2019数学分析C期末考试

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2019-2020第一学期数学分析期末考试试题

2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛（B ）{}n x 收敛，{}n y 发散（C ）{}n x 发散，{}n y 收敛（D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件（D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点；（B ）3=x 是)(x f 的极值点；（C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点（B ）第一类（非可去）间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点：令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分）两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念；（2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续；（3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续．答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分）（1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号学术之星。

《高等数学》2019-2020第一学期期末试卷A卷

天津大学试卷专用纸
重修生的任课教师姓名
学院
专业(大类)
班年级
学号
姓名
共 3页第1页
2019～2020 学年第一学期期末考试试卷《工科数学分析 A》(A 卷)（共 3 页）
（考试时间：2020 年 1 月 6 日, 14:00-16:00）
题号一二三四五六成绩核分人签字
得分
(1) an 必有收敛子列; (2) 若an 单调, 则an 必收敛;
(3) anbn 必收敛;
(4) 若bn 有一个收敛子列, 则bn 必收敛.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
5. 设 M
π
2 π
2
1 x 2 1 x2 dx ,
N
π
2 π
2
1 ex
x
dx
,
K
π
2 π
1
2
cos x dx , 则 (
).
(A) K N M (B) K M N (C) M K N (D) M N K
三、计算题（共 15 分，每小题 5 分）
x arctan x2 dx
1. 求极限 lim 0
.
x
x2 1
2. 求不定积分 1 dx .
ex 1
3. 求函数 f (x) x3 cos x 的带 Peano 余项的 2n 1 阶麦克劳林公式.
4. 设两个实数列an 有界, bn 单调, 下列四个结论中, 正确的个数是 (
1
(C)
dx
2 x ln x
(D)
21 dx
2 x2
3. 设函数 f (x) 可导, 且 f (x) 0,

中南大学《数学分析C(二)》2019-2020学年第一学期期末试卷

---○---○------○---○---学院专业班级学号姓名…………评卷密封线………………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理………………评卷密封线…………中南大学期末考试试卷2019——2020学年一学期数学分析C（二）课程时间100分钟学时，学分，闭卷，总分100分，占总评成绩%年月日题号一二三四五六七八九十合计满分201510202015100得分评卷人复查人一、单项选择题(本题20分，每小题2分)1.在数学分析中，序列极限的Cauchy 准则是指：A.一个序列收敛当且仅当它的任意两项之间的差趋于零。

B.一个序列收敛当且仅当它的各项绝对值有界。

C.一个序列收敛当且仅当它满足Cauchy 不等式。

D.一个序列收敛当且仅当它的偶数项与奇数项分别收敛到同一极限。

2.下列哪个函数是Riemann 可积的？A.(f(x)=\sin(1/x))在(x =0)处定义。

B.(f(x)=x \cdot \sin(1/x))在(x =0)处定义。

C.(f(x)=|x|\cdot \sin(1/x))在(x =0)处定义。

D.所有选项都不是。

3.如果函数f 在点a 处连续，则以下说法正确的是：A.f 在点a 的任意邻域内都有界。

B.f 在点a 的任意小的邻域内都是单调的。

C.f 在点a 的任意小的邻域内都取到最大值和最小值。

D.f 在点a 的左侧和右侧导数都存在。

4.关于实数系中的完备性，以下说法正确的是：A.每个柯西序列都在实数系中收敛。

B.每个有界的实数序列都包含一个收敛子序列。

C.每个无理数都可以用有理数序列来逼近。

D.A 和B 都对。

得分评卷人5.若函数f在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可微，则：A.f一定在[a,b]上有界。

B.f一定在[a,b]上单调。

C.f'一定在(a,b)上有界。

D.f一定在[a,b]上一致连续。

6.若级数Σan收敛，则其系数序列{an}满足：A.(\lim_{n\to\infty}a_n=0)B.(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|)收敛C.{an}是有界的D.A和B都对7.对于积分(\int_{a}^{b}f(x),dx)，以下说法正确的是：A.如果f在[a,b]上有界，则该积分一定存在。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)HK

