晶体学基础2
固体无机化学-晶体学基础2
l） （h k l） l） （h k i l） i ＝ - h＋k ） （
[U V W] [u v t w] U = u - t, V = v - t, W = w 1 1 u = [2U - V], v = [2V - U], t = -(u + v), w = W 3 3
（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes） 前已指出，任何阵点的位置可由矢量ruvw和该点阵的坐标u,v,w来确定。 同样晶向OP可沿a,b,c三个方向分解为三个矢量，即 1．阵点坐标 op = xa + yb + zc 2.晶向指数（Orientation index）
宏观对称要素— 宏观对称要素—回转对称轴
二维晶胞的密排图形
宏观对称要素— 宏观对称要素—对称面
1 晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面。 2 对称面用符号 m 表示。
宏观对称要素宏观对称要素-对称中心
1 如果位于晶体中心O点一边 的每点都可在中心的另一边 得到对应的等同点，且每对 点子的连线均通过O点并被 它所等分，则此中心点称为 晶体的对称中心 对称中心。或称为反 对称中心 演中心。即晶体的每一点都 可借以O点为中心的反演动 作而与其对应点重合。 2 对称中心用符号 z 表示。
1 对称要素构成一些动作，即晶体经过这些动作 之后所处的位置与其原始位置完全重合，也就 是晶体上每一点的新旧位置都完全重合。 2 晶体的对称要素可分为宏观和微观两类。宏观 对称要素反映出晶体外形和其宏观性质的对称 性。而微观对称要素与宏观对称要素配合运用 就能反映出晶体中原子排列的对称性。
晶体学基础2
•下列的晶面：(234)、( 201 )、(111)、(241)、( 221)、 ( 432 )、(101)、(010)和(432)中有哪些面属于同一个晶带？ 求出晶带轴。
•四方点阵的初基单胞轴长a=2.5nm、c=7.5nm，画出(h0l) 的倒易阵点（h 和l≤±4）。
1
>1
-K)/2
α
无相 180° 120 ° 90 ° 60 ° 0°
无相
当值
360 ° 当值
不含平移变换的对称要素 （2）
倒反轴：复合对称要素
旋转轴+轴上的一个对称中心。
倒转轴的轴次n及基转角都与其所包含的旋转轴相同（即 n=360 °/ ， 360 °/ n）。国际符号：N（Nn）。
0,0,z 1 mm2
空间群国际表
查表 软件
1.9 典型金属结构
•晶体结构的最大空间利用率和配位数
晶体中原子排列的紧密程度是反映晶体结构特征的一个 重要因素。为了定量地表示原子排列的紧密程度，通常 应用配位数和空间密堆率这两个参数。配位数是指晶体 结构中，与任一原于最近邻并且等距离的原子数。
不含平移变换的对称要素 （1）
对称中心1 对称面m
1 C 2
对称轴n
(x, y, z)
1
(-x, -y, -z)
对称轴所构成的对称配置投影图：
晶体对称定律（law of crystal symmetry） 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、 三次、四次和六次的对称轴，而不可能存 在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6
1，立方系
晶体学基础(第二章)
2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪： 双圈反射测角仪：晶体位于二旋转 轴的交点。 轴的交点。。当观测镜 筒中出现“信号” 筒中出现“信号”时，我们便可以 在水平圈上得到一个读数ρ 极距角) 在水平圈上得到一个读数ρ(极距角)， 并在竖圈上得到一个读数ϕ 方位角) 并在竖圈上得到一个读数ϕ(方位角)， ρ和ϕ这两个数值犹如地球上的纬度 和经度，是该晶面的球面坐标 球面坐标。 和经度，是该晶面的球面坐标。
使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。 使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。
2.1 面角守恒定律
单圈反射测角仪， 单圈反射测角仪，精度可达 0.5′ l′-0.5′。但缺点是晶体安置 好之后只能测得一个晶带( 好之后只能测得一个晶带(指 晶棱相互平行的一组晶面) 晶棱相互平行的一组晶面)上 的面角数据。 的面角数据。若欲测另一晶 带上的面角时， 带上的面角时，必须另行安 置一次晶体。测量手续复杂。 置一次晶体。测量手续复杂。
