初中数学开放题

合集下载

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学中的开放探究题是一类涉及多种解决方法和思路的问题，其答案不唯一，求解过程和思维过程比结果更重要。

开放探究题能够激发学生的思维活动，培养学生的创新能力和解决问题的能力。

下面将介绍一些常见的开放探究题的类型以及解题策略。

一、数列问题：数列问题是初中数学中的重要内容，也是开放探究题的常见类型。

在解决数列问题时，可以采用递归关系与通项公式相结合的方法。

解题策略：1.观察法：观察数列的前几项，寻找规律。

2.分情况讨论法：根据题目的条件，分析数列的性质，将问题分解为几个简单情况进行讨论。

3.递推法：根据数列的递归关系，根据已知的条件，求解下一个数。

4.通项公式法：通过观察数列的性质，找出数列的通项公式。

解题策略：1.画图法：根据题目要求，画出图形，并观察图形的性质，寻找规律。

2.分割法：将图形分割成一些简单的图形，进一步分析每个简单图形的性质，然后综合求解整个问题。

3.等分法：通过分析图形的对称性，将图形分成若干相等的部分，然后计算出每个部分的面积或长度，最后求和得到最终的结果。

4.面积法：通过计算图形的面积，求解某一部分的面积或整个图形的面积。

解题策略：1.列方程法：根据问题所描述的关系，列出相应的方程，然后求解方程得到答案。

2.代入法：将已知的一个或几个条件代入方程中，求解未知数。

3.化简法：对方程进行化简，将复杂的方程化简为简单的方程，然后求解方程得到答案。

4.分类讨论法：根据题目的不同条件，将问题分为几个不同的情况，分别列方程求解。

解题策略：1.相似性：通过观察图形的相似性质，建立相似三角形的比例关系或使用等比例分割线，通过比例关系求解问题。

2.角度关系：通过观察图形的角度关系，利用角度和的等于180度等性质，建立方程求解问题。

3.比例关系：通过观察图形的比例关系，利用等比例分割线，建立比例关系等方程求解问题。

4.三角形的性质：利用三角形的面积公式、三边关系、角平分线等性质，建立方程求解问题。

初中数学开放型试题含答案-

开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。

观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。

例1．（2005年梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC上的点。

（1）如果，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。

分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。

解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。

练习一1. (2005年黑龙江课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（2005年金华）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：A D E FO F EDCBA（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。

问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。

例2、（2005年长沙）己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且AE BF =，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=；⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ；对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明．分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。

初中数学开放试题及答案

初中数学开放试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 3.14159B. √2C. 0.33333D. 2答案：B2. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽是4厘米，那么长方形的周长是多少厘米？A. 24B. 20C. 16D. 12答案：A3. 一个数的平方是36，这个数是多少？A. 6B. -6C. 6或-6D. 36答案：C4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 0答案：C5. 一个数的相反数是-3，这个数是？A. 3B. -3C. 0D. 6答案：A6. 计算下列算式的结果：(2x - 3) + (5x + 4) = ?A. 7x + 1B. 7x - 1C. 7x + 4D. 7x - 4答案：A7. 一个数的立方是-27，这个数是？A. 3B. -3C. 3或-3D. 0答案：B8. 一个数的倒数是2，这个数是？A. 1/2B. 2C. -1/2D. -2答案：A9. 计算下列算式的值：(3x^2 - 2x + 1) - (2x^2 - 5x + 3) = ?A. x^2 + 3x - 2B. x^2 - 3x - 2C. x^2 + 3x + 2D. x^2 - 3x + 2答案：A10. 一个数的平方根是4，这个数是？A. 16B. -16C. 16或-16D. 4答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。

答案：60°12. 一个数的平方是16，这个数是______。

答案：±413. 一个数的绝对值是3，这个数是______。

答案：±314. 一个数的立方是-8，这个数是______。

答案：-215. 一个数的倒数是1/3，这个数是______。

答案：3三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求这个直角三角形的斜边长。

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题是指那些没有固定答案，需要学生通过自主探究和思考来解决的问题。

这类问题可以培养学生的探究精神、创造力和解决问题的能力，激发学生的兴趣和动力。

下面将介绍一些常见的初中数学开放探究题的类型及解题策略。

一、模型问题模型问题是指通过构建模型来解决数学问题的问题。

学生可以通过观察、思考和实践构建各种模型，从而深入理解问题的本质和解题方法。

通过操作积木或拼图构建几何模型，通过图表和函数关系构建数学模型等。

解题策略：1.仔细观察题目，理解问题要求。

2.选择合适的模型，并进行构建。

3.通过观察模型的性质和特点来解决问题。

4.进行验证和推理，得到结论。

二、思维拓展问题思维拓展问题是指需要学生进行推理、归纳和创新思维的问题。

这类问题不仅考察学生对基础知识的掌握程度，还培养学生的思维能力和创新意识。

通过给定条件猜测规律，通过归纳总结求解问题等。

三、探究和发现问题探究和发现问题是指通过探究和实践来解决问题的问题。

这类问题需要学生主动参与、积极探究，从而培养学生的观察力、实践动手能力和问题解决能力。

思维导图问题是指通过构建思维导图来解决问题的问题。

学生可以通过有机地组织和连接知识点，梳理问题的思路和思维脉络，从而达到理清思路、整合知识的目的。

解题策略：1.仔细阅读题目，理解问题要求。

2.确定思维导图的主题和关键词。

3.按照逻辑关系建立思维导图，连接各种知识点。

4.分析和解决问题，整理得出结论。

中考数学专题复习——开放研究问题(经典题型)

中考数学专题复习——开放研究问题（经典题型）【专题点拨】开放研究型问题是相对于条件和结论明确的封闭试题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然的往深处想的一种试题类型，简单来说就是答案不唯一的，解题的方向不确定，条件或者结论不止一种情况的试题，解答此类试题时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法。

