5-6 理想气体的等值过程和绝热过程
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复习
理想气体的内能
E m i RT M2
E E(T)
气体系统在状态变化过程中所做的功
W V2 pdV V1
热力学第一定律
Q (E2 E1) W
V2
Q E2 E1 pdV
V1
dQ dE dW dQ dE pdV
理想气体的热功转换
1. 等体过程（isochoric process）
p1V1
5.6 102
J
（3）对整个过程运用热力学第一定律
Q E W
得
W Q 5.6102 J
1. 等体过程（isochoric process）
dW pdV 0
dE
dQV
m M
CV ,mdT
等体摩尔热容量
CV ,m
dQV ,m
dT
dE dT
d dT
CV ,m
i
3. 等温过程（Isotherm process）
QT
WT
m M
RT
ln V2 V1
m M
RT
ln
p1 p2
4. 绝热过程（Adiabatic process）
dW
pdV
dE
m M
CV ,mdT
泊松方程:
PV C TV 1 C P 1T C
m M
V2 dV RT
V1 V
m M
RT ln V2 V1
能量转换关系
QT
WT
m M
RT
ln V2 V1
m M
RT
ln
p1 p2
例题：3.2 10 3 kg 氧气的压强
p1 1.013 105 Pa，温度 T 300K，先等体增压到
p
p2
p2 ,V1
2
p2 3.039 105 Pa；再等温
性质:
dV 0 V 常数
pS
l
l 不变
热功转换:
dW pdV 0
p
p2
Ⅱ T2
p1
Ⅰ T1
O
VV
1
(dQ)V dE
等体摩尔热容量（molar heat capacity at constant volume）
CV ,m
(dQ)V ,m dT
dE V ,m dT
理想气体:
CV ,m
dEV ,m
dT
d dT
i 2
RT
i 2
R
理想气体的内能增量:
dE
dQV
m M
CV ,mdT
2. 等压过程（Isobaric process）
性质:
dp 0 P 常数
p
V1 V2
p 恒量
S
F 恒量
p1 TⅠ1
TⅡ2
l
O V1
V2 V
全过程的总吸收热量 Q Q12 Q23 Q34
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
1247 822 1309 760J
由于内能的变化仅与初态1和末态4的内能有关，
于是
E
E4
E1
m M
CV ,m T4
T1
3.2 103 32 103
p2V2
例 一定量的理想气体从体积 VA 膨胀到体积 VB
分别经过如下的过程，其中吸热最多的过程是什么过 程？（A-B等压过程；A-C 等温过程；A-D 绝热过程）
p
A
pC B
解 QAB EAB WAB
QAC WAC
TБайду номын сангаасC
C
dQ 0
D
o VA
VB V
QAD 0
WAB WAC WAD
i 2
RT
iR 2
2. 等压过程（Isobaric process）
Qp E2 E1 pV2 V1
Qp
m M
i 2
RT2
T1
m M
RT2
T1
等压摩尔热容量
C p,m
dQp,m
dT
CV ,m
R
i 2
RR
比热容比
Cp,m 2 i
膨胀，使压强降至
p3 1.013 105 Pa；然后等压
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
压缩至 V4 0.5V3，如图，求全过程的内能变化、
系统所做的功和吸收的热量。
解：由理想气体状态方程可得
m 1 3.2103
1
V1 M RT1 p1 32103 8.31 300 1.023105
EAB 0, EAD 0
QAB QAC QAD 0
例：讨论理想气体下图过程中，各过程 Q 的正负。
P A*
2 绝热
A— B QAB 0
1 *B
O
V
WAB EAB 0
A— 1— B QA1B EAB WA1B WA1B WAB
WA1B WAB QA1B 0
2
V4 0.5V3，所以
T4
V4T3 V3
0.5 900
450K
W34 p3 V4 V3 p3 0.5V3
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
1.013105 0.5 7.38103 374J
热功转换:
dE 0
dQT dW pdV
由理想气体的状态方程，可得
恒
V1 V2
温 热
Sp S F
源
T
l
p
p1
Ⅰ
T
p2
TⅡ
p1V1 p2V2
O V1
V2 V
气体所做的功
V2
V2 dV V2 m dV
WT
pdV pV
V1
V1
V
RT
V1 M
V
等温过程
WT
Q34
m M
C p,m
T4
T3
3.2 103 32 103
7 2
8.31
450
900
1309J
全过程做的总功为
p p2,V1
W W12 W23 W34
p2
2
0 822 374 448J
p1,V1
p1,V3
m M
CV ,m
T2
T1
3.2 103 32 103
5 2
8.31
900
300
1247J
2 2 3为等温过程,由于T2 T3，
故E3 E2 0。由理想气体状态
p
p2
p2 ,V1
2
方程得
V3
p2 p1
V2
3 2.46103
7.38103 m3
T4
0 12
V/L
（2）整个过程由压强、等体和绝热过程组成，绝热过程吸热
为零。所以 Q Qp QV Cp,m T2 T1 CV ,m T3 T2
5 2
RT2
T1
23RT3
T2
根据理想气体的物态方程 pV RT 带入上式，得
Q
11 2
热功转换:
V2
W pdV pV2 V1
V1
Qp E2 E1 pV2 V1
根据理想气体的内能公式和理想气体物态方程，可得
Qp
m M
i 2
RT2
T1
m M
RT2
T1
等压摩尔热容量（molar heat capacity at constant pressure）
（1）试求在整个过程中气体内能的增量； （2）试求在整个过程中气体所吸收的热量； （3）试求在整个过程中气体所作的功。
解 根据题意作出p-V图
（1）因为初状态温度与终态温
度相等，即
T4 T1
而理想气体的内能是温度的单
质函数，所以
E 0
p / 1.013 105 Pa
2
T3
T2
1
T1
5 2
8.31
450
300
312J
绝热的汽缸壁和活塞
4. 绝热过程（Adiabatic process）
性质:
dQ 0
绝热材料包围的系统内发生的过程；
过程进行得很快，系统来不及和外界交换热量.