2.1 面角守恒定律 晶体测量(goniometry)又称为测角法。 晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 (goniometry)又称为测角法 的数据，通过投影， 的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数，确定晶面符号(见第四章) 同时， 常数，确定晶面符号(见第四章)，同时，还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌) 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算， 为了便于投影和运算，一 般所测的角度不是晶面的 夹角， 夹角，而是晶面的法线 plane)夹角 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角)，称为 晶面夹角的补角) 面角(interfacial angle)。 面角(interfacial angle)。
晶体学基础(第二章)
晶体学基础(第二章)第二章晶体的投影2.1面角守恒定律2.2晶体的球面投影及其坐标2.3极射赤平投影和乌尔夫网2.4乌尔夫网的应用举例2.1面角守恒定律面角守恒定律(lawofcontancyofangle),斯丹诺于面角守恒定律(angle)斯丹诺定律(Steno)1669年提出亦称斯丹诺定律年提出，1669年提出，亦称斯丹诺定律(lawofSteno)。
同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
这里夹角一般指同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
的是面角面角(angle)即晶面法线之间的夹角。
的是面角(interfacialangle),即晶面法线之间的夹角。
晶面角守恒定律告诉我们：晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1´平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，也互相平行，应晶面m2与m2´,…………,mn与mn´也互相平行，即同一种，物质的相应晶面间夹角不变。
物质的相应晶面间夹角不变。
2.1面角守恒定律2.1面角守恒定律成分和结构相同的晶体，成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”成所谓的“歪晶”。
2.1面角守恒定律面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
面角守恒定理起源于晶体的格子构造。
因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。
种面网构成晶体外形上的同种晶面。
晶体生长过程中，晶面平行向外推移，程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
如何，对应晶面间的夹角恒定不变。
面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。
02晶体光学基础(二)
如果Ne、No随入射光波波长改 变的变化幅度不相同；可能有两种 情况。当Ne、No随入射光波波长增 大而变化幅度减小时，Ne、No色散 曲线之间的间距向波长增大方向变 小(图B)。各单色光光率体的Ne轴 与No轴长短差距变小，其双折率随 入射光波波长增大而减小。 当Ne、No随入射光波波长增大 而变化幅度增大时，Ne、No色散曲 线之间的间距向波长增大方向加大 (图C)。各单色光光率体的Ne轴与 No轴长短差距变大，其双折率随入 射光波波长增大而增大。在这两种 情况中，各单色光的光率体不仅大 小不同，而且旋转椭球体的长短轴 之比发生改变。
现以斜方晶系矿物镁橄榄石 为例说明二轴晶光率体的构成。 当光波沿镁橄榄石z晶轴方向 射入晶体时，发生双折射，分解 形成两种偏光。其一振动方向平 行X晶轴，测得相应的折射率值等 于1.715；另一种偏光振动方向平 行Y晶轴，测得相应的折射率值等 于1.651。在x晶轴方向上，由中 心向两边按比例截取折射率值 1.715，在y晶轴方向上，由中心 向两边按比例截取折射率值1.651； 以此二线段为长短半径构成垂直 入射光波(垂直z晶轴)的椭圆切面。
当 Ng-Nm ＜ Nm-Np 时 ， 为负光性。此时， Nm 值比 较接近 Ng 值，以 Nm 为半径， 在 Ng 轴与 Np 轴之间所作的 两个圆切面，必定更靠近 Ng 轴；而垂直两个圆切面 的两个光轴必更靠近 Np 轴。 因此，两个光轴之间的锐 角等分线必为Np轴。 由上述情况可知，二 轴晶矿物的光性符号也可 根据BXa是Ng轴还是Np轴确 定。当Bxa＝Ng时，为正光 性；Bxa＝Np时，为负光性。
2、低级晶族晶体的光性方位 低级晶族晶体(二轴晶)的 光率体为三轴椭球体，具有三 个互相垂直的三次对称轴(主 轴)，三个对称面(主轴面)和一 个对称中心。其对称要素与斜 方晶系晶体的对称要素(3L23PC) 相同。因此，斜方晶系晶体的 光性方位是：光率体的三个主 轴与晶体的三个结晶轴一致。 究竟是哪一个主轴与哪一个晶 轴一致，因矿物不同而不同， 如黄玉是Np＝X，Nm＝Y，Ng＝Z。
第2章 贵金属材料晶体学基础