根据开放性的试题的特点，主要有如下几种类型：条件开放性、结论开放性、选择开放型、综合开放型。

【典例赏析】【例题1】（2017黑龙江鹤岗）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD 边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG ：S△HBG=tan∠DAG ⑤线段DH的最小值是2﹣2．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形．【分析】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关关系一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG ：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG ：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=×4=2，由勾股定理得，OD==2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【例题2】如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x 的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．（1）求线段OA，OC的长；（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；（3）直接写出点D的坐标；（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，根据相似三角形的性质得到CM=，DM=，于是得到结论．（4）过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，根据菱形的性质得到P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ，设P 1H=k ，HE=2k ，根据勾股定理得到P 1E=k=5，于是得到P 1（﹣，2+3），同理P 3（，3﹣2），当A 与F 重合时，得到P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，得到EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）解方程x 2﹣12x+32=0得，x 1=8，x 2=4，∵OA ＞OC ， ∴OA=8，OC=4；（2）∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处， ∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°， ∴AD=OC ，∠ADE=∠COE ，在△ADE 与△COE 中，，∴△ADE ≌△COE ；∵CE 2=OE 2+OC 2，即（8﹣OE ）2=OE 2+42， ∴OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ，则OE ∥DM ， ∴△OCE ∽△MCD ， ∴， ∴CM=，DM=，∴OM=， ∴D （﹣，）；（4）存在；∵OE=3，OC=4， ∴CE=5，过P 1作P 1H ⊥AO 于H ， ∵四边形P 1ECF 1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，∴∠P1EH=∠OAC，∴==，∴设P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，∴x=，∴3﹣2x=，∴P4（，），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．【例题3】（14分）（2017•温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．【考点】MR：圆的综合题．【专题】16 ：压轴题．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S△ACG =CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=75°=∠MDE，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM，∴GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，∴CG=MH=﹣1，∴S△ACG=CG×CH=，∵S△DEG=，∴S△ACG ：S△DEG=．【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．【能力检测】1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【考点】LF：正方形的判定；LB：矩形的性质．【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．2.如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等证明：△ABD∽△DCE；（2）如图1，作高AF，根据直角三角形30°的性质求AF的长，根据勾股定理求BF的长，则可得BC的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；（3）分三种情况进行讨论：①当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x；②当AE=ED时，如图3，则ED=EC，即y=（2﹣y）；③当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∴∠ABD=∠ACB=30°，∴∠ABD=∠ADE=30°，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB，∴∠EDC=∠DAB，∴△ABD∽△DCE；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A作AF⊥BC于F，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=AB=1，∴BF=，∴BC=2BF=2，则DC=2﹣x，EC=2﹣y，∵△ABD∽△DCE，∴，∴，化简得：y=x+2（0＜x＜2）；（3）当AD=DE时，如图2，由（1）可知：此时△ABD∽△DCE，则AB=CD，即2=2﹣x，x=2﹣2，代入y=x+2，解得：y=4﹣2，即AE=4﹣2，当AE=ED时，如图3，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=EC，即y=（2﹣y），解得：y=，即AE=，当AD=AE时，∠AED=∠EDA=30°，∠EAD=120°，此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在，∴当△ADE是等腰三角形时，AE=4﹣2或．【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形30°角的性质，本题的几个问题全部围绕△ABD∽△DCE，解决问题；难度适中．3.（2017齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA 的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个根，且OA＞OC．（1）求线段OA，OC的长；（2）求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；（3）直接写出点D 的坐标；（4）若F 是直线AC 上一个动点，在坐标平面内是否存在点P ，使以点E ，C ，P ，F 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】LO ：四边形综合题．【分析】（1）解方程即可得到结论；（2）由四边形ABCO 是矩形，得到AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，根据折叠的性质得到AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，根据全等三角形的判定得到△ADE ≌△COE ；根据勾股定理得到OE=3；（3）过D 作DM ⊥x 轴于M ，则OE ∥DM ，根据相似三角形的性质得到CM=，DM=，于是得到结论．（4）过P 1作P 1H ⊥AO 于H ，根据菱形的性质得到P 1E=CE=5，P 1E ∥AC ，设P 1H=k ，HE=2k ，根据勾股定理得到P 1E=k=5，于是得到P 1（﹣，2+3），同理P 3（，3﹣2），当A 与F 重合时，得到P 2（4，5）；当CE 是菱形EP 4CF 4的对角线时，四边形EP 4CF 4是菱形，得到EP 4=5，EP 4∥AC ，如图2，过P 4作P 4G ⊥x 轴于G ，过P 4作P 4N ⊥OE 于N ，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）解方程x 2﹣12x+32=0得，x 1=8，x 2=4，∵OA ＞OC ， ∴OA=8，OC=4；（2）∵四边形ABCO 是矩形， ∴AB=OC ，∠ABC=∠AOC=90°，∵把矩形OABC 沿对角线AC 所在直线折叠，点B 落在点D 处， ∴AD=AB ，∠ADE=∠ABC=90°，∴AD=OC，∠ADE=∠COE，在△ADE与△COE中，，∴△ADE≌△COE；∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42，∴OE=3；（3）过D作DM⊥x轴于M，则OE∥DM，∴△OCE∽△MCD，∴，∴CM=，DM=，∴OM=，∴D（﹣，）；（4）存在；∵OE=3，OC=4，∴CE=5，过P1作P1H⊥AO于H，∵四边形P1ECF1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，∴∠P1EH=∠OAC，∴==，∴设P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），当A与F重合时，四边形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；当CE是菱形EP4CF4的对角线时，四边形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，如图2，过P4作P4G⊥x轴于G，过P4作P4N⊥OE于N，则P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，设P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，∴x=，∴3﹣2x=，∴P4（，），综上所述：存在以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．4.（2017内蒙古赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．【考点】RB：几何变换综合题．【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，∵∠AOB=90°，∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，∴点P，O，Q在同一条直线上，∵∠APO=∠BQO=90°，∴AP∥BQ，∴∠PAE=∠FBE，∵点E是AB中点，∴AE=BE，∵∠AEP=∠BEF，∴△APE≌△BFE，∴PE=EF，∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，∴EP=EQ；（2）成立，证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，∴CE∥OB，CE=OB，∴∠DOC=∠ECA，∵点D是Rt△OQB斜边中点，∴DQ=OB，∴CE=DQ，同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，∴∠ECA=∠BDE，∵∠PCE=∠EDQ，∴△EPC≌△QED，∴EP=EQ；（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，∴GB=GO=GA，∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，设∠GOB=x，∠GOA=y，∴x+x+y+y+60°=360°∴x+y=150°，∴∠AOB=150°．5.（2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．（1）求c1的解析式；（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4即可得到结论；（2）解方程组得到x2+3x+m﹣3=0，由于直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，于是得到△=9﹣4m+12=0，即可得到结论；（3）根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，根据图象即可刚刚结论；（4）求得B（3，0），得到OB=3，根据勾股定理得到AB==4，①当AP=AB，②当AB=BP=4时，③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，于是得到结论．【解答】解：（1）∵抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线c1的解析式为y=a（x+1）2+4，把D（0，3）代入y=a（x+1）2+4得3=a+4，∴a=﹣1，∴抛物线c1的解析式为：y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3；（2）解得x2+3x+m﹣3=0，∵直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，∴△=9﹣4m+12=0，∴m=；（3）∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，∴抛物线c2的顶点坐标为（1，4），与y轴的交点为（0，3），∴抛物线c2的解析式为：y=﹣x2+2x+3，∴①当直线l2过抛物线c1的顶点（﹣1，4）和抛物线记作c2的顶点（1，4）时，即n=4时，l2与c1和c2共有两个交点；②当直线l2过D（0，3）时，即n=3时，l2与c1和c2共有三个交点；③当3＜n＜4或n＞3时，l2与c1和c2共有四个交点；（4）如图，∵若c2与x轴正半轴交于B，∴B（3，0），∴OB=3，∴AB==4，①当AP=AB=4时，PB=8，∴P1（﹣5，0），②当AB=BP=4时，P 2（3﹣4，0）或P3（3+4，0），③当AP=PB时，点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB=4，∴P4（﹣1，0），综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（3﹣4，0）或（3+4，0）或（﹣1，0）时，△PAB为等腰三角形．。

初中数学开放性问题

初中数学开放性问题1． 8×86＝688，这个算式，把乘数的个位数6放在被乘数之首，十位数8放在被乘数之尾，得688即乘积，还有没有这样的算式？若有，请写出它们。

2．有一些合数分解成质数的积，等式两边的数码的和相等，如：6036＝2×2×3×503，6＋ 0＋3＋6＝2＋2＋3＋5＋0＋3。

数学爱好者史密斯发现493 777 5＝3×5×5×65 837，4＋9＋3＋7＋7＋7＋5＝3＋5＋5＋6＋5＋8＋3＋7，493 777 5恰为史密斯家的电话号码，这个数又是已知的具有上述性质的最大的数。

在10000以内的合数有360个具有这样的性质，请你尽可能多地写出它们。

3．现有四个有理数3，4，－6，10。

将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式如下：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿使其结果等于24。

4．某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图），即“以数轴上的单位长线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴于点A ”，作这样的图是用来说明＿＿＿＿＿＿＿。

5．用实际例子说明绝对值的几何意义。

6．定义一种运算“∧”，对任何两个正数a 和b 有ba ab b a +=∧。

验证运算“∧”是否具有交换律、结合律、对加法的分配律？即 )()()(),()(,c a b a c b a c b a c b a a b b a ∧+∧=+∧∧∧=∧∧∧=∧是否成立？请你给出另一种新的运算定义，使其具有交换律、结合律或者对他运算的分配律。

7．已知1，2，2三个数，请你添上一个数，写出一个比例式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

8．写出一个只含有字母X 的代数式（要求：（1）要使此代数式有意义，字母X 必须取全体正数；（2）此代数式的值恒为负数）：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案

中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一条件开放型例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ,F ，连接BE ,CF .(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH =FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH =∠CFH 等. 选择EH =FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH =CH . 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH (SAS ).(2)如图，当BH =EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH =CH ，EH =FH ,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH =EH ,∴EF =B C. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014·湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足，则a 、b 平行.2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件：，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件：，使△ADE ∽△AC B.(写出一个即可)4.(2014·娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x －3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100－x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x－h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100－x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x－h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100－x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12×20+50≤y≤12×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x－20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x－20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式.2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数.3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg ).题型之三综合开放型例3 (2013·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x (千米)，则车费为y (元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y =2x +2. ②当y =32时，32=2x +2.解得x =15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC (或AB ∥DC )3.∠ADE =∠C (答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x －3<7得x <5. 取x =1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B =90°或∠BAC +∠BCA =90°,或OB =OA =OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B =90°为例说明.理由： ∵AB =CD ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B =90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6－a 6，a 2×a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0)2.答案不唯一，如：2，3，4π3.(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CD A. (2)∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF . ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF . 又∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF .4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如： ① 此函数的解析式为y =kx(k ＞0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k =1. ∴此函数可以为：y =1x； ②设此函数的解析式为y =kx +b (k ＜0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k +b =1，k ＜0. ∴此函数可以为：y =－x +2,y =－2x +3,…； ③设此函数的解析式为y=a(x－m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1－m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=－x2+2,y=－2x2+3,y=－(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×150＝0.904(kg).50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x2－5x－3=0，解得x1=3，x2=－1 2 .经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A地到B地步行所用时间为3小时.3.(1)设y =k x， ∵A (1，10)在图象上，∴10=1k.即k =10. ∴y =10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km /h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y =10x（h ）.。

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放探究题的类型及解题策略
初中数学开放探究题是指那些没有明确解题方法的数学问题，通过学生自主探索和解
决问题，培养学生思维能力和解决问题的能力。

开放探究题的类型多种多样，解题策略也
各有不同。

以下是一些常见的初中数学开放探究题的类型及相应的解题策略。

一、几何问题
几何问题是常见的开放探究题类型之一。

解答这类问题通常需要学生探究图形的性质、关系及运用几何知识解决问题。

解题策略：
1. 观察几何图形的性质，例如角的关系、边的长度等。

2. 尝试构建辅助线或辅助角，将问题转化成已知的几何问题。

3. 运用几何定理，如勾股定理、相似三角形的性质等。

二、代数问题
代数问题是初中数学中常见的开放探究题类型，通常涉及复杂的代数式的化简、方程
的解法等。

解题策略：
1. 观察代数式的结构，寻找规律，进行化简和简化。

2. 运用代数运算法则，如合并同类项、因式分解等。

3. 构建方程组，运用代数方法解方程。

数列问题是另一种常见的开放探究题类型。

解答这类问题需要学生发现数列的规律，
进行推理和证明。

解题策略：
1. 观察数列的前几项，寻找数列的规律和递推关系。

2. 推导数列的通项公式或递推公式。

3. 运用数列性质，进行计算和证明问题。

四、概率问题
概率问题也是初中数学中的重要开放探究题类型，学生需基于概率的概念进行推理和计算。

解题策略：
1. 确定事件空间和随机试验。

2. 运用概率的计算公式，计算事件的概率。

3. 推导和证明概率性质。

初中数学专题复习开放性题

特点
开放性题目具有条件不确定性、解题方法多样性、答案不唯一性和思维发散性等特点。
特点
条件不确定性
开放性题目给出的条件往往是不确定的，需要学生根据题意自行确定或补充条件，然后进行解答。
答案不唯一性
由于开放性题目没有固定的解题模式和唯一的答案，因此学生可以根据自己的理解和思考得出不同的答案，这有助于培养学生的个性和创造力。
结论开放题的解题方法与技巧
总结词
详细描述
结论开放题要求解题者根据给定的条件或问题，得出不同的结论或答案。
在解决结论开放题时，需要全面考虑各种可能性，得出不同的结论或答案。可以通过分类讨论、穷举法等方式进行探索。
示例
题目给出条件“一个四边形ABCD中，AB=CD且∠A=∠D”，要求我们得出不同的结论或答案。我们可以根据条件进行分类讨论，如考虑四边形 ABCD是平行四边形、等腰梯形等情况，得出不同的结论或答案。
注重题目设计的多样性和层次性
设计多样化的题目
为了满足不同学生的需求，教师可以设计多样化的开放性题目，包括选择题、填空题、解答题等，以满足不同层次学生的需求。
设计有层次的题目
教师可以根据学生的不同水平，设计不同难度的开放性题目，从简单到复杂，逐步提高学生的解题能力。这样可以更好地满足学生的学习需求，提高他们的学习效果。
培养综合素质
解决开放性题目不仅需要数学知识，还需要学生具备一定的观察力、分析力和表达能力等综合素质。
06 开放性题目的案例分析
条件开放题案例分析
总结词
条件开放题是指题目中的条件不完整或不明确，需要学生根据题意自行补充或推导。
详细描述
条件开放题通常会给出一些已知条件，但这些条件不足以直接得出结论，需要学生通过观察、分析和推理来补充或推导条件，从而解决问题。例如，给出一个三角形，但只给出其中两条边的长度，让学生求出第三条边的长度或判断三角形的形状。

中考数学开放性问题PPT课件

A
D
象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以是
————。
F
2、如图（1）,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上
E
的两点，请你添加一个适当的条件：—————，
使四边形AECF是平行四边形。
3、在多项式4 X 2+1中，添加一个单项式，使所得的
B
（1） C
整式成为一个完全平方式，则添加的单项式是
——————。（只写出一个即可）
D
连结DE、BE，若∠BDE+ ∠BCE=180°
写出图中至少两对类似三角形（注意：不得添
加字母和线段），并说明理由。
⊿ADE～ ⊿ACB
B
⊿FEC～ ⊿FBD
⊿AEB～ ⊿ADC
⊿CFD～ ⊿EFB
E
C
F
小试身手
A
B
C
A
A A
二分之一点
二分之一点
二分之一点
二分之一点
B
四四四分分分
之之之
一一一
点点点
(1)
CB
A
二
分之
C
一
点
(2) A
B
二分之一点 C
(3)
A
三分之一点三分之一点
B 四分之一点 (4)
B C
二分之一点
二分之一点
C
(5)
B
平行与BC 且类似比是 1/√2
二分之一点 C (6)
x 1、请你写出一个b值，使得函数y= 2+2bx+1在第一
填写条件时，应符合题意或相关的概念、性质、定理。
例题精讲
A
D
例1:已知如图,AC=DB,如不增加字母和辅助线

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题是数学学习中非常重要的一部分，它不仅能够帮助学生理解数学知识，还可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将介绍一些常见的初中数学开放探究题的类型及解题策略。

