圆中的定值问题

圆中的定值问题

(一）探究a b⋅型定值问题

定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它

要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分

析、猜想、论证，从而使问题获得解决.

图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正

半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、

B、C、D四点.

此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.

例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。点P是上一动点，连接CP并延长交x轴于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上

⋅为定值，并求其值。

运动时，试探究MQ MH

练习1、如图，已知AB是⊙O的直径，点

C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线

交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

1AB；

（2）求证：BC=

2

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC 的值．

练习2、（2010•深圳）如图1所示，以点M（-1，0）为圆心的

x

⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．

（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；

（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且DP：PH=3：2，求cos∠QHC的值；

（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与E，C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足M N•MK=a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．

练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．

（1）求证：BE=IE；

（2）若AI⊥CE，

①求⊙A的半径；

②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ

并延长交y轴于G点，求AT•AG的值；

4、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BA C的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：

（1）⊙O的半径；

（2）sin∠BA P的值；

（3）AD•AE的值．

圆中的定值问题

（二）探究a b

±型定值问题

定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它

要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分

析、猜想、论证，从而使问题获得解决.

图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正

半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、

B、C、D四点.

此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.

例.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P是上一动点，过点D作⊙

M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，

当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，

并求其值.

变式练习.

如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙

M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是

上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在

上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.

例.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、

PD，当点P在上运动时，探究PC PD

PB

+

为定

值，并求其值.

练习1、如图，点P是上一动点，连接PC、PB、

PD，若点P在上运动时，探究PC PD

PB

为定值，

并求其值.

练习2、如图，E点为x轴正半轴上一点，⊙E

交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P

点为劣弧BC 上一个动点，且A（-1，0），E（1，0）．

（1）如图1，求点C的坐标；

（2）如图2，连接PA，PC．若CQ平分∠PCD交PA于Q点，当P点在运动时，线段AQ的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；

（3）如图3，连接PD ，当P 点在运动时（不与B 、C 两点重合），给出下列两个结论:①

变，其中有且仅有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值。

课后练习

如图，直线y x =-+分别交y 轴、x 轴于A 、B

两点，以y 轴上一点M 为圆心作⊙M 切AB 于点B ，

⊙M 交x 轴于点C ，交y 轴于D 、E 两点.

（1）求圆心M 的坐标；

（2）作直径BR ，F 是弦BC 上任意一点，过点F

作FG ⊥FG 交直线AB 于点G ，GH ⊥x 轴于H ，点F

在运动过程中，线段FH 的长是否变化？若不变，

求其值；若变化，说明理由；

（3）如图，过点O 、C 、E 三点作⊙N ，P 是⊙M

上的弧BE 上的一个动点，连接CP 交⊙N 于点Q ，

连接PB.当点P 在弧BE 上运动时，给出两个结论：①PQ PB CQ -为定值；②PQ PB CQ

+为定值.其中有且只有一个是正确的，请证明正确的结论并求出其值.

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）