每个面心立方结构晶胞中实际只有 1/8×8+1/2 ×6=4 晶格常数只用晶胞的棱边长a一个数值表示，原 子间最小距离为两个原子中心的距离，等于原子的 直径d： d=√2/2a 面心立方结构n=4 致密度：K=nv/V K=n×原子球体体积/晶胞体积 = 4 ×(4/3πR3）/a3 =0.74=74%
c 密排六方结构
每个面心立方结构晶胞中实际只有： 1/6×12+1/2×2+3=6 晶格常数有2个，六方底面的边长a与上下底面的间 距c（即六方柱的高度），它们之比c/a称为密排六方 结构的轴比,理想轴比为1.633。 原子的直径d与a的关系为： d=a
K=nv/V =0.74=74% 配位数为12 最密排面为{0001}面 密排六方结构和面心立方结构的配位数 和致密度都相等，因为都为最紧密堆积， 从晶体化学来看还有很多相似的性质。
第2章 贵金属材料晶 体学基础
第1节晶体结构及晶体结构间隙
1 晶体 晶体是内部质点（原子、离子或分子）在三维 空间周期性地重复排列构成的固体物质 晶体具有自限性、均一性、各项异性、对称性、最 小内能性 （1） 晶体与非晶体 晶体 非晶体 内部构造 宏观外形 方向性 具有格子构造 具有规则的几何外 形 各向异性 不具格子构造 不具有规则的几 何外形 各向同性
1 固溶体 固溶体是原子溶入固体溶剂中所形成的均一的 结晶相。固溶体的一个特点是成分可以在一定范围 内连续变化，这种变化不引起原来溶剂金属的点阵 类型发生改变 固溶体 置换固溶体 间隙固溶体
（1）置换固溶体 溶质原子置换了溶剂结构中的一些溶剂原子
影响固溶体固溶度的因素： a 组员的晶体结构因素 b 原子尺寸因素 c 化学亲和力因素
（1）正常价化合物 一般有AB,A2B(AB2),A3B2三种类型，分 子式对应相同类型分子的离子化合物。
1-2 晶体学基础
晶向指数的确定步骤：
4 i
1)以晶胞的某一阵点O为原点，过原点的 晶轴为坐标轴，以晶胞点阵矢量的长度 ． 作为坐标轴的长度单位.
2)过原点O作一直线OP，使其平行于待定的晶向。 3)在直线OP上任取一点P，求出P在三个坐标轴 上的坐标值。 4) 将这3个坐标值化为最小整数u,v,w,加上方 括号,[uvw]即为待定晶向的晶向指数。
为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行 的直线将所有阵点连接起来，于是就构成一个 三维几何格架，称为空间格子，也叫晶格。
导出空间格子的方法：
首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照 一定的规律连接起来就形成了空间格子。
相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）
5.628Ǻ
2.8148Ǻ
1 11 1 1 1
111 1 1 1
晶向族：由晶体学上的等价晶向构成
晶面指数
4 i
三、晶面指数 晶体内部构造中由物质质点所组成的平面 称为晶面， 用来表征晶面的一组数字称为晶面指数。
n i
晶面指数的确定步骤 1) 建立坐标系,方法同晶向指数，但坐标原点 不能在待确定指数的晶面上。 2) 求待定晶面在三个坐标上的截距。 若晶面与某轴平行，则在此轴上截距为∞； 若晶面与某轴负方向相截，则在此轴上 截距为一负值 3) 取截距的倒数，并化成互质的整数比， 加上圆括号，记为（hkl），即为晶面指数。
● ●
结点：空间格子中的等同点。
行列：结点在直线上的排列。
行列中相邻结点间的距离称结点间距。同行列方向上结
点间距相等；不同方向的行列，结点间距一般不等。
●
面网：结点在平面上的分布。
单位面积内结点的数目称面网密度；相邻面网间的垂直 距离称面网间距。 相互平行的面网间面网密度和面网间距相等；否则一般 不等且面网密度大的其面网间距亦大。
晶体学基础第二章-晶体的宏观对称元素的组合
对称元素的组合规律：
cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2) sin( / sin( / 2) cos( ) cos ' cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2)
sin( / 2)sin( / 2) cos '' cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2)
例如: L4 ·L2L44L2 , L3 ·L2L33L2
定理二：Ln ·P LnP C (n为偶数)
逆定理：Ln ·C LnP C (n为偶数) P ·C LnP C (n为偶数)
这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生 第三者。
因为偶次轴包含L2 。
定理三：Ln 半）。
·P//
LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一
逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。
思考: 两个对称面相交60°，交线处会产生什么对称轴?
