简单几何体
简单几何体的结构特征、直观图和三视图
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直观图是在平行投影下画出的空间图形
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第七章
立体几何
课前热身
1. (教材习题改编)如图所示, 4个三视图和4个 实物图配对正确的是( )
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第七章
立体几何
A. (1)c, (2)d, (3)b, (4)a B. B. (1)d, (2)c, (3)b, (4)a C. (1)c, (2)d, (3)a, (4)b D. (1)d, (2)c, (3)a, (4)b
不是棱锥. C不正确. 棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到, 其 各侧棱的延长线必交于一点, 故D是正确的.
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第七章
立体几何
考点2
简单几何体的三视图
画出如图所示物体的三视图.
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第七章
立体几何
【解】
(1)画主视图. 按主视图的投影方向,
从前往后看, 物体上的平面①实形可见, 主视
1 的线段, 长度为原来的 . 2
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第七章
立体几何
3. 三视图
长对正 (1)三视图的特点: 主、俯视图___________;
高平齐 主、左视图__________; 俯、左视图 宽相等 ___________, 前、后对应. (2)若相邻两物体的表面相交, 表面的交线是它 分界线 们的___________, 在三视图中, 分界线和可见 实 轮廓线都用_______线画出.
它们分别对应x′轴和y′轴, 两轴交于点O′, 使
∠x′O′y′＝45°, 它们确定的平面表示 水平平面 ________________.
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第七章
立体几何
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段, 在直观 平行 图中分别画成_______于x′轴和y′轴的线段 x (3)已知图形中平行于_______轴的线段, 在直 y 观图中保持原长度不变; 平行于________轴
立体几何-简单几何体
简单几何体
基本思想：利用空间图形，培养空间想象能力，分析图形及其结构特征
1，简单旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球
分析截面：横截面（中截面）、竖截面（轴截面）
2，简单多面体：棱柱（直、正）、棱锥（正）--高与斜高、棱台（正）---高与斜高
分析截面：横截面、竖截面
3，组合体
4，折叠与展开
位于同一面上的诸元素间的位置关系不变，而涉及两个面之间的图形之间则发生量的变化。
立体图形的展开或平面图形的折叠是培养空间立体感的好方法
1，已知某圆柱的底面半径为1cm，高为2cm，求该圆柱的侧面积，表面积和体积。
2，已知用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长。
3，圆台的两底面的半径分别为2和5
，母线长为
4，已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，求这两个截面圆心之间的距离。
5，已知某正三棱柱的底面边长为1，高为2，求该正三棱柱的侧面积，表面积和体积。
6，已知正四棱锥V A B C D
-，底面面积为16
，侧棱长为，计算它的高和斜高。
7，设正三棱台的上、下底面的边长分别为2cm和5cm，侧棱长为5cm，求这个棱台的高。
8，在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两的交角都是30︒，在一条棱上取A、B两
点，OA=4cm，OB=3cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面摩擦），求此绳在A、B之间的最短绳长。
简单几何体表面积体积
简单几何体的表面积与体积1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrlV ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12Ch ′ V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和． [难点正本 疑点清源] 1．几何体的侧面积和全面积几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小． 2．等积法等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________．2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P —BB 1C 1C 的体积为________．题型一 简单几何体的表面积例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80思维启迪：先通过三视图确定空间几何体的结构特征，然后再求表面积．探究提高(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是________cm2.题型二简单几何体的体积例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．思维启迪：思路一：先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二：先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与D—C1EF，再求四棱锥C1—B1EDF的体积．解 方法一 连接A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连接B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D 于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离． ∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ， 平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高． ∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1， ∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a .∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二 连接EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. 探究提高 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26 B.36 C.23 D.22题型三几何体的展开与折叠问题例3(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．(2)有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.思维启迪：(1)考虑折叠后所得几何体的形状及数量关系；(2)可利用圆柱的侧面展开图．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_______．.方法与技巧1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．要注意将空间问题转化为平面问题．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．182.已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′—ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.343．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．1444．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A．28＋65B．30＋6 5C．56＋125D．60＋12 5二、填空题(每小题5分，共15分)5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．6．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.7．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(共22分)8．(10分)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．9．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋3C.32π＋ 3 D.52π＋ 3 2．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为( ) A.25V B.13V C.23V D.310V 3．已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．33B ．2 3 C. 3 D ．1 二、填空题(每小题5分，共15分)4.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线 的长为______ cm.5．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是________．6．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是________．三、解答题7．(13分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示．图1 图2(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体D—ABC的体积．。
简单几何体的表面积和体积
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
立体几何初步——第一章：简单几何体
A．是梯形，不一定是等腰梯形
B．一定是等腰梯形
C） A．圆台是直角梯形绕它的一腰旋转后而成的几何体 B．用平行于圆锥底面的平面去截此圆锥得到一个圆锥和一个圆台 C．用过圆锥的轴的平面截圆锥得到的一定是等边三角形 D．一平面截圆锥，截口形状是圆
球的截面
用平面去截一个球，
C
截面都是圆面；
球面被经过球心的 平面截得的圆叫做 球的大圆；
其它截面圆叫做球的小圆；
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
把到定点O的距离等于或小于定长的点 的集合叫作球体，简称球。（包括球面）
其中： 1.把定点O叫作球心，定长叫作球的半径 2.到定点O的距离等于定长的点的集合叫作球 面。
二、填空题： （1）用一张６×８的矩形纸卷成一个圆柱，其轴
截面的面积为___4_8____．
（2）圆台的上、下底面的直径分别为２ cm,10cm,高为3cm，则圆台母线长为 5cm _______.