热功转换:
p
dW pdV dE m i RdT M2
W
m M
2.46103 m3
1
p
1 2为等体过程 V1 V2， p2
p2 ,V1
2
由理想气体状态方程得
T2
p2 p1
T1
3T1
900K
所以
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
Q12
E2
E1
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
所以
Q23
W23
m M
RT2 ln
V3 V2
3.2 10-3 32 10-3
8.31 900 ln
3V2 V2
822J
3 3 4为等压过程,
p p2,V1
p3 p4 1.013105 Pa，由题意知 p2
Cp,m
dQ p,m dT
迈耶公式（Mayer formula）
C p,m
CV ,m
R
i 2
R
R
(J.Mayer)
定义比热容比（Ratio of specific heat）
Cp,m 2 i
CV ,m
i
3. 等温过程（Isotherm process）
性质:
dT 0 T 常数
CV ,m T2
T1
O
1 p1,V1,T1
p2,V2 ,T2
2
V
讨论
绝热过程满足泊松方程:
PV C C 常数
绝热线比等温线梯度大 由理想气体状态方程，可以得到
TV 1 C
P 1T C
绝热过程系统做功的另一种表述
W
1
1
p1V1
A— 2— B QA2B EAB WA2B WA2B WAB
WA2B WAB QA2B 0
例 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的气缸中,此气缸有 可活动的活塞.已知气体的初压强p1=1atm，体积V1=1L，现将该 气体在等压下加热到体积变为原来的2倍，然后在等体积下加热 直到压强变为原来的2倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初 温为止。
理想气体的内能
E m i RT M2
E E(T)
气体系统在状态变化过程中所做的功
W V2 pdV V1
热力学第一定律
Q (E2 E1) W
V2
Q E2 E1 pdV
V1
dQ dE dW dQ dE pdV
理想气体的热功转换
1. 等体过程（isochoric process）
p1V1
5.6 102
J
（3）对整个过程运用热力学第一定律
Q E W
得
W Q 5.6102 J
1. 等体过程（isochoric process）
dW pdV 0
dE
dQV
m M
CV ,mdT
等体摩尔热容量
CV ,m
dQV ,m
dT
dE dT
d dT
CV ,m
i
3. 等温过程（Isotherm process）
QT
WT
m M
RT
ln V2 V1
m M
RT
ln
p1 p2
4. 绝热过程（Adiabatic process）
dW
pdV
dE
m M
CV ,mdT
泊松方程:
PV C TV 1 C P 1T C
m M
V2 dV RT
V1 V
m M
RT ln V2 V1
能量转换关系
QT
WT
m M
RT
ln V2 V1
m M
RT
ln
p1 p2
例题：3.2 10 3 kg 氧气的压强
p1 1.013 105 Pa，温度 T 300K，先等体增压到
p
p2
p2 ,V1
2
p2 3.039 105 Pa；再等温
性质:
dV 0 V 常数
pS
l
l 不变
热功转换:
dW pdV 0
p
p2
Ⅱ T2
p1
Ⅰ T1
O
VV
1
(dQ)V dE
等体摩尔热容量（molar heat capacity at constant volume）
CV ,m
(dQ)V ,m dT
dE V ,m dT
理想气体:
CV ,m
dEV ,m
dT
d dT
i 2
RT
i 2
R
理想气体的内能增量:
dE
dQV
m M
CV ,mdT
2. 等压过程（Isobaric process）
性质:
dp 0 P 常数
p
V1 V2
p 恒量
S
F 恒量
p1 TⅠ1
TⅡ2
l
O V1
V2 V
全过程的总吸收热量 Q Q12 Q23 Q34
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
1247 822 1309 760J
由于内能的变化仅与初态1和末态4的内能有关，
于是
E
E4
E1
m M
CV ,m T4
T1
3.2 103 32 103
p2V2
例 一定量的理想气体从体积 VA 膨胀到体积 VB
分别经过如下的过程，其中吸热最多的过程是什么过 程？（A-B等压过程；A-C 等温过程；A-D 绝热过程）
p
A
pC B
解 QAB EAB WAB
QAC WAC
TБайду номын сангаасC
C
dQ 0
D
o VA
VB V
QAD 0
WAB WAC WAD
i 2
RT
iR 2
2. 等压过程（Isobaric process）
Qp E2 E1 pV2 V1
Qp
m M
i 2
RT2
T1
m M
RT2
T1
等压摩尔热容量
C p,m
dQp,m
dT
CV ,m
R
i 2
RR
比热容比
Cp,m 2 i
膨胀，使压强降至