定理四：Lin ·L2或 Lin ·P// Linn/2L2 n/2P// （n为偶数） Lin ·L2 或 Lin ·P// Linn L2 nP//（n为奇数）
sin( / 2)sin( / 2)
对称轴间夹角为特殊角度的对称元素的组合规律： 对称轴间夹角 0°或 90°
定理一：Ln ·L2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，
其基转角是两L2夹角的两倍，并导出其他n-2个 在垂直Ln平面内的L2。
例：四方四面体 Li42L2 2P
2.晶体学基础2
g* 180-g
School of Physics and Information Technology, SNNU
g
单斜点阵
单斜点阵沿c轴投影图 c
c b bg a
a
r*100
r*010 b g a 110 r*010
r*100 g*
a* = r*100 = 1/d100 = 1/(a· cos[g-90])= 1/(a· sing)
简单点阵
1、简单点阵
r*010=1/d010 r*010
b a
d010
100
000
r*100
School of Physics and Information Technology, SNNU
简单点阵
1、简单点阵
r*110 b a b* 000 d110 010 110 r*110
a*
100
a* = r*100 = 1/d100 = 1/a b* = r*010 = 1/d010 = 1/b
b* = r*010 = 1/d010 = 1/(b· cos[g-90])= 1/(b· sing)
c* = r*001 = 1/d001 = 1/c g* 180-g
School of Physics and Information Technology, SNNU
School of Physics and Information Technology, SNNU
倒易点阵 Reciprocal lattice
定义：对于一个由 的倒易点阵，其基矢满足 定义的正点阵基矢，都有一个对应
（1）
构成倒易点阵（数学）: 由解析几何矢量运算法则得到： （2）
第2章 晶体学基础2.1
晶体与非晶体的区别：
1. 原子规排：晶体中原子（分子或离子）在三维空间呈周 期性重复排列，而非晶体的原子无规则排列的。 2. 固定熔点：晶体具有固定的熔点，非晶体无固定的熔点， 液固转变是在一定温度范围内进行。 3. 各向异性：晶体具有各向异性（anisotropy），非晶体为 各向同性。
二、空间点阵和晶胞
晶 格 常 数 示 意 图
3. 空间点阵类型（晶系）
根据６个参数间相关系可将全部空间点阵归为七大类，十四种（称为 布拉菲点阵）。
1）七大晶系
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
三斜晶系（Triclinic System） 单斜晶系（Monoclinic System） 正交晶系（斜方晶系，Orthogonal System） 四方晶系（正方晶系，Tetragonal System） 立方晶系（Cubic System） 六方晶系（Hexagonal System） 菱形晶系（Rhombohedral System）
晶体结构的微观特征 晶体可看作某种结构单元（基元）在三维空间作周期 性规则排列 质点或基元(basis)：原子、分子、离子或原子团 (组 成、位形、取向均同)
抽象为 质点 抽象为
阵点
质点的三维空间周期排列
空间点阵
1. 空间点阵
空间格子：把晶体中质点的中心用直线联起来构成的空 间格架即空间格子(Lattice)。 晶体点阵：由这些结点构成的空间总体称为晶体点阵。 晶体结点为物质质点的中心位置。 空间点阵中结点仅有几何意义，并不真正代表任何质点。
⑦菱形晶系（RHOMBOHEDRAL SYSTEM） 特点：对称轴和单胞的一个轴 （设a轴）夹角为某一角度α， 另外两个轴和对称轴夹角亦为 α并且长度相等。这三个轴构 成的六面体就是一个菱形单胞。 菱形晶系点阵常数间的关系为：
晶体学基础2pdf
:
••••
找出下列点阵结构图形的结构单元
找出下列点阵结构图形的结构单元
找出下列点阵结构图形的结构单元
六方格子中心带点破坏了6重轴的对称性；正方和一般平行四边形可划成更小的格子；矩形划成更小的格子时则破坏了度的规则性。
所以平面点阵有且只有五种正当点阵型式，即：
(2)五种型式
①考虑复格子--点阵要求只有在格子中心有一个点的型式, 称为平面带心格子。