一、基础性开放探究题基础性开放探究题是指在已有数学知识和技能基础上，通过挑战性问题，让学生进行探索和思考，以提高他们的数学解决问题能力。

这类问题一般涉及到初中数学的基本概念和技能，如整数、有理数、代数式、等式与方程等。

解决这类问题需要学生结合所学的数学知识，灵活运用，并进行推理、分析和论证。

解题策略：1. 深刻理解问题：学生在解决基础性开放探究题时，首先要深刻理解问题的背景和要求，对问题进行分析和拆解。

2. 灵活运用数学知识：学生需要结合所学的数学知识，如奇偶数性质、整数运算规律、代数式展开与化简等，运用到问题的解决中。

3. 利用图表工具辅助分析：对于涉及到几何图形或数量关系的问题，学生可以通过绘制图表进行辅助分析，帮助理解问题和规律。

4. 推理与论证：解决开放探究题时，学生需要进行推理和论证，以确保解题过程的合理性和解题答案的正确性。

三、跨学科开放探究题跨学科开放探究题是指在初中数学学习中，将数学知识与其他学科知识进行跨学科整合和运用。

这类问题要求学生能够综合运用所学的数学知识和其他学科知识，进行综合性解决问题。

生活中的诸多实际问题都是跨学科性质的，如物理、化学、地理、生物等。

解题策略：1. 跨学科整合：学生需要将数学知识与其他学科知识进行整合，对于涉及多学科合作的问题，需要跨学科分析和思考。

2. 推理与论证：解决跨学科开放探究题也需要进行推理与论证，同时涉及多学科知识时，需要较高的综合分析能力。

3. 转化应用：对于跨学科开放探究题，学生需要将所学知识转化应用到实际问题中，理论应用与实际问题的联系性。

四、实际应用开放探究题实际应用开放探究题是指将数学知识与实际生活中的问题相结合，通过解决实际问题，提高学生的数学解决问题能力。

初中数学-开放性试题及答案

开放性试题及答案1、用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.2、电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。

现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。

如果晶圆片的直径为10.05cm 。

问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。

（不计切割损耗）E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 第21题图3、在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？4、如图，若把边长为1的正方形ABCD 的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的95，请说明理由(写出证明及计算过程).5、甲船在点O 处发现乙船在北偏东600的B 处以每小时a 海里的速度向北航行，甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应以什么方向航行才能追上乙船。

A D E H FBC G （方案一） ADEF B C （方案二）第23题图6、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB上的点，过点E作CG⊥AB，F是直线CG上任意上点，连结AF交⊙O于D，连结DC、AC、AG。

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题是指没有明确给出解题步骤和答案的问题，学生需要通过探究和思考来解决问题。

这类题目能够培养学生的综合运用数学知识和思维能力，激发学生的创造性思维和探索欲望。

下面介绍几种常见的初中数学开放探究题类型和解题策略。

1. 排列组合问题排列组合问题是指从给定的元素集合中选择若干元素，按照一定的规则进行排列或组合的问题。

解决这类问题可以通过列举、归纳和寻找规律的方法。

学生可以通过数学模型或图表的方式来组织思维，找出规律并推广。

举例：从数字1、2、3中选择两个数字组成两位数，要求所得数的位数和为奇数，一共有多少种可能？解题策略：列举法。

列出所有满足条件的可能：13、21、23，共3种。

2. 几何问题几何问题是指涉及图形和空间的问题，需要学生通过观察和推理来解答。

解决这类问题可以通过观察图形性质、利用几何定理、运用比例关系等方法。

学生可以通过画图、引入辅助线、构造等方法，激发创造性思维，找出解题的关键点。

举例：如何用一个正方体的六个面拼接成一个立方体？解题策略：观察图形。

通过观察正方体的六个面，发现其中相邻两个面有一个公共边，将相邻两个面沿公共边贴合即可得到一个立方体。

3. 数据分析问题数据分析问题是指给出一组数据，要求学生分析、研究数据的特征和规律，并据此给出结论或解决问题。

解决这类问题可以通过排序、整理数据，绘制图表、计算平均数、众数等统计量，运用统计学知识来分析数据。

举例：某班级60个学生的英语成绩如下，请计算平均成绩，并画出成绩分布直方图。

解题策略：分析数据。

首先将数据整理并按大小排序，然后计算平均成绩，最后根据成绩的范围绘制成绩分布直方图。

4. 逻辑推理问题逻辑推理问题是指给出一组条件和一些结论，学生需要通过分析条件间的关系和逻辑推理，确定结论的正确性。

解决这类问题可以通过抽象问题，构造逻辑推理链条，利用逻辑关系和条件推理来解答。

举例：如果有两个对象，一个是圆，另一个是方形。

初中数学创新性开放性题1-P

例3.如图：已知⊙ O1与⊙ O2相交于A.B两点，经过A 点的直合).连结BD，过C点作BD的平行线交⊙ O1于点E，连结BE
(1)求证：BE是⊙ O2的切线 (2)如图2，若两圆圆心在公
共弦AB的同侧，其他条件不
变，判断BE与⊙ O2的位置关系(不要求证明)
分析：要使EF∥GC，需知∠FEC=∠ACB，但从图中可知∠FEC=∠FDC，∠FDC=∠B，所以∠FEC=∠B，故当∠B=∠ACB时，可得证 EF∥GC
要使EF∥GC，△ABC应满足AB=AC或 ∠ABC=∠ACB
证明：连结DC，则 ∠FDC=∠FEC， ∠FDC=∠B， ∴∠FEC=∠B， ∵∠B=∠ACB， ∴∠FEC=∠ACB， ∴EF∥GC
创新型、开放型问题
曾庆坤
例1.比较下面的两列算式结果的大小： (在横线上填“>”、“<”、“=”)
(1)42+32____2×4×3
(2)(-2)2+12___2×(-2)×1
(3) (4)22+22____2×2×2
通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明
(1) > (2) > (3) > (4) =
结论：对于任意两个实数a和b，一定有
a2+b2≥2ab
证明：∵(a-b)2≥0，
即a2-2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab
例2.如图：已知△ABC为 ⊙ O的内接三角形， ⊙ O1 过C点与AC交点E，与 ⊙ O交于点D，连结AD并延长与⊙ O1交于点F与BC 的延长线交于点G，连结 EF,要使EF∥CG，△ABC 应满足什么条件？请补充
(3)若点C为劣弧AB的中点，其他条件不变，连结 AB.AE，AB与CE交于点F，如图3 写出图中所有的相似三角形(不另外连线，不要求证明)

中考数学专题复习开放性问题测试题(含解析)

开放性问题一、填空题1. （2016·山东省济宁市·3分）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE 交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使△AEH≌△CEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了．【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，∴∠BEC=∠AEC=90°，在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠A HE，又∵∠EAH=∠BAD，∴∠BAD=90°﹣∠AHE，在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，∴∠EAH=∠DCH，∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE．可证△AEH≌△CEB．故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE．三.解答题1．（2016·山东省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，CN==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2．（2016·四川攀枝花）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，∴S△PBC=PM•OH+PM•HB=PM•（OH+HB）=PM•OB=PM，∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．3．（2016·四川内江）(12分)如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．(1)求m的值；(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且1OA＋1OB＝2OP，求b的值；(3)在 (2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．C 与直线l 只有一个公共点，,m 有且只有一组解． ················ 2分消去y ，得x 2－4x ＋m ＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根． ∴△＝0，即(－4)2－4m ＝0．∴m ＝4． ································ 4分 (2)如图，分别过点A ，P ，B 作y 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，E ，则△OAC ∽△OPD ，∴OP OA ＝PD AC．同理，OP OB ＝PD BE．∵1OA ＋1OB ＝2OP ，∴OP OA ＋OP OB ＝2． ∴PD AC ＋PD BE＝2． ∴1AC ＋1BE ＝2PD ，即AC BE AC BE + ＝2PD． ················ 5分解方程组,3y kx y x b=⎧⎨=-+⎩得x ＝3b k +，即PD ＝3b k +． ············· 6分由方程组2,34y kx y x x =⎧⎨=-+⎩消去y ，得x 2－(k ＋3)x ＋4＝0． ∵AC ，BE 是以上一元二次方程的两根，∴AC ＋BE ＝k ＋3，AC ·BE ＝4． ······················ 7分 ∴34k +＝23b k +．解得b ＝8． ······························· 8分 (3)不存在．理由如下： ························· 9分假设存在，则当S △APQ ＝S △BPQ 时有AP ＝PB ，于是PD －AC ＝PE －PD ，即AC ＋BE ＝2PD ．由(2)可知AC ＋BE ＝k ＋3，PD ＝83k +，答案图图15∴k＋3＝2×83k，即(k＋3)2＝16．解得k＝1(舍去k＝－7)．························11分当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．······················12分。