O
A
2、圆锥的表示：
用表示它的轴的字母表示， 如圆锥SO。
旋转轴叫做圆锥的轴。
S
垂直于轴的边旋转而成的曲 面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转
而成的曲面叫做圆锥
的侧面。
BO
无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆 锥的母线。
轴 母线
A 底面
六、圆台的结构特征
1、定义：用一个平行于圆锥底面的平 面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这 样的几何体叫做圆台。
球面距离 在球面上，两点之间
最短连线的长度，是经过这两点的
大圆在两点间的劣弧的长度，称这
段劣弧的长度为这
两点的球面距离； 举例：
P O
①飞机的飞行航线；
几类简单的几何体
Ａ．棱柱
Ｂ．棱锥
Ｃ．棱台
Ｄ．可能是棱台，也
可能不是棱台，但一定不是棱柱和棱锥
4/4/2020
在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是 如下各种几何体的4个顶点，① 这③些④几何体是-
----
矩形；不是矩形的平行四边形；有三
个三面角为形等的腰四直面D1角 体三 ；角 ④形 每， 个C有 面1 一 都个 是面等为边等三边角
三棱锥
四棱锥
五棱锥
1.如果棱锥的底面是正多边形, 且各侧面全等, 就称作正棱锥.
2.各侧面是等边三角形的正三棱锥是正四面体.
S
S
正六棱锥
正四面体
FE
Ａ
D
BC
A
C
B
（三）棱台 (1)用一个平行于棱锥底面的平面去
截棱锥, 底面与截面之间的部分叫作棱台.
棱锥
棱台
（2）棱台的表示
棱台ABCD-A1B1C1D1
几类简单的几何体
三维空间是人类生存的现实空间，生活 中蕴涵着丰富的几何体，请大家欣赏下 列各式各样的几何体。
(一)多面体
这些几何体是由平面多边形围成的
多面体：由平面多边形围成的几何体称为多面体. 这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公 共边，称为多面体的棱.每个多边形的顶点也就 是每条棱的端点，称为多面体的顶点.
棱台A1C
侧
（3）棱台的分类
棱
按底面多边形的边数分类可分为
A
三棱台、四棱台、五棱台等.
用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.
上底面
D1
C1
A1
B1
侧面
D
C
B
下底面
例1 判断下列说法的真假
简单几何体
5、棱柱
❖ 棱柱 有两面平行，其余面都是四边形，相邻四边形都平行。
❖ 底面：平行的两面。其余面叫侧面。面都是平行四边形。两
面的公共边叫棱。两侧面的公共边叫侧棱。侧面、底面的
公共顶点叫顶点。夹在两底间的垂直于底的直线段长叫高。
❖ 斜棱柱 侧棱不垂直于底的棱柱。直棱柱 侧棱垂直于底 的棱柱。正棱柱 侧棱垂直于底且底面是正多边形的棱柱。
2、旋转面与旋转体
❖一条平面曲线绕其所在平 面上的一定直线旋转形成 的曲面叫旋转面。
❖封闭的旋转面围成的几何 体叫旋转体。
3、圆柱 圆锥 圆台
❖ 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成 的曲面围成的几何体叫圆柱。
❖ 以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余 边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥。
1、球的认识
❖ 球面：半圆绕其直径旋转一周形成的曲面。半圆的 圆心叫球心，球心与球面上任一点的连线段叫球的 半径，连接球面上两点且过球心的线段叫球的直径。
❖ 球体：球面围成的几何体叫球。 ❖ 探究思考：a.球与球面有什么区别？
一个平面去截球面得到什么图形？ 其大小有无变化？
c.地球仪上的经线纬线是什么图形？ d.球面上两点间的最短连线是线段吗？
❖ 按底面边数又可称为三棱柱，四棱柱，五棱柱…。
❖ 以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴， 其余边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆台。在轴 上的这边长度叫高，垂直于轴的边形成底面，不垂 直于轴的边形成侧面且无论转到何处，这边都叫侧 面的母线。
❖ 探究思考：圆柱 圆锥 圆台有何关系？
4、简单多面体
❖若干个平面多边形围成的 几何体叫简单多面体。
41简单几何体及其三视图和直观图
案】( D )
3 A. 2 3 C. 12
3 B. 3 3 D. 24
题型三
几何体的直观图
例 3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长 为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于( B ) 【答案】 2 2 A. a 4 2 2 C. a 2 B．2 2a2 2 2 2 D. a 3
题型四 多面体和球 例 4 在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢