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数. 弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bxab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax ax xγ-==2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．判定下列级数的敛散性：(1) 1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+；(3) ()23133222213333nn n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.5．设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为 C ′(x )=x 2－14x +111，R ′(x )=100－2x ．试求最大利润．解：设利润函数L (x )．则L (x )=R (x )－C (x )－50由于L ′(x )=R ′(x )－C (x )=(100－2x )－(x 2－14x +111)=－x 2+12x －11 令L ′(x )=0得x =1，x =11．又当x =1时，L ″(x )=－2x+12>0．当x =11时L ″(x )<0，故当x =11时利润取得最大值．且最大利润为 L (11)=1120(1211)d 50x x x -+--⎰311013341[611]50111.333x x x =-+--==6．已知电压u (t )=3sin2t ，求 (1) u (t )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin 2d .ππu t t t ==⎰(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为 ()f x =故()u t =====7．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

2019年高等数学基础期末考试复习试题及答案

1
D.
e 4
1 A. e x dx de x B sin xdx d (cos x) C. dx d x
2x
D.
ln
xdx
d
(
1 x
)
1
下列等式中正确的是（B
）．A.
d
( 1
x2
)
arctan xdx
1 dx
B.
d( )
x
x2
C. d (2 x ln 2) 2 x dx D. d (tan x) cot xdx
D. 单调上升
A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升
. 函数 y x 2 2x 6 在区间 (2 , 5) 内满足（D ）．
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
5-1
若
f
(x)
的一个原函数是
1 x
，则
f
( x)
函数 f (x) 10 x 10x 的图形关于 y 轴对称。
二、填空题
⒈函数 f ( x) x 2 9 ln(1 x) 的定义域是（3，+∞）
．
x3
函数
y
x ln(x
2)
4 x 的定义域是
（2，3） ∪ （3，4 ]
函数 f (x) ln(x 5) 1 的定义域是 2x
（－5，2）
1-⒉设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴 D. y x
设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（D ）对称．

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKL

即
13．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：
;
证明：令
，
则曲线y=f(x)是凹的，因此，
,
即 .
;
证明：令f(x)=ex
.
则曲线y=f(x)是凹的，
则
即 .
证明：令f(x)=xlnx(x>0)
则曲线是凹的，，x≠y，有
即，
即 .
14．将f(x) = 2+|x| (-1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数的和.
(x－R)2+y2=R2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R]区间上的许多薄片都上提2R的高度时需作功的和的极限。取深度x为积分变量，典型小薄片厚度为dx，将它由A上升到B时，在水中的行程为x；在水上的行程为2R－x。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和x为零，因而该片在水中由A上升到水面时，提升力为零，并不作功，由水面再上提到B时，需作的功即功元素为
解：⑴
⑵
19．设，且与相比是很小的量，证明：
证明：利用近似公式，有
.
20．利用微分求下列各数的近似值：
⑴ ；⑵ ；
⑶ .
解：⑴利用近似公式，有
.
⑵利用近似公式，有
⑶取，令，
而，则
21．求下列函数的微分：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ ；
⑸ ；⑹ .
解：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷
；
⑸ ；
⑹ ；
22．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数：
解：f(x)在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,…)