p3 1.013 105 Pa；然后等压
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
压缩至 V4 0.5V3，如图，求全过程的内能变化、
系统所做的功和吸收的热量。
解：由理想气体状态方程可得
m 1 3.2103
1
V1 M RT1 p1 32103 8.31 300 1.023105
EAB 0, EAD 0
QAB QAC QAD 0
例：讨论理想气体下图过程中，各过程 Q 的正负。
P A*
2 绝热
A— B QAB 0
1 *B
O
V
WAB EAB 0
A— 1— B QA1B EAB WA1B WA1B WAB
WA1B WAB QA1B 0
2
V4 0.5V3，所以
T4
V4T3 V3
0.5 900
450K
W34 p3 V4 V3 p3 0.5V3
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
1.013105 0.5 7.38103 374J
热功转换:
dE 0
dQT dW pdV
由理想气体的状态方程，可得
恒
V1 V2
温 热
Sp S F
源
T
l
p
p1
Ⅰ
T
p2
TⅡ
p1V1 p2V2
O V1
V2 V
气体所做的功
V2
V2 dV V2 m dV
WT
pdV pV
V1
V1
V
RT
V1 M
V
等温过程
WT
Q34
m M
C p,m
T4
T3
3.2 103 32 103
7 2
8.31
450
900
1309J
全过程做的总功为
p p2,V1
W W12 W23 W34
p2
2
0 822 374 448J
p1,V1
p1,V3
m M
CV ,m
T2
T1
3.2 103 32 103
5 2
8.31
900
300
1247J
2 2 3为等温过程,由于T2 T3，
故E3 E2 0。由理想气体状态
p
p2
p2 ,V1
2
方程得
V3
p2 p1
V2
3 2.46103
7.38103 m3
T4
0 12
V/L
（2）整个过程由压强、等体和绝热过程组成，绝热过程吸热
为零。所以 Q Qp QV Cp,m T2 T1 CV ,m T3 T2
5 2
RT2
T1
23RT3
T2
根据理想气体的物态方程 pV RT 带入上式，得
Q
11 2
热功转换:
V2
W pdV pV2 V1
V1
Qp E2 E1 pV2 V1
根据理想气体的内能公式和理想气体物态方程，可得
Qp
m M
i 2
RT2
T1
m M
RT2
T1
等压摩尔热容量（molar heat capacity at constant pressure）
（1）试求在整个过程中气体内能的增量； （2）试求在整个过程中气体所吸收的热量； （3）试求在整个过程中气体所作的功。
解 根据题意作出p-V图
（1）因为初状态温度与终态温
度相等，即
T4 T1
而理想气体的内能是温度的单
质函数，所以
E 0
p / 1.013 105 Pa
2
T3
T2
1
T1
5 2
8.31
450
300
312J
绝热的汽缸壁和活塞
4. 绝热过程（Adiabatic process）
性质:
dQ 0
绝热材料包围的系统内发生的过程；
过程进行得很快，系统来不及和外界交换热量.
热功转换:
p
dW pdV dE m i RdT M2
W
m M
2.46103 m3
1
p
1 2为等体过程 V1 V2， p2
p2 ,V1
2
由理想气体状态方程得
T2
p2 p1
T1
3T1
900K
所以
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
Q12
E2
E1
p1,V1
p1,V3
p1 1
O
4 p1,V4
3
V
V1 V4
V3
所以
Q23
W23
m M
RT2 ln
V3 V2
3.2 10-3 32 10-3
8.31 900 ln
3V2 V2
822J
3 3 4为等压过程,
p p2,V1
p3 p4 1.013105 Pa，由题意知 p2
Cp,m
dQ p,m dT
迈耶公式（Mayer formula）
C p,m
CV ,m
R
i 2
R
R
(J.Mayer)
定义比热容比（Ratio of specific heat）
Cp,m 2 i
CV ,m
i
3. 等温过程（Isotherm process）
性质:
dT 0 T 常数
CV ,m T2
T1
O
1 p1,V1,T1
p2,V2 ,T2
2
V
讨论
绝热过程满足泊松方程:
PV C C 常数
绝热线比等温线梯度大 由理想气体状态方程，可以得到
TV 1 C
P 1T C
绝热过程系统做功的另一种表述
W
1
1
p1V1
A— 2— B QA2B EAB WA2B WA2B WAB
WA2B WAB QA2B 0
例 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的气缸中,此气缸有 可活动的活塞.已知气体的初压强p1=1atm，体积V1=1L，现将该 气体在等压下加热到体积变为原来的2倍，然后在等体积下加热 直到压强变为原来的2倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初 温为止。