d 按正当点阵单位的划分原则--只有矩形带心格子是正当格子可取成更小非点阵
格子中心点破坏了6重轴对称
(001)(110)。
晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵
2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个 正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系
—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成
晶体学基础
0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。
晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号
Dnh群
群
Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
的反演面，
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号：
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导：
A类组合：高次轴（n > 2）不多于1个 B类组合论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号： 国际（Hermann-Mauguin）符号 熊夫利（Schoenflies）符号 C，D，S，T，O i，s，v，h，d
晶体点群的熊夫利符号：
—— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个
群
群加上中心反演
群
群加上反演面
群
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素23晶体的32种点群及其符号一晶体对称元素的组合晶体的对称元素间至少有一点重合晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合点群晶体对称元素组合的推导
2.3 晶体的32种点群及其符号
第1章 晶体学基础-2-倒格子
13
晶面间距的计算
晶面间距(面网间距)指 两个相邻晶面间的垂直距离。 对晶面(hkl), 一般用dhkl来 表示其晶面间距。一般的规 律是，在空间点阵中，晶面 的晶面指数越小，其晶面间 距越大，晶面的结点密度越 大，它的X射线衍射强度越 大，它的重要性越大。晶面 间距在X射线分析中是十分 重要的。
d2 HKL
a2 sin 2
b2
c2 sin 2
ac sin 2
14
晶面间距的计算
1 d HKL
RH* KL
1 d2
HKL
R* HKL
2
R* HKL
R* HKL
H a* Kb* Lc* H a* Kb* Lc*
2
2
2
H 2 a* K 2b* L2 c* 2HK a* b* 2HLa* c* 2KLb* c*
将 a*、b*、c* 的定义式代入上式，经适当运算后，即可得各
之平行六面体）体积，按矢量混 合积几何意义，V=a1(a2×a3)。
c* c b b*
a* a
3
倒易点阵参数及*（a*2与a*3夹角）、*（a*3与 a*1夹角）和*（a*1与a*2夹角）由正点阵参数表达为
a*1=(a2a3sin)/V a*2=(a3a1sin)/V a*3=(a1a2sin)/V cos*[=(a*2·a*3)/a*2a*3]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*3·a*1)/a*3a*1]=(coscos-cos)/sinsin cos*[=(a*1·a*2)/a*1a*2]=(coscos-cos)/sinsin
用倒易点阵处理衍射问题时，能使几何概念更清楚， 数学推理简化。可以简单地想象，每一幅单晶的衍射 花样就是倒易点阵在该花样平面上的投影。
2.晶体学基础
三轴和四轴晶向指数之间的关系
1 t (u v) (U V ) 3 w W 2 1 u U V 3 3 2 1 v V U 3 3
2.2 倒易点阵 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照 一定的对应关系建立起来的空间点阵， 是晶体点阵的另一种表达形式[ 之所以称为倒易点阵，是因为它的基 矢量与晶体点阵存在着倒易关系。为 了便于区别，有时将晶体点阵称为正 点阵
