线面垂直的判定PPT课件
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2：2.3.1 线面垂直的判定1(课件)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
又 AN⊂平面 PAM， 所以 BM⊥AN. 又 AN⊥PM， 且 BM∩PM＝M， 所以 AN⊥平面 PBM.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
直线和平面所成的角
(1).斜线PA:PA∩α =A，但不垂直;交点A叫 做斜足;过斜线上斜足以外的一点P向平面作 垂线PO(PO⊥α)，直线AO叫做斜线PA在平面 α上的射影. (2).直线和平面所成的角:斜线和它在平面上 的射影所成的锐角，即∠PAO.
问题1：请同学们观察图片，说出旗杆与地面、 大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些 类似的例子吗？
大漠孤烟直
思考？
1.旗杆AB是否与地面内的影子垂直？ 2.旗杆是否与地面内不过B点的直线 垂直？
问题2:
如何定义一条直线与一个平面垂直？
垂线
l
垂面
垂足
P
线面垂直的定义： 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线 垂直．我们就说直线 l 与平面 垂直。 记为 l
课前探究学习
A
O C
课堂讲练互动
活页限时训练
例2:已知PA 平面ABC，AB是 C是圆周上的一点， （ 1 ）求证:BC 平面PAC
O的直径，
（2）若AE PC于E , AF PB于F , 求证：PB 平面AEF
证明： (1) PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC AB是 O的直径 BC AC PA AC A BC 平面PAC PA 平面PAC AC 平面PAC
V
P
C
B
3、如图，点P是平行四边形ABCD所在平 面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且 PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD。
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
l
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
线面垂直的判定。PPT
高中数学模块2 高中数学模块2第二章
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例， 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？ 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
ι
⊂ α ,a∩b=p, ι ⊥ a, ι⊥b,
b
α
p
注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
判断：
1.如果一条直线 和一个平面内的无数条 无数条直线都垂 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 互相垂直（ ） 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
发现： 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折 之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌 面α垂直，其他位置都不能使AD与桌面α垂直。
A
B
D
C
折图
A A
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
B
D
C
α
B C
D
①折痕AD与桌面α上的一条直线垂直，是否足以保 证AD垂直桌面α? ②由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是一个不 变关系，即有AD⊥CD，AD⊥BD，你能得到什么结 论呢？ ι 定理： 定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。 a 若a ⊂ α ,b 则 ⊥ α.
当堂检测
V
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有 A 直线m,使m与l( B ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.如图，PA ⊥ 面ABC, ΔABC中， ACB =90°， ∠ 4 则图中RtΔ的个数为_____个. 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两 条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它 们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ⊥ AC
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例， 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？ 几个吗？
大桥的桥柱与水面垂直
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.1直线与平面垂直的判定
ι
⊂ α ,a∩b=p, ι ⊥ a, ι⊥b,
b
α
p
注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。
简记为： 简记为：线线垂直
线面垂直
判断：
1.如果一条直线 和一个平面内的无数条 无数条直线都垂 1.如果一条直线 l 和一个平面内的无数条直线都垂 互相垂直（ ） 直，则直线 l 和平面 α互相垂直（
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
发现： 发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折 之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌 面α垂直，其他位置都不能使AD与桌面α垂直。
A
B
D
C
折图
A A
探 究 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理
B
D
C
α
B C
D
①折痕AD与桌面α上的一条直线垂直，是否足以保 证AD垂直桌面α? ②由折痕AD⊥BC，翻折之后这一垂直关系是一个不 变关系，即有AD⊥CD，AD⊥BD，你能得到什么结 论呢？ ι 定理： 定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂直。 a 若a ⊂ α ,b 则 ⊥ α.
