专题4、圆锥曲线范围、最值问题总结

Δ(b2 a2 )2 4b4 0
所
以

a
2
b2
b
2
0
a2 b2 2b2 a2 3b2
b2 b 2
0
0

b2 a2

1 3

e2

1

b a
2 2
(
2 3
,
1)
e
(
6 ,1) 3
例2.椭圆x2 4
y2
1，过点P(1,0)的直线l与椭圆交于
4
0
B
O
Δ 16(1 4k2 ) 0恒成立
| A C|
4 1 4k2 1 4k2
1 k2 4
1 k2 , 1 4k2
类比|BD| 4
1

1 k2
1

4 k2
4
1 k2 4 k2
S四边形

1 2
4
1 k2 1 4k2
4
1 k2 4 k2

8（1 k2) (1 4k2 )(4 k2 )
(a2 b2m2) y2 ( ) y 常数 0
(1) 4a2b2 (二次项系数 m2 ) 0即a2 b2m2 n2 0 (2)韦达定理：不记
(3)弦长 | AB || y1 y2 | 1 m2
4a2b2 (a2 b2m2 n2 ) a2 b2m2
(3)弦长 | AB | 32(4k 2 7) 1 k 2 4k 2 2
(4)SAOB

1 2
3
32(4k 2 7) 4k 2 2

1 2
|
x1 y2

x2
y1
|
(行列式形式）
x my 4 x my 4 0
例2. x2 4

y2 3
1
专题四、圆锥曲线 中的最值范围问题
一、知识储备
一般形式
1、点的坐标 三角形式
极坐标
y •P
O
x
(1)P(x, y)
点无明显的几何条件
(2)P(r cos, r sin ) P(a r cos,b r sin ) P(a cos,bsin )
在o为圆心的圆上 在(a,b)为圆心的圆上
2
a2
b2
ep b2 (焦点为极点，左减右加 ) 1 e cos a c cos
4、关键方程的处理
（1）纵截式中的常见结论
y kx m kx y m 0

x2 a2

y2 b2
1
（双曲线将减号变加号同理）
(a2k 2 b2)x2 ( )x 常数 0
令1 k2 t (1,) S
8t
4t2 9t 9

8

-
9 (1 )2 t

9
(1 t
)
4
-
9u2
8 9u

4
[156
,4)
当k不存在或k 0时S 4,所以S[156 ,4] 法 2 . 以 O 为 极 点 建 立极 坐 标 系 ， 设 A ( ρ1 ,θ )
1 m2
B(x2,y2)
A(x1,y1) O
(4)SAOB

1 2
|
n
||
y1

y2
|
1 2
|
m
|
4a2b2 (a2 b2m2 n2 ) a2 b2m

1 2
|
x1 y2

x2
y1
|
(行列式形式）
y kx3 kx y 3 0
例1. x2 4

y2 2
(a cos,bsin )
O
B(x2 , y2 )
(1, 1)
(a cos,b sin )
(2 , 2 )
A
B
O
规律：若为如图四边形，则为平行四边形，转化求得。
S四边形 4SAOB
例2.椭圆x2 4
y2
1，过点P(0,2)的直线l与椭圆交于
A,B，AO,BO与椭圆分别交于另一个点C,D,求四边形ABCD
(1) 4a2b2 (二次项系数 m2 ) 0即a2k 2 b2 m2 0 (2)韦达定理：不记
(3)弦长 | AB || x1 x2 |
1 k2
4a2b2 (a2k 2 b2 m2 ) a2k2 b2
B(x2,y2)
1 k2
A(x1,y1) O
x2 4

y2 3
1

x 3x2
my 4 4y2
12

(3

4m2
)
y2

24my

36

0
(1) 4 4 3(4 3m2 16) 0 m2 4即k 2 (0, 1 ) 4
(2)

y1 y1
y2
y2
24m 3 4m 36
(m为纵截距)

1 2
|
n
|

|
y1

y2
|
(n为横截距)
SAOB

1 2
|
x1 y2

x2
y1
|
(行列式面积公式）
1 ab | sin( ) | (,为A, B对应的参数) 2
(椭圆参数方程形式）

1 2
12
|
sin(
2

1 )
|
(椭圆原点极坐标形式)
A(x1, y1)
3 4m2
2
(3)弦长 | AB |
48(3m2 12) 4 3m2
1 m2
(4)SAOB

1 2
4
(4 3m2 12) 4 3m2

1 2
|
x1 y2

x2
y1
|
(行列式形式）
二、几何条件代数转化
解析几何问题分两类：定量和变量问题，所谓变量 问题即范围和最值问题。两类问题都常常要将几何 条件合理转化为代数形式再进行运算。通常的转化 手段有两种：代点法如点差、点积法等，更常用的 是转化到直线和曲线的交点坐标整体应用韦达定理 进行运算，涉及到范围问题要考虑判别式范围。而 将几何条件代数化是学生的难点，下面将常见的转 化手段归类并举例说明。
规律：1、三角形AFB面积用横分割或极坐标较好； 2、若延长AF,BF交椭圆于C,D，四边形的面积则 用极坐标好。
例1.椭圆x2 4
y2
1，过右焦点F作两条互相垂直的
弦AC,BD，求四边形ABCD面积的范围。
解析：极坐标较简单，以F为极点建立极坐标系
P(a,b)为直线上的定点，
• P(a,b) Q(x,y)为直线上的动点。
t
•Q(x, y)
3、曲线方程的选取 （这里主要指椭圆）
(1)一般方程
x2 a2

y2 b2
1(a
b 0)
(2)参数式xy

a b
cos(为参） sin
(3)极坐标式（两种）
1 cos2 sin 2 (原点为极点 )
b2(k3 1) a2(k k2 ) 0 b2(k 1)(k2 k 1) a2k(k 1) 0 显然有一正根为1，当k 1时，需 b2(k2 k 1) a2k 0有两个正根 f(k) b2k2 (b2 a2 )k b2 0有两个正根