2023中考数学开放探究型压轴大题(最新模拟50道)学生版

2023中考数学开放探究型压轴大题一、解答题1.(2023春·陕西延安·九年级专题练习)如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将△CDE 绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现①当α=0°时，AE BD =______；②当α=180°时，AE BD=______．(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决△CDE 绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长______．2.(2023春·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考开学考试)点E是矩形ABCD边AB延长线上一动点(不与点B重合)，在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF=90°，过点F作FG⊥BC 交BC的延长线于点G，连接DF交CG于点H．(1)发现如图1，若AB=AD，CE=CF，猜想线段DH与HF的数量关系是(2)探究如图2，若AB=nAD，CF=nCE，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展在(2)的基础上，若FC的延长线经过AD的三等分点，且AD=3，AB=4，请直接写出线段EF的值3.(2023·河北·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是10，A，B为⊙O外两点，AB= 22．给出如下定义：平移线段AB，使平移后的线段A′B′成为⊙O的弦(点A′，B′分别为点A，B 的对应点)，线段AA′长度的最小值成为线段AB到⊙O的“优距离”．(1)如图1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由线段AB平移而得，这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段长度等于线段AB到⊙O的“优距离”；(2)若点A(0，7)，B(2，5)，线段AA′的长度是线段AB到⊙O的“优距离”，则点A′的坐标为；(3)如图2，若A，B是直线y=-x+6上两个动点，记线段AB到⊙O的“优距离”为d，则d的最小值是；请你在图2中画出d取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．4.(2023春·全国·八年级期中)如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．(1)如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；(2)在(1)的条件下，请求出此时a的值：(3)当a=8时，①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．5.(2023春·广东深圳·八年级统考阶段练习)已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？；(直接写出结果)(2)如图2，点D在射线CB上(点C的右边)移动时，证明∠BCE+∠BAC=180°．(3)点D在运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由．6.(2023·山东济南·统考一模)如图1，已知正方形AFEG与正方形ABCD有公共顶点A，点E在正方形ABCD的对角线AC上(AG<AD).(1)如图2，正方形AFEG绕A点顺时针方向旋转α(0°<α<90°)，DG和BF的数量关系是，位置关系是；(2)如图3，正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直线CE和直线DG所夹锐角的度数；(3)如图4，AB=8，点N在对角线AC上，CN=22，将正方形AFEG绕A顺时针方向旋转α(0°<α<360°)，点M是边CD的中点，过点M作MH∥DG交EC于点H；在旋转过程中，线段NH的长度是否变化？如果不变，请直接写出NH的长度；如果改变，请说明理由.7.(2023春·全国·八年级期中)如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF=BD，∠EDF=60°．(1)证明：EF=DF；(2)如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG=EC+ EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，证明：CG=CM．(3)如图3，在(2)的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD=4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．8.(2023春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校联考阶段练习)已知△ABC为等边三角形，D是边AB上一点，连接CD，点E为CD上一点，连接BE．(1)如图1，延长BE交AC于点F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF的长；(2)如图2，将△BEC绕点C顺时针旋转60°到△AGC，延长BC至点H，使得CH=BD，连接AH交CG于点N，猜想线段CE，GN，DE之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，AB=8，点H是BC上一点，且BD=2CH，连接DH，点K是AC上一点，CK=AD，连接DK，BK，将△BKD沿BK翻折到△BKQ，连接CQ，当△ADK的周长最小时，直接写出△CKQ 的面积．9.(2023·福建三明·校考一模)在矩形ABCD中，连接AC，线段AE是线段AC绕点A逆时针旋转90°得到，平移线段AE得到线段DF(点A与点D对应，点E与点F对应)，连接BF，分别交AC，CE于点M，N，连接EF．(1)求证：BN=FN；(2)求∠ABF的大小；(3)若BM=x，FN=y，求矩形ABCD的面积(用含有x，y的式子表示)．10.(2023·湖北省直辖县级单位·校联考一模)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.将∠AOB绕点O沿逆时针方向旋转α0°≤α<90°得到∠EOF，OE，OF分别交AB，BC于点E，F，连接EF交OB于点G．(1)求证：①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG；(2)在旋转过程中，探究线段AC，EF，OG的数量关系，并说明理由；(3)若AB=3BE，OE=5，求线段OG，BF的长度．11.(2023·江苏盐城·统考一模)【问题思考】如图1，点E是正方形ABCD内的一点，过点E的直线AQ，以DE为边向右侧作正方形DEFG，连接GC，直线GC与直线AQ交于点P，则线段AE与GC之间的关系为．【问题类比】如图2，当点E是正方形ABCD外的一点时，【问题思考】中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】如图3，点E是边长为6的正方形ABCD所在平面内一动点，【问题思考】中其他条件不变，则动点P 到边AD的最大距离为(直接写出结果)．12.(2023春·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中)(1)如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，现将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为B ，点C的对应点为C ，连接BB ，如图所示则∠AB B=．(2)如图2，在等边△ABC内有一点P，且PA=2，PB=3，PC=1，如果将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△BP A，求∠BPC的度数和PP 的长；(3)如图3，将(2)题中“在等边△ABC内有一点P”改为“在等腰直角三角形ABC内有一点P”，且BA=BC，PA=6，BP=4，PC=2，求∠BPC的度数．13.(2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习)如图1，△ABC与△EDC为等腰直角三角形，AC=BC=6，DE=DC=2，∠ACB=∠CDE=90°，将△EDC绕着点C旋转．(1)如图2，在旋转过程中，当A、C、E三点共线(E在AC延长线上)时，连接BE，过D点作AE的垂线交AE于点G，交BE于点F，求BF的长；(2)如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过点D作DF⊥AE于点G，交BE于点F，请写出EF与BF的数量关系并证明．(3)如图4，在(2)的条件下，连接CF、AF，当AF最小时，请直接写出△ACF的面积．14.(2023春·湖北十堰·九年级统考阶段练习)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作AD⊥BC于点D，点M为线段AD上一点(不与A，D重合)，在线段BD上取点N，使DM=DN，连接AN，CM．(1)观察猜想：线段AN与CM的数量关系是，AN与CM的位置关系是；(2)类比探究：将△DMN绕点D旋转到如图2所示的位置，请写出AN与CM的数量关系及位置关系，并就图2的情形说明理由；(3)问题解决：已知AD=32，DM=3，将△DMN绕点D旋转，当以A、D、M、N四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出BN的长．15.(2023·河南商丘·校考一模)综合与实践二轮复习中，刘老师以“最值问题”为专题引导同学们进行复习探究．问题模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，(1)探究1：如图1，点D为等腰三角形ABC底边BC上一个动点，连接AD，则AD的最小值为，判断依据为；(2)探究2：在探究1的结论下，继续探究，作∠BAD的平分线AE交BC于点E，点F，G分别为AE，AD上一个动点，求DF+FG的最小值；(3)探究3：在探究1的结论下，继续探究，点M为线段CD上一个动点，连接AM，将AM顺时针旋转60°，得到线段AN，连接ND，求线段DN的最小值．16.(2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测)如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．点D是BC边上任意一点(不与B，C重合)，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接CE，点F为AD中点，连接CF，EF．(1)当BD=2CD时，判断四边形CDEF的形状，并证明．(2)点D在线段BC上的什么位置时，△DEF的面积最大？请说明理由．(3)如图(1)中的△BDE绕点B旋转到如图(2)所示位置，得到△BD E ，使得点A在直线D E 上，连接CE ，点F 为AD 中点，AD 与BC交于点G，其他条件不变．求证：AE -D E =2CF ．17.(2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模)如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点A关于直线BE的对称点为点F，连接AF，CF．设∠ABE=α，(1)试用含α的代数式表示∠DCF；(2)作CG⊥AF，垂足为G，点G在AF的延长线上，连接DG，试判断DG与CF的位置关系，并加以证明；(3)把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求sinα的值．