⑤圆锥所有轴截面都是全等的等腰三角形； ⑥圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中， 面积最大的 一个． 其中真命题的序号是________．
【答案】 ①√ ②× ③× ④√ ⑤√ ⑥×
思考题 1 以下命题： ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面， 则该四棱柱 为直四棱柱； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题为________
图1
A
B
C
D
4.(2011年安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为( ) C
A．48 C．48＋8 17
B．32＋8 17 D．80
5.(2011· 浙江)若某几何体的三视图如下图所示，则这个几 何体的直观图可以是( B )
6.（2012 年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是 D
(1)已知三棱锥的俯视图与侧视图如上图图所示，俯 视图是边长为 2 的正三角形，侧视图是有一直角边为 2 的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( C ) 【答案】
(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三 3 角形， 边长为 1， 左(侧)视图是直角三角形， 两直角边分别为 和 2 1 ，俯视图是等腰直角三角形，斜边为 1，则此几何体的体积为 2
《简单几何体》课件
角度
几何体的角度属性描述了它 们的形状和倾斜程度，对于 计算和分类非常重要。
周长、面积、体积
周长是封闭曲线的长度，面 积是平面上的面积，体积是 三维几何体的容积。
实践演习
1
判断几何体
给出几何体特征，让学生判断是哪种
计算属性
2
几何体，提高他们的观察和辨别能力。
给出几何体的一些属性，让学生计算
周长、面积、体积等，培养他们的计
几何体的种类
点
点是最简单的几何体，没有长度、宽度和高 度，只有位置。
面
面由无数相连的线组成，具有长度和宽度， 但没有高度。
线
线由无数相连的点组成，具有长度但没有宽 度。
三角形
三个线段相连而成的面，具有三条边和三个 角。
几何体的属性ຫໍສະໝຸດ 长度、宽度、高度几何体的尺寸属性描述了它 们在空间中的大小，可以用 数值来表示。
《简单几何体》PPT课件
本PPT课件将介绍简单几何体的种类、属性以及学习的重要性，通过实践演习 锻炼学生的认知和计算能力。
介绍
1 什么是简单几何体？
2 为什么学习简单几何体？
简单几何体是由基本要素构成的二维或三 维图形，包括点、线、面和不规则形状等。
学习简单几何体有助于培养学生的空间想 象能力、逻辑思维和问题解决能力，并为 未来的数学学习奠定基础。
算和推理能力。
3
拓展应用
通过实际问题和场景，让学生应用几 何体的知识，培养他们的解决问题的 能力。
总结
简单几何体的重要性
简单几何体是数学学习的基石，培养学生的几何 思维和抽象能力，对日常生活和职业发展有积极 影响。
下一步学习的方向
了解简单几何体后，学生可以进一步学习复杂几 何体、立体几何和几何运动等更高级的几何概念。
几何体的三种分类方法
几何体的三种分类方法几何体是指具有一定形状和空间特征的物体，它们可以根据不同的特征和属性进行分类。
在几何学中，常用的三种分类方法是按形状、按结构和按特征。
下面将分别对这三种分类方法进行详细介绍。
一、按形状分类按形状分类是最常用的几何体分类方法之一，它根据几何体的外形特征将其划分为不同的类别。
常见的按形状分类的几何体有球体、圆柱体、正方体、长方体、圆锥体等。
1. 球体：球体是由所有与一个固定点距离相等的点组成的几何体，它具有无限个面、边和顶点，并且所有的面都是等圆面。
球体在日常生活中广泛应用，如篮球、足球等都属于球体。
2. 圆柱体：圆柱体是由一个圆形的底面和一个平行于底面的圆形顶面连同这两个圆面之间的所有点组成的几何体。
圆柱体具有两个平行的底面、一个侧面和两个顶点。
常见的圆柱体有水杯、筒灯等。
3. 正方体：正方体是由六个相等的正方形面组成的几何体，它具有六个正方形面、八个顶点和十二条边。
正方体在建筑、家具等领域中被广泛应用，如盒子、骰子等。
4. 长方体：长方体是由六个矩形面组成的几何体，它具有六个矩形面、八个顶点和十二条边。
长方体在日常生活中随处可见，如电视机、书桌等。
5. 圆锥体：圆锥体是由一个圆形的底面和一个顶点连同这两个面之间的所有点组成的几何体。
圆锥体具有一个圆形底面、一个尖顶和一个侧面。
常见的圆锥体有冰淇淋蛋筒、路灯等。
二、按结构分类按结构分类是根据几何体的内部结构将其分类。
常见的按结构分类的几何体有简单几何体和复杂几何体。
1. 简单几何体：简单几何体是指由基本几何图形组成的几何体，它们可以用简单的公式计算其面积和体积。
如球体、正方体、圆柱体等都属于简单几何体。
2. 复杂几何体：复杂几何体是指由多个基本几何图形组合而成的几何体，它们的面积和体积计算比较复杂。
如椎体、棱柱体、棱锥体等都属于复杂几何体。
