量守恒，但每个质点的动量 可能变化。 2. 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间 极短的过程中, 相互作用的内力远大于外力, 故往往可忽略外力，从而认为动量守恒。
A A v B
u
14
解选 A车 M 和 t 时间内抽至 A 车的水 m 为研究系统，由于 抽水的力量是内力，该系统水平方向上动量守恒
Mv mu ( M m) v
Mv mu v M m
m u v v M
mu v v v v M m
2
3. 动量守恒可在某一方向上成立。
若Fx 0, 则 px mi vix C1
若Fy 0, 则 p y mi viy C2
i
i
4. 定律中的速度应是对同一惯性系的速度, 各动量应是同一时刻的动量。 5. 动量守恒定律只适用于惯性系。 6. 动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
A A
v
B
u
v dm u v 6 a lim u v t 0 t dt M M
15
4.3 质点系动量守恒定律
一、动量守恒定律
根据质点系的动量定理： F合外
d p 当 F合 0时， 0 dt 即 p pi mi vi 常矢量
i i
dp dt
一个质点系所受的合外力为零时，这个系 统的总动量将保持不变。
1
在直角坐标系中的分量表示：
3
例1 一长为l=4m,质量为M=150kg的船，静止浮 在湖面上。今有一质量m=50kg的人，从船头走 到船尾, 如图所示。求人和船相对于湖岸各移动 的距离，设水对船的阻力忽略不计。 解： 选人和船组成的系统为研究对象，以湖岸 为参考系，水平方向动量守恒
mv MV 0
上式两边同乘 dt ，并积分
y
S
v
o
z
y
o
S
v
m2 m1
x x
8
z
解
y
S
v
y
S
v
o m2
m1
o z
x x
z
取地面为固定参考系 S(Oxyz) 燃料容器m2为运动参考系 S (Oxyz)
v1 和 v2 设 v 为火箭分离前相对地S 的速度，
为分离后仪器舱 m1 和燃料容器 m2 相对 地S 的速 度， v 为分离后 m1 相对于 m2（ S ）的速度。
2 e
2 1/ 2
6.5110 kgms
23
1
pe ＝arctg p
1.2 1023 arctg 61.9 23 6.4 10
pe
α
pN
θ
p
7
＝ 180 －61.9 118.1
例3一火箭以v = 2.5×103m/s的速率相对地面沿 水平方向飞行时分离成两部分， 前部是质量为 100kg 的仪器舱，后部是质量为200kg的燃料容 器, 若前部相对后部的水平速率为1000m/s。 求:他们相对地面的速度。
m1
v1
v2
m2
x
12
解由动量守恒和机械能守恒
m1v1 m2 v2 0
1 1 m1m2 2 2 m1v1 m2 v2 G 0 2 2 r
解得 v1 m2
2G (m1 m2 )r
m1
v1
v2
m2
x
2G v2 m1 (m1 m2 )r
相对速率
v12
2G (m1 m2 ) v1 v2 r
13
例5如图示,两部运水的卡车A、B在水平面上并排
沿同一方向运动 , B的速度为 u , 从B上以6kg/s的 速率将水抽至 A上。水从管子尾部出口垂直落下 ，车与地面间的滑动摩擦不计，时刻 t 时，A车的 质量为M，速度为v 。 求 t 时刻 , A 的瞬时加速度。
则 v 1000 m / s ,
v2就是牵连速度。
9
由伽利略速度变换：
v1 v v2 v2 1000
火箭分离前后只受重力,水平方向动量守恒。
对同一惯性系 S，有
(m1 m2 )v m1v1 m2 v2
解上两式, 得： v v 2
m1 1000 m1 m2
v
m vdt M Vdt 0
0 0
t
t
4
用 S 和 s 分别表示船和人相对于湖岸移动的距离，显然
S Vdt ， s vdt 0
0
t
t
ms MS
v
即s 3S
由图知船向左走，人往右走。二者相对走的长度为
l:
sS l
4S l 4 m
S 1m ，s 3m
10
m1 v2 v 1000 m1 m2
代入数据有： v
2
27 10 m/s
11
例4 在恒星系中, 两个质量分别为 m 1 和 m2 的星球，原来为静止，且相距为无穷远， 后在引力的作用下，互相接近， 到相距为 r 时， 它们之间的相对速率为多少？