18.(2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB，点P和图形G定义如下：线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A B (A 和B 分别是A和B的对应点)，若线段AB 和A B 均在图形G的内部(包括边界)，则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图．(1)如图，点C1,0．，D3,0①已知图形G1：半径为3的⊙O；G2：以O为中心且边长为6的正方形；G3：以线段OD为边的等边三角形．在G1，G2，G3中，线段CD关于点O的旋垂闭图是．②若半径为5的⊙O是线段CD关于点T t,0的旋垂闭图，求t的取值范围；(2)已知长度为4的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上，若存在点Q2+a,2-a，使得对半径为2的⊙Q上任意一点P，都有线段AB满足半径为r的⊙O是该线段关于点P的旋垂闭图，直接写出r的取值范围．19.(2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习)如图，抛物线y=ax2+2ax+c经过B1，0两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．，C0，3(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；(3)如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．20.(2023春·浙江宁波·九年级浙江省余姚市实验学校校考阶段练习)如图，直线y=-2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上．分别过点O，B 作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC．(1)求点A，B，C的坐标．(2)当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF．(3)CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式．21.(2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习)如图，平面直角坐标系中，已知A(-2，0)，B(4，0)，点C是在y轴的负半轴上，且△ABC的面积为9．(1)点C的坐标为；(2)P是第四象限内一点且横坐标为m，tan∠PBA=32．①连接AP，交线段BC于点D．根据题意画出示意图并求PDDA的值(用含m的代数式表示)；②连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB=90°，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22.(2023·北京海淀·中关村中学校考模拟预测)如图，矩形AOBC的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是5，4，D为BC边上一点，将矩形沿AD折叠，点C落在x轴上的点E处，AD的延长线与x 轴相交于点F(1)如图1，求点D的坐标；(2)如图2，若P是AF上一动点，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于N，设AP=t，FN=s，求s与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由23.(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过A0,1．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个，B4,-1动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和5PD+PE的最大值；(3)将抛物线y关于直线x=3作对称后得新抛物线y ，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．24.(2023·吉林长春·统考一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=20，点D从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB方向运动，到点B停止．当点D与A、B两点不重合时，作DP⊥AC交AC于点P，作DQ⊥BC交BC于点Q．E为射线CA上一点，且∠CQE=∠BAC．设点D 的运动时间为t(秒)．(1)AB的长为．(2)求CQ的长．(用含有t的代数式表示)(3)线段QE将矩形PDQC分成两部分图形的面积比为1:3时，求t的值．(4)当t为某个值时，沿PD将以D、E、Q、A为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的t值．25.(2023·广东云浮·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的其中两边分别在坐标轴上，它的两条对角线交于点E，其中OA=6cm，OB=8cm，动点M从点C出发，以1cm/s的速度在CB上向点B运动，动点N同时从点B出发，以2cm/s的速度在BO上向点O运动．当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设它们运动时间是ts．(1)请直接写出BM，BN的长度；(2)当t为何值时，△MNB与△OBC相似；(3)记△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式，并求出S的最小值及此时t的值．26.(2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考阶段练习)如图，以AB为直径的⊙O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD⊥AB交⊙O于点D，连接AC，AD，点A关于CD的对称点为E，直线CE交⊙O于点F，交AH于点G．(1)求证：∠CAG=∠AGC；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若EFCE =25，求DPCP的值；(3)当点E在射线AB上，AB=2，四边形ACOF中有一组对边平行时，求AE的长．27.(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)在△ABC中，AB=AC=10，△ABC的面积为30，点D为AC的中点，动点P由点A以每秒5个单位的速度向点B运动，连接PD，以PD、DC为邻边作▱PDCQ，设▱PDCQ与△ABC的重叠部分面积为S，设点P的运动时间为t t>0．(1)tan A=(2)求点Q落在BC上时t的值．(3)在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式．(4)若点A关于PD所在直线的对称点为A ，当点A 落在△ABC一边上的高上时，直接写出t的值．28.(2023·山西晋中·统考一模)问题情境：在综合实践课上，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动．如图①，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，边长分别是12和13，将顶点A与顶点E重合，正方形EFGH绕点A逆时针方向旋转，连接BF，DH．初步探究：(1)试猜想线段BF与DH的关系，并加以证明；(2)如图②，在正方形EFGH的旋转过程中，当点F恰好落在BC边上时，连接CG，求线段CG的长；(3)在图②中，若FG与DC交于点M，请直接写出线段MG的长．29.(2023·江苏无锡·校联考一模)抛物线y=ax2+bx+3过点A-1，0，顶点为C．，点B3，0(1)直接写出抛物线的表达式及点C的坐标；(2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，点E是线段AC上(与点A，C不重合)的动点，连接PE，作∠PEF=∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的最大值．30.(2022春·上海徐汇·九年级统考期中)已知⊙O的直径AB=4，点P为弧AB上一点，连接PA、PO，点C为劣弧AP上一点(点C不与点A、P重合)，连接BC交PA、PO于点D、E．(1)如图，当AD=DP时，求DEEB；(2)当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；(3)当AD=2DP，且△BEO为直角三角形时，求BC的长．31.(2022·广东东莞·一模)如图，△ADE 由ΔABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，且点B 的对应点D 恰好落在BC 的延长线上，AD ，EC 相交于点P ．(1)求∠BDE 的度数；(2)F 是EC 延长线上的点，且∠CDF =∠DAC ．①判断DF 和PF 的数量关系，并证明；②求证：EP PF =PC CF．32.(2023春·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考阶段练习)(1)问题发现：如图①，△ABC和△ADE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BD,CE．①线段BD,CE之间的数量关系为；②∠BEC的度数为．(2)拓展探究：如图②，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，点B,D,E在同一直线上，连接BD,CE，求BDCE的值及∠BEC的度数．(3)解决问题：如图③，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，AD=3BD，求DFCF的值．33.(2023春·辽宁本溪·九年级统考阶段练习)如图(1)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE相交于点F．小明和小军想要探究线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系．(1)问题探究：他们先将问题特殊化如图(2)，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；(2)再探究一般情形如图(1)，当点D，F不重合时，(1)中的结论是否成立．若成立请证明，若不成立请写出正确结论并说明理由．(3)问题拓展：如图(3)，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC(k是常数)，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF 之间的数量关系．34.(2023·河南洛阳·统考一模)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：折叠正方形纸片ABCD，使顶点A落在边DC上点P处，得到折痕EF，把纸片展平；(如图1)操作二：折叠正方形纸片ABCD，使顶点B也落在边DC上点P处，得到折痕GH，GH与EF交于点O．连接OA，OB，OP．根据以上操作，直接写出图2中与OP相等的两条线段和．(2)探究发现把图2中的纸片展平，得到图3，小亮通过观察发现无论点P在线段DC上任何位置，线段OE和线段OF始终相等，请你直接用第一问发现的结论帮小亮写出完整的证明过程．(3)拓展应用已知正方形纸片ABCD的边长为6cm，在以上的探究过程中，当点O到AB距离是73cm时，请直接写出PC的长．35.