内接等腰RtABC有且只有3个，求e范围。
A(0,b)
解析：根据对称性，不妨设kAB k 0
显然k 1时ΔABC适合。
BO
条件转化：等腰|AB||AC|，直角
kAC


1 k
C
直线方程选择：因为A在y轴，选纵截式y kx b。
由yb2x2kx
b a2y
2

a2b2
(b2

1 k2

2a2b k2b2
1 k2 a2
|AB||AC|
2a2b|k| 1 b2 a2k2
k2

2a2b k2b2
1 k2 a2

b2
k a2k2

1 k2b2 a2
k3b2
ka2
b2
a2k2
k3b2 a2k2 ka2 b2 0有三个不等正根
类型一、弦长
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
B(x2,y2)
| x1 x2 | 1 k 2
A(x1,y1) O
| y1 y2 |
1 m2 (m 1) k
| t1 t2 | (直线参数方程形式）
例
1
.
椭
圆x a
2 2
y2 b2
1(a b 0),A(0,b)，若以A为顶点的
x1

x2

16k 1 4k2
x1x2

12 1 4k2
S四边形

4

1 2
2|x1
-
x2
|
4
4
1
4k2 4k2
3
,k 2
(
3 4
,)
令 4k2 3 t (0,)
S

16t t2 4

16
t

4 t
4(当且仅当t 2,k
在椭圆上
(3)P(, )
在极坐标系内
纵截式
2、直线方程的选取横截式
参 数 方 程(n,0)
yl
(0,m)
Ox
(1) y kx m 不包括竖直，过定点(0,m)
(2)x my n 不包括水平，过定点(n,0)
x (3) y

a b

t t
scions(t为参）t表为示倾有斜向角线，段PQ的数量。
面积的最大值。
解析：S四边形 4SΔA O B，
设l:y kx 2(显然k不存在时不适合） A
A(x1,y1),B(x2 ,y2 ) y kx 2
B
O
由 x 2 4
y2
（ 1 1
4k2 )x2
16kx12

0
Δ 16(1
4k2

4)
0

k2

3 4
答案：1或- 1 (思路：直线设一般方程或参数方程) 9
类型二、三角形AOB面积
A(x1, y1)
(a cos,bsin )
O
B(x2 , y2 )
(1, 1)
SAOB

1 2
|
AB
|
d
(a cos,b sin ) (2 , 2 )

1 2
|
m
|

|
x1

x2
|

a2k2 )x2
2a2kbx

0
显然Δ 0
|AB|
b2
Δ a2k2
1 k2
A(0,b)

4a2b2(b2 a2k2 b2 ) b2 a2k2
1 k2
BO C

2a2b|k| 1 b2 a2k2
k2
类比k


1 k
则|AC|
2a2b| b2
1| 1 k
a2 k2
B
(
ρ2
,θπ2 )
,ρ2co 4
s2θρ2s
i
n2θ
1wk.baidu.com
ρ12
S四边形
1 co44s2θ12ρ1ρ si2
n2θ
1

2ρ1ρ2
3
4 s
i
n2θ,ρ2
2

4 1 3cos2θ
S2

4
( 1

4 3s
i
) n2θ
( 1

4 3c
o
) s2θ

所以S[156 ,4]
64
9 4
4 1 2sin2α 1 3sin2α
令
1 2sin2α u [1,
3]
sin2α
u2 1 2
|
A
B|
1

4u 3 u2
2
1

8u
8
3u2
1

3u

1 u
,u [1,
3]
A
O
•
P(1,0)
B
|AB|[ 3,4]
练习.过点P(-1,-2)的直线l与抛物线y2 x交于A,B 两点，且|PA|,|AB|,|PB|依次成等比数列，求l斜率k。
1
x2 4

y2 2
1

y kx3 x2 2 y2
4

(1
2k
2
)x2
12kx
14

0
(1) 4 4 2(2 4k 2 9) 0 k 2 7 4
(2)x1 x1
x2
x2
12k 1 2k 2 14
1 2k 2
A,B，求|AB|的范围。
解析：l过定点，考虑到直线参数方程较简单
设l:
x y

1

tcosα (t为参),代入椭圆方程整理
tsinα
（1 tcosα）2 4（tsinα）2 4 （1 3sin2α)t2 2cosαt 3 0
|AB||t1

t2 |
1

Δ 3sin2α
s
i
n2
2
θ
4
[
256 25
,16]
类型三、三角形AFB面积的几种表示
A(x1, y1)
SAOB

1 2
|
AB
|
d
O
B(x2, y2 ) (2, 2 )

F
(1
,
1
)

1 2
|
c

n
|

|
y1

y2
|
(n为横截距)

1 2
12
|
sin(
2

1 )
|
(椭圆焦点极坐标形式)
(4)SAOB

1 2
|
m
||
x1

x2
|
1 2
|
m
|
4a2b2 (a2k 2 b2 m2 ) a2k2 b2

1 2
|
x1 y2

x2
y1
|
(行列式形式）
（2）横截式中的常见结论
x my n x my n 0

x2 a2

y2 b2
1
（双曲线将减号变加号同理）
7 取等） 2
所以Smax 4
练习1.椭圆x2 4
y2
1，过原点O作两条互相垂直的弦
AC,BD，求四边形ABCD面积的范围。
解析：法1.设AC:y kx(k存在且k 0时）
A
(x1
,y1
),C(x2
,y
2
),则BD:y

-
1 k
x
A
y kx
由 x 2 4
y2
（1 4k2 )x2 1