数学建模线性规划

实验名称：规划论-建模与求解

题目一自来水供应问题

题目：某市有甲乙丙丁四个居住区，自来水由ABC三个水库供应，四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置不同，自来水公司从各水库向各区送水所付出的饮水管理费不同（见下表，其中丁与C只见无输水管道），其他管理费用都是450元/千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元/千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为50，70，20，40千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利最多？

为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变？公司利润可增加多少？

建模：所建模型：

min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+ 200*x33;

约束条件：x11+x12+x13+x14<=50;

x21+x22+x23+x24<=60;

x31+x32+x33<=50;

x11+x21+x31>30;

x11+x21+x31<=80;

x12+x22+x32>=70;

x12+x22+x32<=140;

x13+x23+x33>=10;

x13+x23+x33<=30;

x14+x24>=10;

x14+x24<=50;

求解：LINGO

model:

min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+ 200*x33;

x11+x12+x13+x14<=50;

x21+x22+x23+x24<=60;

x31+x32+x33<=50;

x11+x21+x31>30;

x11+x21+x31<=80;

x12+x22+x32>=70;

x12+x22+x32<=140;

x13+x23+x33>=10;

x13+x23+x33<=30;

x14+x24>=10;

x14+x24<=50;

end

结果：

分析：1）在程序迭代5次之后得出：这个线性规划的最优解为x12=20，x21=30，x23=10,x24=10,32=50，最优值z=10200。则实际的最小花费10200元。第三个水库供水量每增加一吨，目标值改变的数量减少130元，供给甲的水量增加一吨，目标值改变的数量增加140元

2）当非基变量x11每增长一个单位，花费将会增加20元。同样的，非基变量x13每增长一个单位，花费将会增加30元

题目二制造汽车问题

题目：一汽车生产大中小三种类型的汽车，已知各种类型每辆车劳动时间的需求，利润及每月生产钢材，劳动时间的现有量如下表，试制定月生产计划，使工厂的利润最大。

进一步讨论，由于各种条件限制，如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应做何改变？

建模：建立模型：model:

max =2*x1+3*x2+4*x3;

约束条件：

1.5*x1+3*x2+5*x3<=600;

280*x1+250*x2+400*x3<=60000;

80*y1-x1>=0;

80*y1-x1<=0;

80*y2-x2>=0;

80*y2-x2<=0;

80*y3-x3>=0;

80*y3-x3<=0;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

@bin(y1);

@bin(y2);

@bin(y3);

求解：lingo

model:

max =2*x1+3*x2+4*x3;

1.5*x1+3*x2+5*x3<=600;

280*x1+250*x2+400*x3<=60000;

80*y1-x1>=0;

80*y1-x1<=0;

80*y2-x2>=0;

80*y2-x2<=0;

80*y3-x3>=0;

80*y3-x3<=0;

@gin(x1);

@gin(x2);

@gin(x3);

@bin(y1);

@bin(y2);

@bin(y3);

end

结果：Global optimal solution found.

Objective value: 480.0000

Objective bound: 480.0000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X1 80.00000 -2.000000 X2 0.000000 -3.000000 X3 80.00000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000

Y2 0.000000 0.000000

Y3 1.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 480.0000 1.000000

2 80.00000 0.000000

3 5600.000 0.000000

4 0.000000 0.000000

5 0.000000 0.000000

6 0.000000 0.000000

7 0.000000 0.000000

8 0.000000 0.000000

9 0.000000 0.000000

分析：在程序迭代0次之后得出：小型生产80辆，大型生产80辆，工厂的利润最大为480.钢材剩余80吨。劳动时间剩余5600小时。为了使x1变量增加一个单位，在最大化问题中，目标函数值将减少个单位。为了使x2增加一个单位，在最大化问题中，目标函数值将减少3个单位。为了使x3增加一个单位，在最大化问题中，目标函数值将减少4个单位。

其他：求解至少生产80辆时，引进0，1变量来约束变量值，使之成为全局变量

题目三（指派问题）

题目：考虑指派n个人完成n项任务（每人单独承担一项任务），使所需的总完成时间（成本）尽可能短已知某指派问题的有关数据（每人完成各任务所需的时间）如下表所示，试求解该指派问题。

建模：所建模型：

min=15*x11+18*x12+21*x13+24*x14+19*x21+23*x22+22*x23+18*x24+26*x31+18*x32+16 *x33+19*x34+19*x41+21*x42+23*x43+17*x44;

约束条件：

x11+x21+x31+x41=1;

x12+x22+x32+x42=1;

x13+x23+x33+x43=1;

x14+x24+x34+x44=1;

x11+x12+x13+x14=1;

x21+x22+x23+x24=1;

x31+x32+x33+x34=1;