向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构

n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用 aT ,bT , T , T 等表示，如：
aT (a1 ,a2 , ,an )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
(a a2
ij
) mn
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
证 设有x1, x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1Biblioteka Baidu
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
n维0向量： （0，0， ，0）T
注：维数不同的零向量是不同的向量
I n阶单位矩阵 的n个列向量分别记为： n
1
0
e
0 , e
1
1 2
0
0
称为n维基本向量
0
e n 0
1
二、向量的线性运算
例6.含有零向量的向量组必线性相关.
例7.讨论向量组a
1 1,
1 b 2,
1 c 0
1
1
0
解
的线性相关性.
设 1a 2b 3c 0
1 2 3 0
即
1 22 0
1 2 0
11 1
系数行列式 D 1 2 0 1 0
11 0
方程组只有零解 1 2 3 0所以,向量组
0
n 0
所以，1 2 n 0 即单位坐标向量组1,2, ,n线性无关.
结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组
x11 x2 2 xmm 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A (1,2 , m ).
例10 已知向量组1,2,3 线性无关 ,b1 1 2,
b2 2 3,b3 3 1, 试证b1,b2,b3线性无关 .
,
，对于任何一
m
2组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合 ，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2， ,m，使 b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
3.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充 要 条 件
是 两 向 量 的 分 量 对 应 成比 例 ， 几 何 意 义 是 两 向量 共 线 ；
三 个 向 量 相 关 的 几 何 意义 是 三 向 量 共 面.
例5.一个零向量形成的向量组是线性相关的， 一个非零向量 a 0 是线性无关的.
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
1 x1 2 x2 n xn
方程组是否有解转变为能否找到一组数 x1, x2 ,L xn
使 1 x1 2 x2 n xn 成立。
定义
给定向量组A :1,2 ,
a, b, c是线性无关的.
例8 n 维向量组
1 1,0, ,0T ,2 0,1, ,0T , ，n 0,0, ,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 设 11 22 nn 0
1 0
0 0
则
0
2
0
0
0 0
n 0
1 0
1
向量的加法和数乘统称为向量的线性运算
注：设n维向量 a1 a2 an T , b1 b2 bn T
的对应分量相等，即
ai bi (i 1, 2, , n)
称这两个量是相等的，即
注：1 与 要么都是行向量，要么都是列向量。 2 与 的分量个数应相同。
，， Rn , k, l R
1
2
3 0 0
0 0, 0,L 0T 是零向量
4 Rn存在 Rn，使 0
5 k k k
6 k l k l
7 1
三、线性组合及相关性
线性方程组的向量表示：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a
a2
an
称 为n维 向 量 ， 这n个 数 称 为 该 向 量 的n个 分 量 ，
第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
分量全为复数的向量称为复向量.
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
a1
a
a2
an
第四章 向量组的线性相关性与
线性方程组的解的结构
第一节 n维向量的线性相关性 第二节 向量组的秩 第三节 线性方程组解的结构
第一节 n维向量的线性相关性
一、n维向量的概念
定义1
组
n 个 有 次 序 的 数a1 , a2 , , an 所 组 成 的 数
a (a1, a2 , , an )
a1
设 (a1 , a2 , , an )T , (b1 , b2 , , bn )T 是n维 实 向 量 ， k是实数域中的一个数，则向量的加法 和 数 乘 向 量k分 别 定 义
(a1 b1 , a2 b2 , , an bn )T k (ka1 , ka2 , , kan )T
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
定义3 给定向量组A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 , , km使 k11 k22 kmm 0
则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意 1. 若 1,2 ,
,
线
n
性
无
关,
则
只
有
当
1 n 0时, 才有 11 22 nn 0成立 .
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain