Green公式

A
L
同理可证:
c
E
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx.
o
x
两式相加得:
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2): 若区域D由分段光滑 的闭曲线L围成. 以如图所示为例. A
D2 L2
B
L3 D3
C
用线段AB, BC将D分成三个既是X—
D
型又是Y—型的区域D1, D2, D3, 其边 界分别为CBA+L1, AB+L2和BC+L3.
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
L由L1与L2组成
二、Green 公式
定理1: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数
P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有
D
(Q x
P y
)dxdy
其中L是D的取正向的边界曲
线. 公式(1)叫Green公式.
证明(1): 若区域D既是X
L Pdx
y
d
x 1( y)
Qdy
解 利用格林公式，注意L不是闭路, 故加作辅助线：直线BA
P e y cos x,Q x 1 e y sin x,
P e y cos x, Q 1 e y cos x
y
x
dxdy
L L BA AB
D
AB
1
dy 2
2 1
2
y
B(0,1)
o
Lx
A(0,一1)
例 5 计算 e y2dxdy,其中 D是
D1
L1
L
则
D
(
Q x
P y
)dxdy
D1 D2 D3
(Q x
P y
)dxdy
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
CBAL1 Pdx Qdy ABL2 Pdx Qdy BCL3 Pdx Qdy
CB Pdx Qdy BA Pdx Qdy L1 Pdx Qdy
L Pdx Qdy. (其中L1, L2, L3构成D的正向边界曲线)
Green公式的实质: 沟通了沿闭曲线L上的对坐标 的曲线积分与由L围成的闭区域 D上的二重积分之间 的联系.
格林公式成立的条件：
1）P, Q 在D上具有一阶连续偏导数; 2）L是闭路.
格林公式的应用计算平面面积
格林公式:
y2 x2
x2 y2 )2
P .
y
(1) 当(0, 0) D时,
y L
由格林公式知
D
L
xdy x2
ydx y2
0
o
x
(2) 当(0,0) D时,
y
作位于D 内圆周 l : x2 y2 r 2,
L
记D1由L 和l 所围成,
应用格林公式,得
l D1
or
x
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
AB Pdx Qdy L2 Pdx Qdy
BC Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy (其中L是D的正向边界曲线)
证明(3): 若区域D由不止一条
H
闭曲线所围成, 如图. 添加直线段AB, EF. 则区域D
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
A
1
2 L
xdy
ydx .
取P 0, Q x, 得 A L xdy 取P y, Q 0, 得 A L ydx
例1 求椭圆 x a cos , y bsin 所围成图形的面积A.
ydx y2
0
( 其 中l 的 方 向
L
xdy x2
ydx y2
l
xdy x2
ydx y2
取逆时针方向)
2r 2
0
cos2
r2
r2
sin2
d
(注意格林公式的条件)
2 .
例4 计算 ( x ห้องสมุดไป่ตู้ e y sin x)dy e y cos xdx
L
其中L是由A(0,一1)沿半圆周 x 1 y2 到B(0,1)。
y F
D
2
(1)
(x) x
B
2
(
y
)
—型又是Y—型, 即平行于坐 A
L
标轴的直线穿过区域内部时 c
y 1( x)
与边界L至多交于两点.
E
oa
bx
D {(x, y) 1( x) y 2( x), a x b}
D {(x, y) 1( y) x 2( y), c y d}
则
D
Q x
1 2 (abcos2 absin2 )d
20
ab
例2 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2x ydx x2 dy 0 L
证: 令 P 2x y, Q x2 , 则
利用格林公式 , 得
2x y d x x2 d y 0dxd y 0
L
D
xdy ydx
例3 计算 L x 2 y 2 ， 其中L为一条无重点、分
dxdy
d c
dy 2 ( y) 1( y)
Qdx x
cd Q( 2( y), y)dy cd Q(1( y), y)dy
y
EBF Q( x, y)dy EAF Q( x, y)dy EBF Q( x, y)dy FAE Q( x, y)dy
d
F x 2( y)
x 1( y) D
B
LQ( x, y)dy
L1 D L3
的正向边界曲线由EHA(L1), AB, L2, BA, AGE(L1), EF, L3及FE构成.
D
L2 B
F
则由证明(2)知,
D
(Q x
P y
)dxdy
A GE
EHA AB L2 BA AGE EF L3 FE Pdx Qdy
(L2 L3 L1 )(Pdx Qdy)
段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时
针方向. y
y
D
L
l
练习
o
x
DL x
设平面曲线 C : 2x 2 y 2 1 取正向，则曲线积分
xdy ydx
C x2 y2
。（06）解：2
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当 x2
y2
0时,
有Q x
(
§10.3 Green 公式
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部 分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连 通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
平面区域D的边 界曲线L的正向: 当 观察者沿边界曲线L 的正向行走时, 区域 D总在他的左边.
L1
D
L2
L1
D
L2