引入倒易点阵的作用
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射
问题，能使几何关系更清楚，数学推演 更简化。 晶体点阵中的二维平面在倒易点阵中只 对应一个零维的倒易阵点，晶面间距和 取向这两个参量在倒易点阵中只用一个 倒易矢量就可以表达。 衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易 阵点的投影，从这个意义上讲，倒易点 阵本身就具有衍射属性
为了从（2-9）式得出倒易基矢量的长度，
将（2-9）式改写成其标量形式：
1 1 1 a* b* c* aCos bCos cCos
（2-10） 式中 、ψ、ω分别为a*与a; b*与 b; c* 与c的夹角
图2-37以倒易基矢量c*为例，画出了它
与正点阵的对应关系 其中OP为c在c*上的投影，同时也是a、 b所构成的（001）晶面的面间距d001 OP=c cosω＝ d001 1 c*= 1/c cosω=
第二章 晶体学基础
2.1 晶体学基础 2.2 倒易点阵 2.3 倒易矢量的基本性质
2.1
晶
体
学 基
础
根据阵胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类：
（l）简单点阵：用字母P表示。仅在阵胞
的八个顶点上有阵点，每个阵点同时为相 邻的八个平行六面体所共有，因此，每个 阵胞只占有一个阵点。阵点坐标的表示方 法为：以阵胞的任意顶点为坐标原点，以 与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用 点阵周期（a、b、c）为度量单位。阵胞顶 点的阵点坐标为000。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
晶体学基础2
§1．4晶体的对称性
我们知道，晶体是由原子或原子团在三维空间中规则地重复排列而成的固体。
若对晶体实施某种操作，则会使晶体各原子的位置发生变化。
人们定义，当操作使各原子的位置发生变换，若变换后的晶体状态与变换前的状态相同，则称这个操作为对称操作。
对称操作所依赖的几何要素叫对称元素。
晶体的对称性可分为宏观对称性和微观对称性。
宏观对称性也就是布喇菲原胞的对称性，它由宏观对称性（或称点对称操作）来描述；微观对称性指的是无限在晶体的空间对称性，它由点对称操作和平移对称操作的组合来共同描述。
下面我们来介绍点对称操作。
1. 4. 1 点对称操作
在一般的对称操作中，空间有许多点在动，且操作前后状态是一样的，在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作称为点对称操作。
（1） n 度旋转对称轴
大家知道，一正方形绕中心且与成垂直的轴旋转
2
π
后，能够自身重合，这种轴称为旋转轴。
如果晶体绕某一旋转轴旋转
2n
π
后，仍能自身重合，则称其为n 度旋转对称轴。
利用晶体周期性的限制，可以证明这里n 值
只能取1，2，3，4，6共5个整数，也就是说不具有5度或6度以上的旋转对称轴，如图1-4-1所示，不难设想，如果晶体中有n=5的对称轴，则垂直于轴的平
图1-4-1 不可能使五边形互相连接
充满充满整个平面
面上格点的分布至少应是五边形，但这些五边形不可能相互拼接而充满整个平面，从而不能保证晶格的周期性。
现在，已经发现一些固体具有5次旋转对称轴，这些具有5次或6次以上旋转对称轴，但又不具备周期性结构的固体称为准晶体。
（2）中心反演
中心反演作用于空间某一位置（x,y,z）后，使之变换为（-x,-y,-z），。
常用i 表示中心反演操作。
如旋转对称轴的对称元素是一条直线一样，中心反演的对称元素是一个点，中心反演又称为对称心。
（3）n度旋转反演轴
后，再经过中心反演，晶体能自身重合，则称该晶体绕某一固定轴旋转2
n
轴为n度旋转反演轴，通常以n来表示n度旋转反演轴，当然这里n只能取1，2，3，4，6，即不能有5度或6度以上的旋转反演轴。
具有n度旋转反演轴的晶体不一定具有n度旋转轴和中心反演的对称操作。
如图1-4-2分析1,2,3,4,6，1就是反演中心i；2的对称元素是垂直于转轴的对称面，通常又称为镜面操作，常以m或σ为表示；3的对称性与3度旋转轴加上对称心的总效果是一样的，不是一种独立的对称操作；同样不是一种独立的对称操作的是6，其对称性是由3度
旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果一样；这里，4是一种独立的对称操作，它不能由其他的操作组合得到。
所以，晶体的点对称操作中只有8种独立的基本操作：1，2，3，4，6，i,m,4。
下面我们介绍一下立方体的对称元素：它具有3个互相垂直的4度旋转轴，4个3度轴（即体对角线），6个2度轴（即面对角线），3个与4度轴垂直的对称面，6个与2度轴垂直的对称面，以及1个对称心。
图1-4-3中只给出了三种对称轴。
这些基本对称操作的组合能构成32种点群，每一种点群对应于晶体的一种宏观对称性。
1．平移对称操作
平移对称操作分为两类：一类是平移格矢的整数倍，这类操作与点对称操作组合可构成73种点式空间群（或称为简单空间群）；另一类是
平称格矢的非整数倍，这类平移与旋转和镜像组合产生两类新的操作，
n度螺旋轴和滑移反映面。
这两种操作与点对称操作组合将得到157种
非点式空间群。
平移操作和点对称操作的组合共给出230种空间群。
每
种空间群唯一地对应一种晶体结构。
自然界的晶体结构只能有230种。
测定空间群，推断原子的具体排列方式是晶
体结构分析的主要内容。
1．4．2晶系与布喇菲原胞
图1-4-3 立方体的旋转轴
2度
按照宏观对称性的不同，可对晶体的空间点阵进行适应分类。
晶体的空间点阵又称为布喇菲格
子，可用既反映晶格周期性，又反映晶体对称性的晶胞（或称
布喇菲原胞）来分析。
这类晶胞不一定是体积最小的重复单元，一般结点不仅在顶点，而且可以在体
心上以及面心上。
而
且晶胞的基矢一般沿对称轴或对称面的法向，构成晶体的坐标系。
基矢的方向就是坐标轴的方向，称为晶轴。
基矢常用a,b,c 来表示，基矢间的夹角为α，β，γ，即a 与b 间的夹角为γ，b 与c 之间的夹角为α，而c 与a 之间的夹角为β，如图1-4-4所示。
结晶学中把a, b, c 满足同一类要求的一种或数种布喇菲格子称为一个晶系。
根据描述晶胞的坐标系的性质，空间点阵可分为七大晶系，即三斜，单斜，正交，正方（四角），立方，三角和六角晶系。
每一类晶系又包括一种或数种特征性的布喇菲格子。
七大晶系共有14种布喇菲格子。
表1.2列出七大晶系的基本特征。
图1-4-5给出14种布喇菲格子的示意图。
表1.2 七个晶系的特征
晶系 特征对称元素 晶胞的特征
三斜
没有对称轴或只有一个反演
轴
,αβγ≠≠≠≠a b c
单斜
一个2度轴而无高度轴
,90αγβ≠≠==︒≠a b c
b
γ
β
α c 图1-4-4 基矢与基矢的夹角
正交 三个互相垂直的2度轴
,90αβγ≠≠===︒a b c 三方 一个3度轴 ,90αβγ≠≠==≠︒a b c
四方 一个4度轴 ,90αβγ≠===︒a =b c 六方 一个6度轴 ,90,120αβγ≠==︒=︒a =b c 立方
四个3度轴
,90αβγ====︒a b =c
§1．5倒易点阵
1．5．1倒格子基矢定义
晶体的几何结构形成一空间点阵，空间点阵由3个初基
原胞的基矢a 1,a 2,a 3来描述。
由这套基矢可以定义出3个新
矢量：
图1-4-5 14种布拉伐格子示意图
(1)简单三斜(2)简单单斜(3)底心三斜(4) 简单正交(5)底心正交,(6)体心正交(7)面心正交(8)六角(9)三角(10)简单四方(11)
体心四方(12)简单立方(13)本心立方(14)面心立方
1
232
313122()2()2()c c
c v v v πππ
⎧=⨯⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=⨯⎪⎩
b a a b a a b a a ………………………………………………………………（1-5-1）
式（1-5-1）称为倒易点阵（或倒格子）的基矢，其中123()c v =⋅⨯a a a ，是晶体原胞的体积。
固体物理学中把由a 1,a 2,a 33个基矢描述的空间点阵称为正点阵（或正格子），而由基矢b 1,b 2,b 3描述的空间点阵称为倒易点阵（或倒格子）。
每个正格子都有一个倒格子与之相对应，正格子的量纲为[长度]，倒格子的量纲为[长度]-1，与波矢的量纲相同。
倒格子空间实质上就是波矢（状态）空间，用它可很方便地描述各种波的状态。
倒格子中的格点（简称倒格点）的位矢可表示为：
112233h h h h =++G b b b ，其中h 1,h 2,h 3为整数，G h 常称为倒格矢。
正格子基矢与倒格子互为倒易，它们的基矢具有如下的关系：
2,0,i j i j
i j
π=⎧⋅=⎨
≠⎩a b （其中i 和j 均为1,2,3）…………………………………（1-5-2）。