正弦定理余弦定理知识点
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正弦定理、余弦定理
1. 三角形常用公式：A ＋B ＋C ＝π；S ＝
21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2
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ca sin B ； 2．三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b A a sin ＝ B b sin ＝C c sin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：⎪⎩ ⎪ ⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2； a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． 4．正弦定理应用范围： ①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角． ③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数． 已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角 b a b a a b a B1 B A C A C A B C B2 a=bsin A bsin A (2)A 为锐角或钝角 当a>b 时有一解. 5．余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为 、 6．余弦定理应用范围： （1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7 . 三角形面积公式 课堂互动 知识点1 运用判断三角形形状 例题1在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示．从中找到三角形中的边角关系，判断出三角形的形状. 【答案】解法1：由扩充的正弦定理：代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 ， sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形 解法2:由余弦定理: 2 222 2222bc a c b b a c b c a a -+⋅ =-+⋅ 22 b a = ∴ b a = 即△ABC 为等腰三角形. 巩固练习 1．在∆ABC 中，若2 2 2 2 sin sin 2cos cos b C c B b B C +=，试判断三角形的形状． 2．在ABC ∆中,已知a 2tanB=b 2 tanA,试判断这个三角形的形状. 3．已知ABC ∆中，有 cos 2cos sin cos 2cos sin A C B A B C +=+，判断三角形形状. 知识点2 运用正、余弦定理解三角形 解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题2 在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45︒ 求A 、C 及 c . 【分析】在解斜三角形应用过程中，注意要灵活地选择正弦定和余弦定理，解得其它的边和角 【答案】解法1：由正弦定理得：23 2 45sin 3sin sin =