当堂检测
V
1.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有 A 直线m,使m与l( B ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 2.如图，PA ⊥ 面ABC, ΔABC中， ACB =90°， ∠ 4 则图中RtΔ的个数为_____个. 3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两 条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它 们与一个平面所成的角一定相等吗？ 4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC, AB=BC,求证 VB ⊥ AC
线面垂直、面面垂直的性质定理ppt课件
我们说直线 l 与平面 互相垂直。
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
直线与平面垂直的判定定理与性质定理ppt课件
24
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平 面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
M
25
11. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC 所在平面外一点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
6
②二面角的平面角
如图，过二面角 α-l-β 的棱 l 上一点 O 在两个半平面内分别 作 BO⊥l，AO⊥l，则__∠__A_O_B__就叫做二面角 α-l-β 的平面角． ③二面角的范围 设二面角的平面角为 θ，则 θ∈_[_0_，__π_]__．
π ④当 θ＝___2_____时，二面角叫做直二面角．
7
2．学会三种垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂 线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．如 有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的 垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
8
1．(2015·高考浙江卷)设 α，β是两个不同的平面，l，m 是
质 个平面的两
定 条直线 理 __平__行____
符号语言
a⊥α b⊥α
⇒a∥
b
3
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
一个平面过另一 判定 个平面的_垂_线__，
定理 则这两个平面互
相垂直
两个平面互相垂
直，则一个平面
性质 定理
内垂直于_交__线___
的直线垂直于另
一个平面
符号语言
16
3.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD， CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
2.3.1.1线面垂直的判定定理 课件
证明： (1) OA、OB、OC两两垂直， OA OB、OA OC
A
0 B
又 OB OC O
(2)由(1)知OA 面OBC，BC 面OBC OA BC
C
例2：已知PA 平面ABC，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点 求证：BC 平面PAC
证明： PA 平面ABC, BC 平面ABC PA BC AB是圆O的直径，
直线 l 的垂面
l
的垂线
P
垂足
2.如果一条直线与一个平面垂直，那么它 与平面内所有的直线都垂直.
l
“线面垂直，则线线垂直”
符号语言：
a
P
l , a l a
判断下列语句是否正确： 1.如果一条直线与平面内一条直线垂直，那么它 与平面垂直. （ ） 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那 么它与平面垂直. （ )
的问题
自学导引：
自学课本64—65 页 思考： (时间5分钟)
1. 直线与平面垂直的定义是什么？如何表示？ 2. 若直线与平面垂直，则该直线与平面内的直线 有何位置关系？ 3. 线面垂直的判定定理.
1.直线与平面垂直的定义： 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都 垂直，则称 直线 l 和平面 互相垂直． 记作： l⊥ 平面α
BC AC
又 PA AC A, PA 平面PAC, AC 平面PAC
BC 平面PAC
当堂训练：
如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB． A
V
K
C
变式：
如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC. 求证：AC⊥VB．
A
0 B
又 OB OC O
(2)由(1)知OA 面OBC，BC 面OBC OA BC
C
例2：已知PA 平面ABC，AB是圆O的直径，C是圆周上的一点 求证：BC 平面PAC
证明： PA 平面ABC, BC 平面ABC PA BC AB是圆O的直径，
直线 l 的垂面
l
的垂线
P
垂足
2.如果一条直线与一个平面垂直，那么它 与平面内所有的直线都垂直.
l
“线面垂直，则线线垂直”
符号语言：
a
P
l , a l a
判断下列语句是否正确： 1.如果一条直线与平面内一条直线垂直，那么它 与平面垂直. （ ） 2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那 么它与平面垂直. （ )
的问题
自学导引：
自学课本64—65 页 思考： (时间5分钟)
1. 直线与平面垂直的定义是什么？如何表示？ 2. 若直线与平面垂直，则该直线与平面内的直线 有何位置关系？ 3. 线面垂直的判定定理.