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABC

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．将函数(,)x f x y y =在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.解：(1,1)1,f =(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)ln 0,1,x x x y f y y f xy-====2(1,1)(1,1)1(1,1)(1,1)2(1,1)(1,1)2(ln )0,1ln 1,(1)0,(,)1(1)(1)(1)0().xxx x x xy x yyx f y y xy y y f y f xy x f x y y y x y ρ--==⎛⎫+⋅== ⎪⎝⎭=-===+-+--+2．求下列欧拉方程的通解：2(1)0x y xy y '''+-=解：作变换e t x =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-=特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. 23(2)4x y xy y x '''+-=.解：设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d ty y t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e t y A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y = 故 223223121211ee e .55tt t y c c c x c x x --=++=++3．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xxxy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭.4．计算下列对坐标的曲面积分：(1)22d d x y z x y ∑⎰⎰，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限内的部分的前侧；(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧； (4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---⎰⎰，其中Σ为曲面z =z = h (h >0)所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；(6)()()22d d d d d d +++-⎰⎰y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表面，取外侧为正向；解：(1)Σ：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2+y 2≤R 2．((()()()()()()22222π422002π2222222002π2200354*******d d d d d cos sin d 1sin 2d 81d d 1cos421612422π1635xyD RR R xy z x y x y x yr r rR R r r R R R R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-⎡⎤+--⎣⎦⎡=---⎣=-⋅-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()72220772π105RR r R ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=(2)Σ如图11-8所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，图11-8故d d 0z x y ∑=⎰⎰，Σ在yOz 面上的投影D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：x =(y ,z )∈D yz，故30d d d d 3yzD x y z y z z y y∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为： y =(x ,z )∈D xz，故3d d d d 3xzD y z x z x z x x∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因此：d d d d d d 236π643π2z x y x y z y z x x x∑++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==⋅=⎰⎰⎰⎰(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为 n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为cos α=，cos β=cos γ=图11-9由两类曲面积分之间的联系可得：()()()()()()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xyD f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z s f y s f z x yf x x y f y x y f z x y f x f y f z x y f x x yx y z x yx y x y ∑∑∑∑∑αβαβγγ+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=+++++=+++++=-+++⎡⎤+⎣⎦=-+=+-⎡⎤--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d 111212xyD x y==⨯⨯=⎰⎰⎰⎰(4)如图11-10所示：图11-10Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1，故()()12344110d d 000d d d d 11d d 124xyD xxz x yxz x yx x yx y x x y x y ∑∑∑∑∑∑-=+++=+++=--==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由积分变元的轮换对称性可知．1d d dzd 24xy y z yz x ∑∑==⎰⎰⎰⎰ 因此．d d dyd d d 113248xz x y xy z yz z x ∑++=⨯=⎰⎰(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0y z z x x yy z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑ΩΩ++---∂∂⎛⎫--∂-=++ ⎪∂∂∂⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(6)记Σ所围的立方体为Ω， P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ．由高斯公式有()()()()()220200204d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2a aaaaaaay y z x z x x yy xz x z P Q R x y z x y z x y zx y x y z x y x a yx y y a x xy a a x ax a ∑ΩΩ+++-∂∂∂⎛⎫++= ⎪∂∂∂⎝⎭=+=+=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5．求下列齐次方程的通解：(1)0xy y'-=;解：d d y y x x =令 d d d d y y u u u x x x x=⇒=+ 原方程变为d xx=两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x +==即通解为：2y cx =d (2)ln d y yxy x x =; 解：d ln d y y y x x x= 令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln 1u cxycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x xu u x u x == 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x=+故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=; 解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y uu x x x=+原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以yx代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-; 解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =，则d d d d y uu x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u++=- 分离变量,得211d d 1u u x u x-=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+ 以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d y yx=即d d x x y y =令x v y =，则d d ,d d x v x yv v y y y ==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+即d d vyy=分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c +=-.即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.6．从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：220(1),5;x x y C y =-==解：当0x =时，y =5.故C =-25 故所求曲线为：2225y x -=21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =.7．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2= a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向； (3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向； (4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ==．由斯托克斯公式22d d d cos cos cos d d πy x z y x zR Q Q P P R s y z x y z x ss a a Γ∑∑∑αβγ++⎡∂∂∂∂⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫--=++- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)记为Σ为平面32x y z ++=被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ（是一个边长为2的正六边形）； Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cos αβγ==n ．由斯托克斯公式()()()(((()222222d d d2222d22d3d232492x y zy z x yz xy z x y sz xsx y zsΓ∑∑∑++---⎡++----=--⎢⎣=++==⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：()()()2223d d dd d0d d d d3d d35d d5π220π-+=++--+=-+=-=-⨯⨯=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x xz y yz zy z z x x yzz xx yzx yΓ∑∑(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：()()()222d3d dd d d d d d000032d dd dπ39π+-=++---===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyDy x x y z zy z z x x yx yx yΓ∑∑8．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：(1)D:22221x ya b+≤，求I y;(2)D由抛物线292y x=与直线x=2所围成，求I x和I y；(3)D为矩形闭区域：0≤x≤a, 0≤y≤b,求I x和I y.解：（1）令x=arcosθ ,y=br sinθ,则在此变换下D ：22221x y a b+≤变化为D '：r ≤1,即 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π, 且(,)(,)x y abr r θ∂=∂, 所以2π12222323032π30d d cos d d cos d d 1(1cos 2)d π.84y DD I x x y a r abr r a b r ra b a b θθθθθθ'====+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 闭区域D 如图10-35所示图10-353222220005222220272d d 2d d d ;3596d d 2d d .7x Dy DI y x y x y y x x I x x y x x y x x ========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)32220d d d d d ,3a bbx Dab I y x y x y y a y y ====⎰⎰⎰⎰⎰322200d d d d d .3abay Da bI x x y x x y bx x ====⎰⎰⎰⎰⎰9．求锥面z被柱面z 2 = 2x 所割下部分的曲面面积。