三、按特征分类按特征分类是根据几何体的特征和属性将其分类。
常见的按特征分类的几何体有对称几何体和非对称几何体。
1.1 简单几何体
§1 简单几何体
1.认识柱、 1.认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征 认识柱 球的结构特征， 描述现实生活中简单物体的结构. 描述现实生活中简单物体的结构. 2.通过对简单几何体的观察分析， 2.通过对简单几何体的观察分析，培养学生的观察能力 通过对简单几何体的观察分析 和抽象概括能力. 和抽象概括能力. 3.通过教学活动，逐步培养学生探索问题的精神. 3.通过教学活动，逐步培养学生探索问题的精神. 通过教学活动
一、球
1、球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，将半圆 球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴， 旋转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体叫作 旋转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体叫作球 体，简称球.半圆的圆心叫作球心.连接球心和球面上任意 简称球.半圆的圆心叫作球心. 一点的线段叫作球的半径. 一点的线段叫作球的半径.连接球面上两点并且过球心的 线段叫作球的直径. 线段叫作球的直径. A 半径 O B
3、棱柱的表示方法(下图) 棱柱的表示方法(下图)
用平行的两底面多边形的字母表示棱柱, 用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱 ABCDEABCDE- A1B1C1D1E1.
四
棱锥
1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公 定义：有一个面是多边形，
共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫作棱锥. 共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫作棱锥. 这个多边形面叫作棱锥的底面. 这个多边形面叫作棱锥的底面 有公共顶点的各个三角形叫作棱锥的侧面 有公共顶点的各个三角形叫作棱锥的侧面. 各侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点. 各侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点. 相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱 相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱.
简单几何体的表面积和体积 (教师版)
简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD 和CABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。
简单几何体表面展开图
开图的智能化生成，提高设计效率和质量。
02
虚拟现实与增强现实技术结合
结合虚拟现实和增强现实技术，可以在虚拟环境中实现几何体的动态展
开和交互操作，为设计、教学和娱乐等领域带来新的体验。
03
拓展应用领域
随着科技的进步和社会的发展，几何体表面展开图的应用领域将不断拓
展，例如在生物医学、环境科学等领域发挥更大的作用。
便于计算与制造
在制造和设计领域，展开图可用于计算材料的用 量和成本，以及指导实际的生产和加工过程。
3
广泛应用于多个领域
几何体表面展开图在建筑、机械、电子、艺术等 领域都有广泛的应用，是不可或缺的技术手段。
未来发展趋势和应用前景
01
智能化生成
随着计算机图形学和人工智能技术的发展，未来有望实现几何体表面展
THANKS
感谢观看
可变性
由于锥体的形状和大小可 以变化，因此其展开图也 具有可变性。
04
球体表面展开图
球体的基本概念
球体定义
球体是一个连续曲面的立 体图形，所有点到中心的 距离都相等。
球心与半径
球体的中心称为球心，从 球心到球面上任意一点的 距离称为球的半径。
球面与截面
球体的表面称为球面，通 过球心且与球面相交的平 面截得的圆称为截面圆。
真实性
展开图是按照一定的比例和投影 规律绘制的，能够真实地反映组
合体的实际形状和大小。
多样性
由于组合体的形状和结构各异， 其表面展开图也具有多样性，需 要根据具体情况进行分析和绘制
。
06
总结与展望
几何体表面展开图的重要性
1 2
直观理解三维形状
通过展开图，可以直观地理解三维几何体的表面 结构和形状特征，有助于空间想象和思维发展。
简单几何体的三视图
§3 空间几何体的三视图
第三课时 由三视图还原成实物图
汇报时间：12月20日
Annual Work Summary Report
问题提出
柱、锥、台、球是最基本、最简单的几何体，由这些几何体可以组成各种各样的组合体，怎样画简单组合体的三视图就成为研究的课题.