1.直线与平面垂直的定义： 如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都 垂直，则称 直线 l 和平面 互相垂直． 记作： l⊥ 平面α
BC AC
又 PA AC A, PA 平面PAC, AC 平面PAC
BC 平面PAC
当堂训练：
如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC,K是AC的中点. 求证：AC⊥平面VKB． A
V
K
C
变式：
如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC. 求证：AC⊥VB．
线面垂直判定课件
B1
C1
M
A
B
C •线面垂直判定
例 6 如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB1⊥BC1， 求证：AB1⊥A1C．
A
C
B
A1
C1
B1
•线面垂直判定
定义：如果一条直线 a 与一个平面 α 内的任意一条直线 都垂直，我们就说直线 a 与平面 α 互相垂直，记 作 a⊥α． 直线 a 叫做平面 α 的垂线；平面 α 叫做直线 a 的垂面；垂线和平面的交点叫做垂足．
•线面垂直判定
例3.（如图）在正方体AC1中， 求证：(1)AC⊥平面D1DB
(2)D1B⊥平面ACB1 D1
A1 D
A
•线面垂直判定
C1 B1
C B
练习1.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：（1）AC1⊥BD （2）AC1⊥平面BC1D
C1 D1
B1 A1
C
B
D
A
•线面垂直判定
2. 已知E、F分别是正方形ABCD边
3、证明线面垂直
(1)由线面垂直得到线线垂直；
(2)由线线垂直得到线面垂直；
•线面垂直判定
体现了转化的思想
例1 已知P是△ABC所在平面外的一点， PA、PB、PC两两互相垂直，
１、 H是△ABC的垂心， 求证：(1)PA⊥BC； (2)PH⊥面ABC
２、ＰＨ⊥面ＡＢＣ。
P
求证：Ｈ是△ABC的垂心。
S
A
D
C
B
•线面垂直判定
三. 练习:
1. 如图，若 C ,P D ,P A ,
A为垂足，A⊥CD于O ，则________,理由______
P
D
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
直线与平面垂直课件(共17张PPT)
线与平面垂直吗？
（2）如果一条直线与一个平面内的 无数条直线 都垂直，那么这条
直线与平面垂直吗？
l
任意一条直线
α P. …
线不在多， 所有直线 相交则灵
4.概念辨析，巩固新知
小结：证明线面垂直的方法：线线垂直 线面垂直
1.定义： 任意一条直线
所有直线 无限
2.判定定理： 两条相交直线
有限
线不在多， 相交则灵
3.操作确认，探究定理
当且仅当 折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面垂直.
二、直线与平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该
直线与此平面垂直.
线线垂直 线面垂直
图形语言：
符号语言：
4.概念辨析，巩固新知
思考：
两条相交直线
（1）如果一条直线与一个平面内的 两条直线 垂直，那么这条直
又
m ∩ n=P，
∴ b⊥α .
5.推理论证，定理应用
练习 如图，在三棱锥 S-ABC 中，∠ACB = 90°, SA⊥平面ABC .
求证：BC⊥平面SAC .
S
证明：
线面垂直 线线垂直 A来自B C线线垂直 线面垂直
6.渗透文化，拓展延申
刘徽，是魏晋期间伟大的数学家，中国 古典数学理论的奠基人之一。
4.数学文化 的渗透
7.课堂小结，课后思考
1.如果要检验一根新旗杆与地面是否垂直， 你有什么好方法吗？ 2.我们通过直观感知和操作确认，已经 从直观上得出了线面垂直的判定定理， 你能从理论上用所学的知识解释它吗？
谢谢观看，再见！
8.6.2 直线与平面垂直
1.复习引入，类比研究
直线与平面垂直的判定-PPT课件
作业
P41 习题1-6 A组 第7题
正确的是（ B）
A.(1)(3)(4)
BHale Waihona Puke (1)(4)C.(1)D.都正确
3.有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂有一条长
10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上
的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C、D,如果
这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和
地面垂直，为什么？
A
C
BD
课堂小结
判定定理的 简单应用 线面垂直的 判定定理 线面垂直的 定义
直线与平面的 一条边垂直
l
P
如果一条直线垂直于一个平面内
的无数条直线，那么这条直线是否
与这个平面垂直？
A
不一定
C C
B B
那我们如何判定直线与平面垂直呢？
动手实践
α
设想把书中的一页取掉，那么这种性质改变吗？ 换个角度再想，要想这种性质不变，至少保留 多少页才合适？
直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则
√ 直，则直线与此平面垂直
定理应用
例1、如图所示，在RtAB中C， B，点90Ｐ0 为 所在A平B面C外一点， 平面 P．A 问 四面A体BC 共有几个PA直B角C 三角形？
注意：
直线与平面之间的垂直关系，可以相互转化， 当线垂直面时，线就会垂直平面内的所有线； 当一条直线垂直于一个平面内的相交直线时， 这条直线就垂直于这个平面．
该直线与此平面垂直．
线不在多，
重在相交
l
la
b
Aa
l b a
l
b
a b A
思想： 直线与平面垂直
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4
线面垂直的条件常这样使用
l
l
al
a
a
简记：线面垂直
线线垂直
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5
直线和平面垂直的画法
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时,要把直线画 成和表示平面的平行四边形横边垂直。
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6
怎样判断线面垂直呢？
问题
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线，能 否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线，能 否判断这条直线和这个平面垂直？
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1
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2
p
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3
线面垂直的定义：
P
如 果 直 线 l与 平 面 内 的 任 意 一 条 直 线 都 垂 直 ，
我 们 就 说 直 线 l与 平 面 互 相 垂 直 ， 记 作 l
直 线 l叫 做 平 面 的 垂 线 , 平 面 叫 做 直 线 l的 垂 面 .