2019年浙江大学数学分析试题及解答word资料5页

浙江大学2019年数学分析解答一（10分）计算定积分20sin x e xdx π⎰解：2sin xe xdx π⎰=()011cos 22xe x dx π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰()01x e d x e ππ=-⎰由分部积分法cos 2xe xdx π=⎰()1e π-+20sin 2xe xdx π=⎰()1e π-04cos 2x e xdx π-⎰所以cos 2x e xdx π=⎰()115e π-，所以20sin x e xdx π⎰=()215e π- 解毕二（10分）设()f x 在[0,1]上Riemann可积，且1()2f x dx =⎰，计算 11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑解：因为()f x 在[0,1]上Riemann 可积，所以0,()M f x M ∃>≤，所以1()0if n n→ 因为0ln(1)lim 1x x x →+=，所以114ln[1()]n i i f n n =+∑与114()ni i f n n =∑等价且极限值相等由Riemann 积分的定义：11lim 4ln[1()]nn i if n n →∞=+∑=410()f x dx =⎰ 解毕三（15分）设,,a b c 为实数，且1,0b c >-≠试确定,,a b c 的值，使得30sin limln(1)x x b ax xc t dtt →-=+⎰解：若0b ≠，显然30sin lim0ln(1)x x b ax xt dtt →-=+⎰，这与0c ≠矛盾，所以0b =计算300sin limln(1)x x ax xt dtt →-+⎰，利用洛必达法则：33000sin cos lim lim ln(1)ln(1)x x x ax x a xt x dt t x→→--=++⎰，易有30ln(1)lim0x x x→+=，若1a ≠， 33000sin cos limlim ln(1)ln(1)x x x ax x a x t x dt t x →→--==∞++⎰，矛盾，所以1a =.计算301cos lim ln(1)x x x x→-+，继续利用洛必达法则：3322430343cos sin 1lim(612)(1)6(63)(1)2(1)x x x x c x x x x x x x →-===-+--++ 解毕四（15分）设()f x 在[,]a b 上连续，且对每一个[],x a b ∈，存在[],y a b ∈，使得1()()2f y f x ≤，证明：在存在[,],a b ξ∈使得()0f ξ=证明:反证法,由于()f x 在[,]a b 上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设0()m f x M <<<对于任选的一点1x ,存在2,x 使得211()()2f x f x ≤, 存在3,x 使得321211()()()22f x f x f x ≤≤所以1111[,],()()0,()22n n n n Mx a b f x f x n --∈≤≤→→∞即lim ()0n n f x →∞=,但对所有的x, 0()m f x M <<<,矛盾.所以[,]a b 存在零点证毕五（20分）（1）设()f x 在[,)a +∞上连续，且()af x dx +∞⎰收敛。

