函数最值求法

函数最值求法

1.判别式法

若函数

()y f x =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程: 2()()a y x b y x + ()0c y +=。

在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,则有2()4()()0b y a y c y ∆=-≥,由此可以求出y 所在的范围,确

定函数的最值。

例1.1 已知332p q +=,其中,p q 是实数,则p q +的最大值为______。

解:设s

p q =+,由332p q +=得, 22()()2p q p q pq ++-=

2

()[()3]2p q p q pq ++-=

3

()

3()2p q pq p q +-+=

212()3pq s s ∴=- ∴,p q 是方程2212

()03x sx s s -+-=的两个实根.

2242

()03s s s

∴∆=--≥

整理化简, 得3

8s

≤,故2s ≤. 即p q +的最大值为2

例1.2 实数,x y 满足2

24545x

xy y -+=,设22s x y =+,则

max

min

11s s +

的值为_______。

解:由题意知, 415xy

s =

-,故224

()(1)5

xy s =- 又22x y s += ∴22,x y 是方程22

4(1)05

t st s -+-=的两个实根.

22243932

4(1)405255

s s s s ∴∆=--=-+-≥

解得

1010

133s ≤≤，即min max 101013,3s s == max

min

118

5

s s ∴

+= 2.函数的单调性法

当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。

例2.1

求函数

()f x =

解：先求定义域，由22

80

14480

x x x x ⎧-≥⎨--≥⎩ 得 68x ≤≤

又

()f x =

=

，[]6,8x ∈

故当[]6,8x ∈，且x

+

减小.于是

()f x 是随着x 的增大而减小，

即

()f x 在区间[]6,8上是减函数，所以

min ()(8)0f x f ==

, max ()(6)f x f ==例2.2 求函数

2125x y x x -=

-+，3

22

x ≤≤的最大值和最小值。

解：

1x ≠ ∴()21141411

x y x x x -==-+-+

- ， 3,22x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦ 令

4()f t t t =+

，1,12t ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

.当12112t t ≤<≤时，有

21212144()()()(

)f t f t t t t t -=-+-2112

4

()(1)t t t t =--0< 4()f t t t ∴=+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上是减函数，因此 min ()(1)5f t f == ，max 117

()()22f t f == min 217y ∴=

， max 1

5

y = 3.均值不等式法

均值不等式:设12,,...,n a a a 是n 个正数,

则有12 (2)

n a a a +++≥,其中等号成立的条

件是1

2...n a a a ===。

运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。 例3.1 设n 为自然数, ,a b 为实数,且满足2a b +=,则

11

11n n

a b +

++的最小值是______。

解:

,a b >0.由均值不等式得, 2

(

)12

a b ab +≤= 1n n a b ∴≤

故

111111111(1)(1)1n n n n

n n n n n n n n

b a b a a b a b b a b a +++++++==≥+++++++ 当且仅当1a

b ==时,上式取等号.故

11

11n n

a b +

++的最小值是1

例 3.2 设1lg lg[()1]a

z x yz -=++，1lg lg(1)b x xyz -=++，lg c y =1lg[()1]xyz -++,

记,,a b c 中最大数为M,则M 的最小值为______。

解: 由已知条件得 111lg(),lg(),lg[()]a xy z b yz x c xz y ---=+=+=+

设1

11,,()xy

z yz x xz y ---+++中的最小数为A ,则M= lg A

由已知条件知, ,,x y z R +

∈,于是 211()[()]A xy z xz y --≥++11[()]()yz yz x x --=+++224≥+=

所以,

2A ≥,且当1x y z ===时, 2A =,故A 的最小值为2,从而M 的最小值为lg 2

注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。

例3.3 设0θπ

<<,则sin

(1cos )22

θ

θ

+的最大值是_______。 解: 由0θπ

<<,有sin

02

θ

>

又

2sin (1cos )2sin cos 2222

θθθθ

+=

=

≤9

=

其中当2

2

2sin

cos 2

2

θ

θ

=时,上式等号成立,即2arc θ

=,

故sin (1cos )2

θ

θ+的最大

4.换元法

用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。换元法通常有三角代换和代数代换两种。