另一方面，将几何体的三视图还原几何体的结构特征，也是我们需要研究的问题.
*
侧视图
正视图
俯视图
思考4:如图，桌子上放着一个长方体和一个圆柱，若把它们看作一个整体，你能画出它们的三视图吗？
正视
正视图
侧视图
俯视图Leabharlann *知识探究（二）：将三视图还原成几何体
一个空间几何体都对应一组三视图，若已知一个几何体的三视图，我们如何去想象这个几何体的原形结构，并画出其示意图呢？
思考1:下列两图分别是两个简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.
02
*
知识探究（一）：画简单几何体的三视图
思考2:如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图是什么？
思考1:在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎么处理？
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俯视图
正视图
正视
侧视图
思考3:观察下列两个实物体，它们的结构特征如何？你能画出它们的三视图吗？
自我检测：如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4，一个内角为60度的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为____π____．
俯视图
侧视图
正视图
*
2
2
侧视图
俯视图
简单几何体知识整合
简单几何体知识整合核心要点归纳一、多面体与旋转体1．棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．2．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．3．棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．4．将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．二、三视图和直观图1．三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形．具体包括：(1)正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；(2)侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；(3)俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度．2．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．三、几何体的表面积与体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系： S 正棱台侧＝12（c ＋c′）h′――→c ′＝0S 正棱锥侧＝12ch′――→c ＝c′h ＝h′S 正棱柱侧＝ch Ｋ c ′＝0时，棱锥可以看作上底周长为0的棱台．设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2.2．几何体占有空间部分的大小，明确柱、锥、台的体积公式间的关系，可进一步加强对三个几何体的认识．V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h Ｋ S 上＝0时，棱锥可以看作上底面面积为0的棱台；S 上＝S 下时，棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台．设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3. 3．解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．许多球的有关问题中，要画出实际空间图形比较困难，但我们可以通过球心、球面上的点以及切点等的连线构造多面体，把球的问题转化为多面体的问题加以解决．。
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重 感受空间实物和模型，了解简单几何体的有关概念 点 难 如何让学生概括棱柱、棱锥、棱台结构的特征 点 教 学 法 法 教 具 一. 课堂导入 阅读章头语,观察教材第 3 页中各式各样的几何体—引出课题 二.研探新知 （一）本课学习目标解读 ＞学会识别棱柱、棱锥、棱台. ＞知道球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征. 教 ＞学会描述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
三.本课小结
D' C' A' O' E' B' D C O E B A
四.课堂训练
五.布置作业与练习
教 后 反 思
备课组长签字： 2012 年 月 日
3.如图所示的是三棱柱
ABC A1 B1C1 ,
C1 A1 C A
B1
指出棱柱的底面、侧面、侧棱. (三)课堂互动探究 知识点一：球的结构特征 知识归纳：
B
1.已知球的半径为 10cm 若它的一个截面圆的面积是 36cm2，
则球心与截面圆的距离是 .
知识点二：圆柱、圆锥、圆台的结构特征 2.给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母 线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线 段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行.其中正确 命题的个数共有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 知识点三：棱柱、棱锥、棱台的结构特征 3.如图所示， 正四棱台 AC ' 的高是 17cm， 两底面的边长分别是 4cm 和 16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
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学 （二）自主学习点评 ＞练习册学案“预习自查”. 过 ＞活页学案“自主学习”部分. 程 1.截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是（ ） A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.它们的组合体
2.判断下列命题是否正确. （1）圆锥的母线只有一条. （2）棱柱的侧面都是矩形. （3）圆台的上底面缩小为它的圆心时，圆台就变成了圆锥.
◇必修二※第一章※立体几何初步◇
富县高级中学高一年级数学科目集体备课课时
简单几何体
三 维 目 标
知识与技能 1. 通过实物操作，增强学生的直观感知. 2. 能根据几何结构特征对简单旋转体和简单多面体的形成过程加以理解. 3. 会用语言概述简单多面体的定义及结构特征. 过程与方法 1. 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何特征. 2. 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识. 情感态度与价值观 1. 通过学生生活中的实物展示和化学中的物质晶体性状来培养学生观察、分析、 思考的科学态度 2. 培养学生的空间想象能力和抽象概括能力