《高等数学C》2019-2020学年第一学期期末试卷

浙江大学2019——2020学年第1学期《高等数学C 》(I)期末考试试卷复核教师：______________一、填空（3分×6=18分） 1.3(sin ππx dx -+⎰= 。

2. 2353lim(sin )53x x x x→∞+=+ 。

3．设sin(ln )ln(cos )yx x =+，则dy = 。

4. (sin )df x dx= 。

5．(2)xaf t dt '⎰=。

6.设2323x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩确定函数()y y x =，则dy dx = 。

二、计算（6分×12=72分） 1．求1lim(1)3nn n →∞-+2．求011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦3．求曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间及拐点坐标。

4.设22()(2)x f x x x x -=--，求()f x 的间断点，并说明类型。

5．已知方程22cos 10yx t e dt tdt -+=⎰⎰确定隐函数()y y x =，求dy dx。

6.计算7.计算8．计算1arctan ⎰x xdx9．计算1⎰10. 已知函数1() =⎰f x ，计算120() ⎰x f x dx 。

11.讨论方程5510x x -+=在区间(,)-∞+∞内实根的个数及范围。

12.春花制衣公司是一家专门生产衬衣的小公司，其成本函数为2()4000800.4C Q Q Q =-+，其中Q 为每天的产量，求：当产量为多少时平均成本最低？三、解答与证明题（5分⨯2=10分） 1.设()f x 具有连续的二阶导数，且()0f a =，(),()(),f x x a g x x a f a x a⎧≠⎪=-⎨⎪'=⎩，求()g x '，并证明()g x 的一阶导数在x a =处连续。

2．设函数()f x 在[]1,2上连续，在(1,2)内可导，1(1),(2)22f f ==，试证：至少存在一点(1,2)ξ∈，使得2()()f ξf ξξ'=。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)AKK

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．验证：函数()lnsin f x x =在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=. 证：()l n s i f x x =在区间π5π[,]66上连续，在π5π(,)66上可导，且π5π()()ln 266f f ==-，即在π5π[,]66上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点π5π(,),66ξ∈使()0f ξ'=.事实上，由cos ()cot 0sin x f x x x '===得ππ5π(,),266x =∈故取π2ξ=，可使()0f ξ'=.2．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑； (2) ()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+； (3) ()23133222213333n n n --+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．3．某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．解：投资20年中总收入的现值为205%5%2001200800e d (1e )5%400(1e )2528.4 ()t y t --⋅-==-=-=⎰万元纯收入现值为 R =y －800=2528.4－800=1728.4(万元)收回投资，即为总收入的现值等于投资, 故有5%200(1e )8005%12005ln =20ln =4.46 ().5%2008005%4T T -⋅-==-⨯年4．半径为R 的球沉入水中，球的顶部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取离水面，问做功多少？解：如图21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(x －R )2+y 2=R 2将球从水中取出需作的功相应于将[0，2R ]区间上的许多薄片都上提2R 的高度时需作功的和的极限。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)UR

