材料力学课件：静不定问题分析-1

内容
静不定问题分析 §14-1 引言 §14-2 用力法分析静不定问题
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静不定问题分析 §14-1 引言
静定问题： 未知力数 = 平衡方程数 静不定问题： 未知力数 > 平衡方程数
静不定次数(静不定度)： 未知力数-平衡方程数 多余约束数
静不定问题的一般分类： 外力静不定 内力静不定 混合(一般)静不定
C 0
单位载荷状态：
M( x1 ) x1 M( x2 ) x2
C
1 EI
[
l
0 M( x1 ) M( x1 )dx1
l
0 M ( x2 ) M ( x2 )dx2 ]
2HC
M l
0
HC
M 2l
Page16
M
l
A
B
l
求解A 利用单位载荷法求解
C
1 A
1 EI
[
l
0 M( x1)M( x1 )dx1
4 - 24 + 3 = -1
5 - 24 + 3 = 0
6 - 24 + 3 = 1
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平面刚架： 三度内力静不定
断开：内力静定
刚性连接：多了三 个约束
两度内力静不定
六度内力静不定
四度内力静不定
封闭框架三内，加一铰减一，加一刚接杆加三，加一铰支杆加一
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平面曲杆：
三度内力静不定 两度内力静不定 ➢ 例：判断内力静不定度
2 2
2 2
1 1
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a 4 a 57 83 6
a
m / m
8 i 1
Ni Nili EA
2 1
P
a [(2 EA
2)N7 (2
2)P] 0
N7
2P 2
静不定结构的受力分析完成
如何求加载点的水平位移？
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思考：求加载点的水平位移，如何选择单位载荷状态
a
a
1
4
2
4
2
Page2
➢ 外力静不定
存在多余外部约束
外力静不定(一度)
外力静不定(三度)
外力静不定(六度)
平面静定结构： 3个约束 空间静定结构： 6个约束
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➢ 内力静不定 存在多余内部约束 平面桁架：
内力静不定度 = m - 2n + 3 m: 杆数 n: 节点数
外力静定 内力静不定(一度)
几何可变
内力静定
5度
5度
4度
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➢ 混合(一般)静不定
2度
6度
➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
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➢ 组合梁或梁杆结构的静不定度分析
安装法 2度
拆卸法
2度
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拆卸法
1度
安装法 两杆多余，2度内力静不定
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➢ 静不定问题的分析方法： 力法： 以多余未知力为待定量，利用变形 协调条件列方程。 位移法： 以位移为待定量，利用平衡条件求解。
静力许可场：内力与外力满足平衡方程与静力边界条件 运动许可场： 虚位移和虚变形满足位移边界与变形连续
条件
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1
A
l
B
HA HC
HA RA
l
RA RC
C
1 RAl H Al
1 A
HC
原结构静力许可场
RC
l B
HA 0
1
A
l
B
HA RA
l
RA RC
l
C
1 RC l H Al
C
RC
Page13
➢ 分析要点： 1、 去除多余约束，建立相当系统 2、 建立补充方程（找变形协调条件） 3、 确定多余未知力(多余内力和多余外力) 基本系统和相当系统不唯一
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例1：已知EI为常数，求A
A
M l
B
解： 解静不定，求解多余未知力
l
存在1个多余外部约束：
一度外力静不定
C
1、 去除多余约束，建立相当系统
l
0 M( x2 )M( x2 )dx2]
1
l
A
B
l 对单位载荷状态，还要求解静不定问题
C
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x1
M
l
A
B
以相当系统为真实载荷状态 将单位载荷加在基本系统上
l x2
M
1
HC C
M ( x1 ) ( l HC )x1 M ( x1 ) l x1 1
M ( x2 ) HC x2
M( x2 ) 0
1
l
A
B
l
M HC 2l
C
A
1 EI
lM 1
Ml
0
2l
x1( l
x1 1)dx1
12EI
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单位载荷能否加在基本系统上？ 应该加在什么样的基本系统上？ 单位载荷法的理论基础是虚功原理 虚功原理： 外力在虚位移作功=内力在虚变形作功
静力许可场的外力在运动许可场的位移上所作虚功 静力许可场的内力在运动许可场的变形上所作虚功
是否是原结构静力 许可场？
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例2：图示桁架，各杆EA相同，求各杆轴力
a
a
4
2
a 57
8 3
1
6
解： 判断静不定度： P 存在1个多余内部约束
内力静不定度： 8 - 25 + 3 = 1
4
m
5 N7m’N7 8 3
2 1
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、 去除多余约束，建立相当系统
P
2、 建立补充方程(找变形协调条件)
m/m 0
Page21
4
5
N7
N7 8 3
2 1
6
4
2
51
18 3
1
6
m / m
8 i 1
Ni Nili EA
0
利用单位载荷法建立补充方程
P
1 2 3
4
5
6 7 8
li
Ni
2a 2P
a
P
a
2 2
N7
P
a
2 2 N7
a
2 2
N7
a
2 2
N7
P
2a
N7
2a N7 2P
Ni 0 0
2 2
2 2
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§14-2 用力法分析静不定问题
➢ 几个概念： 基本系统： 解除多余约束后的静定结构（静定基）
相当系统： 作用有载荷和多余反力的基本系统。
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➢ 第一类静不定问题：存在多余的外部约束
解除多余的外部约束，代之以支反力
相当系统
在解除约束处，建立变形协调条件
建立补充方程
M
A
l
BA
M l
2、 建立补充方程(找变形协调条件)
A
B
C 0
l
利用单位载荷法建立补充方程
HC C
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x1
M
l
A
B
HA RA HC
相当系统
x1 l
A
l x2 C RC B
l x2 1C
单位载荷状态
真实载荷状态(相当系统)：
HA HC
RA
M l
HC
M ( x1 )
(
M l
HC
) x1
M ( x2 ) HC x2
l
B
l
B
l
l
A RC
l
C
HC
RC
C 0 fC 0
C
A 0
fA 0
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➢ 第二类静不定问题： 存在多余的内部约束
切开提供多余内部约束的杆件，代之以截面上的内力 相当系统
利用切开截面的相对广义位移为零，建立变形协调条件 建立补充方程
m m’
m/m' 0 fm/m' 0
m/m' 0
a 57
8 3
1
P
5 7 83 1
6
6
1
1
1
4
2
5 7 83 1
4
7 5
83
2 1
4
7 5
83
2 1
6
6
6
只要保证单位载荷状态的外力与内力是原结构的静力许可场！
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例3：已知I=Aa2/10,求杆CH的轴力以及节点H的垂直位移
B
a
A
B