(2023春·江苏南京·八年级校考期中)如图，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，GH折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD纸片按图①的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段∶S▱ABCD=．，；S矩形AEFG(2)▱ABCD纸片还可以按图②的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．(3)如图③，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．36.(2023·吉林长春·校联考一模)如图，BD是▱ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm．动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD-DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动，过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连结PQ；以PQ与QM为边作▱PQMN，设点P的运动时间为t s t>0，▱PQMN 与▱ABCD重叠部分图形的面积为S cm2．(1)AP=cm(用含t的代数式表示)．(2)当点N落在边AB上时，求t的值．(3)当点Q在线段DC上运动时，t为何值时，S有最大值？最大值是多少？(4)连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值．37.(2023·江苏淮安·统考一模)【基础模型】：如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB．【尝试应用】：如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A，若BF=6，BE=4，求AD的长．【更上层楼】：如图，在菱形ABCD中，E是直线AB上一点，F是菱形ABCD内一点，EF⎳AC，AC=2EF，∠BAD，AE=2，DF=5，请直接写出菱形ABCD的边长．∠EDF=1238.(2023·广东深圳·统考一模)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AE，记旋转角为α，连接BE，过点B作BF⊥直线DE，垂足为点F，连接CF．(1)如图1，当α=30°时，△BEF的形状为，DECF的值为；(2)当90°<α<180°时，①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请根据图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②如图3，正方形ABCD边长为4，DN⊥BE，CM⊥BE，在AE旋转的过程中，是否存在△AMN与△BEF相似？若存在，则CF的值为，若不存在，请说明理由．39.(2023年浙江省宁波市初中学业水平考试数学模拟试卷(探花卷))(1)【问题初探】如图1，E是正方形ABCD的边BC上一点，延长BA至点F，使AF=CE，连接DE，DF．求证：△DCE≌△DAF．(2)【问题再探】如图2，E，M分别是正方形ABCD的边BC，AB上一点，分别过点M，E作MP⊥CD于点P，EQ⊥AD于点Q，线段QE，MP相交于点N．连接DM，DE，ME，PQ，若∠MDE= 45o．①求证：AM+CE=ME．②探究△NME和△NPQ的面积关系，并说明理由．(3)【问题延伸】如图3，在正方形ABCD中，E，M分别是射线CB，BA上一点，【问题再探】中的其余条件不变，请直接判断△NME和△NPQ的面积关系是否仍成立．40.(2023·湖南·校联考一模)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是；A.平行四边形；B.矩形；C.正方形；D.菱形(2)如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点(E不与C、D重合)，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H．①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形”并说明理由；②如图2，连接EH，求△CEH的周长；③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长．41.(2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D为边AB的中点．动点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿BA运动到终点A．连结CP，作点D关于CP的对称点D ，连结PD ，设点P的运动时间为t秒．(1)点C、D之间的距离为．(2)用含t的代数式表示PD 的长．(3)当PD ⊥AB时，求△BCP的面积．(4)当点D 在△ABC内部时，直接写出t的取值范围．42.(2023春·四川成都·九年级四川省成都市第七中学初中学校校考阶段练习)模型建立：(1)如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B，求证：AC2=AD⋅AB；∠BAD，射(2)类比探究：如图2，在菱形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，且∠EAF=12线AE交DC的延长线于点M，射线AF交BC的延长线于点N．①求证：FA2=FC⋅FM；②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的长．43.(2023春·河南商丘·九年级校考阶段练习)如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点(不与点A，B重合)，连接AC，BC．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出∠ABC的平分线，交半圆O于点D．(保留作图痕迹，不写做法)(2)如图2，在(1)的条件下，过点D作半圆的切线，交BC的延长线于点F，作DE⊥AB于点E，连接BD．①求证：△BED≌△BFD．②若AB=8，BC=2CF，请直接写出DE的长．44.(2023春·广东广州·九年级华南师大附中校考阶段练习)四边形ABCD是正方形，E是直线BC上一点，连接AE，在AE右侧，过点E作射线EP⊥AE，F为EP上一点．(1)如图1，若点E是BC边的中点，且EF=AE，连接CF，则∠DCF=°；(2)如图2，若点E是BC边上一点(不与B，C重合)，∠DCF=45°，判断线段EF与AE的数量关系，并说明理由；(3)若正方形边长为1，且EF=AE，当AF+BF取最小值时，求△BCF的面积．45.(2023·湖北武汉·校联考一模)问题提出：如图(1)，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，AD⊥CD，∠ACD=30°，若AD=1，连接BD，求BD的长．(1)问题探究：请你在图(1)中，用尺规作图，在AB左侧作△ABE，使△ABE∽△ACD．(用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法，不说明理由)(2)根据(1)中作图，你可以得到CD与BE的位置关系是；你求得BD的长为；(3)问题拓展：如图(2)，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC内一点，若AD=7，BD=27，CD=4，求BC的长．46.(2023春·河北保定·九年级统考阶段练习)如图1，已知直线l 1：y =x +3，点B 0,b 在直线l 1上．y =mx +n 是过定点P 1,0 的一簇直线．嘉淇用绘图软件观察m 与n 的关系．记y =mx +n 过点B 时的直线为l 2．(1)求b 的值及l 2的解析式；(2)探究m 与n 的数量关系；当y =mx +n 与y 轴的交点为0,1 时，记此时的直线为l 3，l 3与l 1的交点记为A ，求AB 的长；(3)当y =mx +n 与直线l 1的交点为整点(横、纵坐标均为整数)，且m 的值也为整数时，称y =mx +n 为“美好直线”．①在如图2所示的视窗下(-2.5≤x ≤2.5，-2.5≤y ≤2.5)，求y =mx +n 为“美好直线”时m 的值；②视窗的大小不变，改变其可视范围，且变化前后原点O 始终在视窗中心．现将图2中坐标系的单位长度变为原来的1k，使得在视窗内能看到所有“美好直线”与直线y =x +3的交点，求k 的最小整数值．47.(2023·山东济南·统考一模)(1)①如图1，等腰△ABC(BC为底)与等腰△ADE(DE为底)，∠BAC=∠DAE，则BD与CE的数量关系为；②如图2，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，则sin∠DAC=；(2)如图3，在(1)②的条件下，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF=∠DAC，连接CF．当AE=32时，求CF的长度；(3)如图4，矩形ABCD中，若AB=23，AD=6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE中点为G，CF中点为H，若GH=13，直接写出DE的长．48.(2023·浙江温州·统考一模)如图，点E，F分别为矩形ABCD边AD，CD上的点，以BE为直径作⊙O交BF于点G，且EF与⊙O相切，连结EG．(1)若AE=EG，求证：△ABE≌△GBE．(2)若AB=2，tan∠EBF=12．①求DE的长．②连结AG，若△ABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长．(3)连结CG，若CG的延长线经过点A，且ED=EG，求CGEF的值．49.(2023春·山东济南·九年级校考阶段练习)小明同学和小红同学分别拿着一大一小两个等腰直角三角板，可分别记作△ABC和△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°．问题的产生：两位同学先按照图1摆放，点D，E在AB、AC上，发现BD和CE在数量和位置关系分别满足BD= CE，BD⊥CE．问题的探究：(1)将△ADE绕点A逆时针旋转一定角度，如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD，CE，上述结论依然成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，并说明理由．问题的延伸：继续将△ADE绕点A逆时针旋转，如图3，点D、E都在△ABC的外部，连接BD，CE，CD，EB，BD和CE相交于点H．(2)若BD=19，求四边形BCDE的面积．(3)若AB=3，AD=2，设CD2=x，EB2=y，直接写出y和x的函数关系式．50.(2023·湖南长沙·校联考模拟预测)对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B(点A，B可以重合)，在图形W2上存在两点M，N(点M，N可以重合)使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．(1)如图1，点C(3,0),D(0,-1),E(0,1)，点P在线段CE上运动(点P可以与点C，E重合)，连接OP,DP．①线段DP的最小值为，最大值为；线段OP的取值范围是；②点O与线段DE(填“是”或“否”)满足限距关系；(2)在(1)的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点G纵坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，3为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围；。

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放探究题的类型及解题策略初中数学开放探究题指的是没有固定答案的数学问题，通过探究和实践，让学生主动思考问题、寻找解决问题的方法和策略。

下面介绍一些常见的开放探究题类型及解题策略。

一、数的属性和规律1. 数字的四则运算：通过给出一些数字，探究相加、相减、相乘、相除的规律。

解题策略：观察数字之间的关系，寻找规律并进行推理。

2. 奇偶数的性质：通过探究奇数和偶数的性质，找出它们之间可能存在的规律。

解题策略：列举一些奇数和偶数，观察它们的特点，并进行归纳总结。

3. 分数的性质：通过分析分数的大小关系和运算规律，找出它们之间的规律。

解题策略：举例分数并比较大小，观察分子、分母的变化对分数的影响。

二、图形的性质和变换1. 平面图形的性质：通过探索不同的平面图形，找出它们之间的关系和特点。

解题策略：画出各种平面图形，观察它们的边数、角度、对称性等特点。

三、数据的收集和分析1. 数据的收集和整理：通过调查、观察或实验，收集一组数据，进行整理和表达。

2. 数据的统计和分析：通过统计与数据相关的信息，分析数据的规律和趋势。

解题策略：制作统计表和图表，比较数据的大小、排序数据，找出数据之间的关系。

3. 概率的实验和分析：通过进行概率实验，探索事件发生的可能性和规律。

解题策略：设计实验，记录实验结果，计算发生事件的概率，分析实验结果。

四、代数的问题1. 代数式的性质和运算：通过对代数式进行化简、展开和合并，探索它们之间的规律。

解题策略：使用代数式进行计算，观察代数式中变量、系数、指数等的变化规律。

2. 等式和方程的性质和解法：通过探索等式和方程的性质和解法，解决实际问题。

解题策略：利用等式的性质和变形法则，化简方程，找出方程的解。

以上只是初中数学开放探究题的一部分类型和解题策略，通过这些开放探究题，可以培养学生的独立思考能力、发现问题和解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣和创造力。

教师在引导学生解决问题的过程中，应当注重培养学生的观察力、归纳能力和实践能力。

初一数学开放性试题及答案

初一数学开放性试题及答案试题一：代数基础题目：如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数是什么？答案：这个数是0或1。

因为0的平方是0，1的平方是1。

试题二：几何图形题目：在一个正方形中，如果边长增加2厘米，面积会增加多少？答案：设原正方形边长为a厘米，面积为a²平方厘米。

边长增加2厘米后，新的边长为a+2厘米，面积为(a+2)²平方厘米。

面积增加的部分为(a+2)² - a² = 4a + 4平方厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别为2, 5, 8，求这个数列的第10项。

答案：等差数列的公差d可以通过第二项减去第一项得到，即d = 5 - 2 = 3。

第n项的公式为an = a1 + (n - 1)d。

将n = 10代入公式，得到a10 = 2 + (10 - 1) * 3 = 2 + 27 = 29。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，取出红球的概率是多少？答案：总共有8个球，其中5个是红球。

所以取出红球的概率是5/8。

试题五：应用题题目：小明从家到学校的距离是1200米，他每分钟走80米。

如果他提前10分钟出发，他会比平时早到学校多少分钟？答案：小明平时走到学校需要1200米 / 80米/分钟 = 15分钟。

提前10分钟出发，他实际上只需要走5分钟就能到达学校。

所以他会比平时早到学校10分钟。

试题六：逻辑推理题目：如果所有的猫都怕水，而Tom是一只猫，那么Tom怕水吗？答案：根据题目中的逻辑，如果所有的猫都怕水，那么作为猫的Tom也怕水。

试题七：函数与方程题目：如果y = 2x + 3，当x = 4时，y的值是多少？答案：将x = 4代入方程y = 2x + 3，得到y = 2 * 4 + 3 = 8 + 3= 11。

试题八：统计与图表题目：一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。

如果随机选择一名学生，选择男生的概率是多少？答案：班级中男生和女生的数量相等，所以随机选择一名学生是男生的概率是15/30 = 1/2。

初中数学开放题

初中数学开放题、探索题选编1. 写一个一次函数，使它的图象经过点（3，4）.2. 写出一个关于的一次函数，使得当时，当时.3. 写出经过点（0，3）的一条抛物线方程.4. 写出经过两点（0，3）和（3，0）的二次函数解析式.5. 求出一个二次函数，使得当时，当时，当时.以上诸题解法很多，主要有：（1）再添加条件或将条件特殊化转化为常规题.如第1题可以再取一点如（0，0）等；第2题可以取符合条件的两点，如（1，1）（3，－3）等；第3题可以添加两个点；第4题可以添加一个点，第5题可以取三个特殊点；（2）利用数形结合的思想，画出符合题意的草图即可写出其解析式。

（3）可以拼凑出来，当然要会及时调整.6. 写出一个形如“”的方程，使它的解为；7. 写出一个只含字母的代数式,要求(1)要使此代数式有意义,字母必须取全体正数,(2)此代数式的值恒为负数.8. 已知数3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项；（中任选一个数即可）注意：若将此题改为：已知数3，6，若还有数x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，求x.此题应该有三种可能，四个解.9. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则此正方形边长为；（此题的答案应有两个）10. 已知A，B两点（如图）（1）求作一个圆，使它经过A，B两点（2）在所作的圆中，作一个圆内接等腰三角形ABC；. .11. 四边形ABCD中,如果那么对角线AC和BD互相垂直(只填出使结果成立的一种情况即可)`12. 同学们知道:只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定相等.你如何处理和安排这三个条件,使这两个三角形全等,请你依照方案(1),写出方案(2)、(3)、(4).解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等；13. 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个含有15角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标柱,不写作法.14. 在四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是四边形各边AB、BC、CD、DA的中点，当四边形ABCD 满足条件时，四边形MNPQ为矩形；15.D在面积为4的菱形ABCD中,画一个面积为1的ΔABP,使点P在菱形ABCD的边上(不写作法,保留作图痕迹)(取BC或AD中点P,或过对角线的交点,作AB的平行线交BC或AD于点P).16. 某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案.(北京考题)17. 关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和为？若存在，求出满足条件的负数值，若不存在，请说明理由？18. 研究下列各式，你会发现什么规律？，，，………请将你找出的规律用公式表示出来；19. 1.判断下列各式是否成立,你认为成立的,请在括号内打“√”，不成立的请在括号内打“×”（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）2.你判断完以上各题之后，发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围；()20. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案的花盆的总数是Sn=2 ,S=3 n=3, S=6 n=4, S=9按此规律推断,S 与n 的关系式为 ; (3n-3)21. 如图,AB 是⊙O 的直径,把线段AB 分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=,那么⊙O 的周长为,试计算(1) 把AB 分成两条相等的线段,每个小圆的周长(2) 把AB 分成三条相等的线段,每个小圆的周长 ;(3) 把AB 分成四条相等的线段,每个小圆的周长= ;……(4) 把AB 分成n 条相等的线段,每个小圆的周长= ;结论:把大圆的直径分成n 条线段,以每条线段为直径画小,那么每个小圆周长是大圆周长的 ;请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积和大圆面积的关系.(答案:(分别为n等分直径的小圆面积和大圆面积)22. （归纳猜想）已知一个半径为20cm的圆，作该圆内接钝角三角形，求这个钝角三角形面积的取值范围。

初中数学开放题

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学开放型试题含答案-

初中数学开放试题及答案

初中数学开放探究题的类型及解题策略

中考数学专题复习——开放研究问题(经典题型)

初中数学开放性问题

中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学专题复习开放性题

中考数学开放性问题PPT课件

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学-开放性试题及答案

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初中数学创新性开放性题1-P

中考数学专题复习 开放性问题测试题(含解析)

2023中考数学开放探究型压轴大题(最新模拟50道)学生版

初中数学开放探究题的类型及解题策略

初一数学开放性试题及答案

初中数学开放题

中考数学专题复习开放性问题测试题(含解析)