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列函数的高阶微分：⑴y 2d y ； ⑵ xy x =，求2d y ； ⑶ cos 2y x x =⋅，求10d y ； ⑷ 3ln y x x =⋅，求d ny ；⑸ 2323cos sin 0r a θθ⋅-=(a 为常数)，求2d r . 解：⑴d d y x x '==,2d d y x '=3222(1)d .x x -=+⑵ (ln )(ln )(1ln ).xy y y y x x x x '''===+21[(1ln )],x y x x x''=++故 2221d [(1ln )]d (0).x y x x x x x=++> ⑶ 由莱布尼兹公式，得1010(10)10()(10)101001091010d (cos 2)d [C cos 2]d 10π9[2cos(2)102cos(2π)]d 221024(cos 25sin 2)d .ii i i y x x x x x x x x x x x x x x -====++⋅⋅+=-+∑ ⑷ 由莱布尼兹公式，得3()13(1)23(2)33(3)31223124d [(ln )C ()(ln )C ()(ln )C ()(ln )]d (1)!(2)!(1)(3)![(1)3(1)6(1)2(1)(2)( +6(1)6n n n n n n n nnn n n n n n n y x x x x x x x x x n n n n n x n x x x x xn n n n ---------'''=⋅+⋅+⋅'''+⋅----=⋅-⋅+⋅⋅-⋅+⋅⋅----⋅⋅-334)!]d [(1)6(4)!]d .nn n n n x xn x x --=-⋅⋅- ⑸ 223tan r a θ=两端求导，得2222323tan sec 2rr a r θθθ''=⋅⇒= 等式两端再求导得22232223(2tan sec 4tan sec )r rr a θθθθ'''+=⋅+⋅解得24314sin 4cos r a θθ+''=故2224314sin d d .4cos r a θθθ+=2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112nn x n n∞=-⋅∑；解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e nnn n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+4．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅；(4) 12!n nn n n ∞=⋅∑ 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．5．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.6．把长为10m ，宽为6m ，高为5m 的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间[x ，x +d x ]上的一个薄层水，有微体积d V =10·6·dx(19)设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为 d w =x ·60g d x =60gx d x ．于是将水全部抽出所作功为 w =⎠⎛0560gx d x=60g 2x 2⎪⎪50 =750g (KJ) ．7．已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x C xC x C --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.8．已知sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9．计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=32d (2)d x x x ⎰解：原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰10．作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x=+；解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±，令0y ''=，得x =0，列表讨论如下：函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为,⎛ ⎝(0，0)，，作图如上所示.(2) f (x )=x －2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y′=0，可得x =±1，令y″=0，可得x =0.列表讨论如下：又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim[()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2(3) ()1x f x x=+；解：函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x x y x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加；当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少；当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少；当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x →-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x →∞=，且2lim(())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦，故曲线另有一斜渐近线y =x －1. 综上所述，曲线图形为：(4)2(1)e x y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1. 令0y ''=，得12x =±当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加；当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当2(,1[1,)22x ∈-∞-++∞时，0y ''>，曲线是凹的；当[1]22x ∈-+时，0y ''<，曲线是凸的, 故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1),(1)A B --，又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：11．判定下列曲线的凹凸性： (1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的. (2) sin(h )y x =；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<，故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x=+> ；解：23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的. (4) y =x arctan x . 解：2arctan 1xy x x'=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.12．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h , ，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=, 得.h =时，其体积为最大.13．证明下列不等式: (1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x-++'=, 当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos xf x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+14．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx xn==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)15．求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率： (1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0) 解：y ′=a 即为边际函数. 