直 线 与 平 面 垂 直 时 ,它 们 唯 一 的 公 共 点 P 叫 做 垂 足
19
8
三、巩固练习
1.判断题
（1）如果一条直线垂直于平面内的无数
条直线，那么这条直线和这个平面垂直.×
(（2)）过点A垂直于直线a的所有直线都在
过点A垂直于a的平面内.
(√ )
（3）如果三条共点的直线两两垂直，那
么其中一条直线垂直于另外两条直线所
在的平面. a
(√ )
A
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2.直线PA垂直于△ABC
B
C D
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例2、在正方体AC1中,O为下底面的中心,
(1)求证：AC⊥面D1B1BD D1
C1
(2)求证：AC⊥D1O A1
B1
D
C
O
A
B
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反思： 1、入手指南：碰到证明线线垂直线面垂直的问
题，也可转化为先证明线面垂直； 2、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？ ①勾股定理的逆定理（已知长度） ②等腰三角形的三线合一 ③利用线面垂直的性质 ④正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
线面垂直的定义 线面垂直
线面垂直的判定定理
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小结：
1、入手指南：碰到证明线面垂直的问题，应转 化为证明线线垂直；反之亦然.
2、小心提醒：平面内的这两条直线应该相交；
3、重点总结：证明线线垂直的方法有哪些？
①勾股定理的逆定理（已知长度）
②等腰三角形的三线合一
③利用线面垂直的性质
④利用平行移动不改变夹角大小
P
所在的平面,则PA与BC
的位置关系是_垂__直__.
A
3·如右图，PA平面ABC， p A B C 中 ， B CA B
则图中直角三角形的个
数是（ A ）
A
A4 B3 C2 D 1
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B
C B
C
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例1: 有一根旗杆AB高8 m，它的顶端A 挂 有一条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它的 下端放在地面 上的(和旗杆脚不在同一条直线上) C、D。如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6 m， 那么旗杆就 和地面垂直，为什么？ A
⑤正方体（长方体）中的线线垂直、线面垂直
⑥菱形(正方形）的对角线互相垂直
⑦相似
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作业：1、P66－探究题，请你先写出一个 条件，然后用你的这个条件来证明
A’C⊥B’D’
2、（如图）在正方体AC1中， D1
求证：(1)AC⊥平面D1DB A1
(2)D1B⊥平面ACB1
D
C1 B1
C
A
B
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棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边
形ABCD满足什么条件时， A’C⊥B’D’？
A'
D'
B' C'
A
D B
结论：
C
提示：为了求ABCD满足的条件，不妨把
当 AA结’’四C论C⊥⊥边. B形B’’ADBD’C’看D的成两一条个对2条0角21 件线，互相看垂可直以时求，出什么16
内容结构
线线垂直
3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
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线面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线
都垂直，则该直线与此平面垂直。
l
即：m α
n α m∩n=B l⊥m l⊥n
5个条件ห้องสมุดไป่ตู้
B
m
l ⊥α
nA
简记：线线垂直，则线面垂直
关键：线不在多，相交则行
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a
b
例3.如图所示,
n
已知a//b,a
求证:b
m
证 明 :在 平 面 内 作 两 条 相 交 直 线 m ,n .
？
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3.如图：已知点M是菱形ABCD所在的平面
外的一点，且MA=MC,求证:AC 平面BDM.
M
D
C
O
A
B
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例4.
如图，直四棱柱 A’B’C’D’- ABCD（侧