弹性为：1Ey axa x Ex axb ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y aax bγ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx 弹性为：1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bxab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为：11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=,增长率为： 1.a y a ax ax xγ-==16．判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+,故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.17．设0a >，且b 与n a 相比是很小的量，证明：1.n b a na-≈+11x n≈+，有11(1)n n b b a a n a na-=≈+⋅=+.18．求n 次多项式1101nn n n y a x a xa x a --=++++的n 阶导数.解： 1()()1()()()()0100()()()()=()=!n n n n n n n n n n n ya x a x a x a a x a n --=++++⋅19．用对数求导法求下列函数的导数： ⑴y =解：1(ln )[ln(2)4ln(3)5ln(1)]2y y y y x x x '''=⋅=⋅++--+45(3)145[](1)2(2)31x x x x x -=--++-+ ⑵ cos (sin );xy x =解：2cos (ln )(cos ln sin )1[(sin )ln sin cos cos ]sin cos (sin )(sin ln sin )sin xy y y y x x y x x x x xx x x x x'''==⋅=-+⋅⋅=- ⑶2x y =解：211(ln )[2ln(3)ln(5)ln(4)]22111 ].32(5)2(4)x y y y y x x x x x x x '''==++-+--=+--++-20．试求曲线exy -=在点（0，1）及点（－1，0）处的切线方程和法线方程.解：231e e (1)3xxy x ---'=-⋅+12. 3x x y y ==-''=-=∞故在点（0，1）处的切线方程为：21(0)3y x -=--，即2330x y +-=法线方程为：21(0)3y x -=-，即3220x y -+= 在点（－1，0）处的切线方程为：1x =- 法线方程为：0y =21．设12()()()()0n p x f x f x f x =≠，且所有的函数都可导，证明：1212()()()()()()()()n n f x f x f x P x P x f x f x f x ''''=+++证明：1212121212()1[()()()()()()()()()]()()()()().()()()n n n n n P x f x f x f x f x f x f x f x f x f x P x P x f x f x f x f x f x f x ''''=+++'''=+++22．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t ]内，转过角度θ，从而转角θ是t 的函数：()t θθ=.如果旋转是匀速的，那么称tθω=为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻0t 的角速度？解：设此角速度值为ω,则0000()()lim ()t t t t t tθθωθ∆→+∆-'==∆.23．已知2()max{,3}f x x =，求()f x '.解：23, (),x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩当x <时，()0f x '=, 当x >时，()2f x x '=,2(((0,x xx f x f-+'===-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='==+= 故f '不存在. 综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩24．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么.(1) 000()()lim;x f x x f x A x∆→-∆-=∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆故0()A f x '=-(2) 000()()0,lim ;x x f x f x A x x→==- 解：00000()()limlim ()x x x x f x f x f x x x x x →→'=-=---故0()A f x '=- (3) 000()()lim.h f x h f x h A h→+--=解：00000000000000000()()()()()()limlim ()()()()lim lim()()2()h h h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h h f x h f x f x h f x h h f x f x f x →→→→+--+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦+---=+-'''=+= 故02().A f x '=25．利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x x bx x x→→+-+-解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx 所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xxx →→==.sinsin 22(6)lim 2sin lim lim .222n n n n n n n n nx xx x x x x x →∞→∞→∞=⋅==(7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xx x x xx αβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，~)~,x x --所以000 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x xx x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=26．解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是 10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-.27．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin 0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=.28．根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<,只要n >取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.29．对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有nx a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21nε>即可.取21Nε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N>时,有0nxε-<.当0.0001ε=时, 821100.0001N⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数.30．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴21sinlimsinxxxx→；⑵lim(1)xxkx→+∞+；⑶sinlimsinxx xx x→∞-+；⑷e elim.e ex xx xx--→+∞-+解：⑴∵200111sin2sin coslim limsin cosx xx xx x xx x→→-=不存在,（因1sinx，1cosx为有界函数）又2001sin1lim lim sin0sinx xxx xx x→→==,故不能使用洛必达法则.⑶∵sin1coslim limsin1cosx xx x xx x x→∞→∞--=++不存在,而sin1sinlim lim 1.sinsin1x xxx x xxx xx→∞→∞--==++故不能使用洛必达法则.⑷∵e e e e e elim lim lime e e e e ex x x x x xx x x x x xx x x------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+利用洛必达法则无法求得其极限.而22e e1elim lim1e e1ex x xx x xx x----→+∞→+∞--==++.故答案选（2）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)SH

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域： (1)x +2x 2+3x 3+…+nx n+…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑；(4)()2112nn x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11lim lim 1n n n na n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11n n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．（1）解：112xn n =∞相当于P 级数中P x = 当1P >时112p n n =∞收敛，1P ≤时，112pn n =∞发散. 从而当1x >时，112x n n =∞收敛，1x ≤时，112xn n =∞发散. 从而112xn n=∞的收敛域为(1,)+∞ 从而111(1)2n x n n+=∞-的收敛域为(0,1)(1,)+∞. （2）解：当1x >时，112x n n =∞收敛，则111(1)2n xn n+=∞-收敛. 当0x ≤时，111(1)2n x n n+=∞-发散，(0)n U当01x <<时，111(1)2n x n n+=∞-收敛.（莱布尼兹型级数）4．判定下列级数的敛散性：(1) 1n ∞=∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+；(3) ()23133222213333nn n--+-++-；(4)155n +++++；解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵nU =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．5．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++；2242468x x ++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；6．已知电压u (t )=3sin2t ，求 (1) u (t )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均值；解： π2026()3sin 2d .ππu t t t ==⎰(2) 电压的均方根值.解：均方根公式为()f x =故()u t =====7．求下列各曲线所围图形的面积：（1）y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)；解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2)(1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23∴ D 1+D 2=2π+43,D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．（2）y =1x与直线y =x 及x =2；解： D 1=⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x =⎣⎡⎦⎤12x 2-ln x 21=32-ln2.(2)（3）y =e x ，y =e -x 与直线x =1；解：D =⎠⎛01()e x -e -xd x =e+1e-2．(3)（4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)；解：D =⎠⎛l n al n b e y d y =b -a ．(4)（5）抛物线y =x 2和y =-x 2+2；解：解方程组⎩⎨⎧y =x 2y =-x 2+2得交点 (1，1)，(-1，1) D =⎠⎛-11()-x 2+2-x 2d x =4⎠⎛01()-x 2+1d x =83．(5)（6）y =sin x ，y =cos x 及直线x =π4，x =94π；解：D =2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x -cos x )d x=2[]-cos x -sin x 5π4π4=42．(6)（7）抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2．∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(32，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8）摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π2π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t a t ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：D =3D 1=3·a 22⎠⎜⎛0π3sin 23φd φ=3a 22 ·⎠⎜⎛0π3 1-cos6φ2d φ =3a 24 ·⎣⎡⎦⎤φ-16sin6φπ3=πa 24． (9)（10）ρ=2a cos φ；解：D =2D 1=2⎠⎜⎛0π212·4a 2·cos 2φd φ=4a 2⎠⎜⎛0π21+cos2φ2d φ =4a 2·12⎣⎡⎦⎤φ+12sin2φπ2=4a 2·12·π2=πa 2．(10)8．计算下列积分（n 为正整数）：（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-9．利用习题22(2)证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x xx x =++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令10．求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1exx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1e x xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x ⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++⎣⎦ln(x =所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++==所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解： 1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰;解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1xxx c --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x x xx xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=-++⎰ 验证：ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x xx x++⎰;解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan )tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sin dcos n n n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.11．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰; 解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+ ⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰; 解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin x x x+⎰; 解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1x x x x ++⎰; 解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ; 解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+⎝⎰又 2x 2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln 1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.12．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+ (7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2x x x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++. 32(ln )(9)d x x x⎰; 解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x . 解：原式tan 23sec d .x a t a t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故 11ln .22x c x =+13．证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e e ed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰ 即 2e 22e e e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰ (2) 2101e d e.x x ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111000d e d ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰ 即2101e d e.x x ≤≤⎰14．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩ (2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cos ππ2=-≤≤xf x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰ 于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑ (x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰，()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππn n a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3n n f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞) (3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n n b f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos 2x f x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π01212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x x a nx x nx x n x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰ 所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nx f x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]15．在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a xV x ax a=-⋅=-+'=-+ 令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =.即小正方形边长为6a 时方盒容积最大.16．设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x .解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).x f x f f x g g x g x g x x x x x ====17．设()f x 二阶可导，求20()2()()lim h f x h f x f x h h→+-+-. 解：2000()2()()()()lim lim 21()()()() lim []21 [li 2h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x h h→→→''+-+-+--=''''+---=+-=00()()()()m lim ]1 [()()]2().h h f x h f x f x h f x h hf x f x f x →→''''+---+-''''=+''=18．求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）.⑴ 201sinlim sin x x x x →； ⑵ lim (1)x x k x →+∞+； ⑶ sin lim sin x x x x x→∞-+； ⑷ e e lim .e e x x x x x --→+∞-+ 解：⑴ ∵200111sin2sin cos lim lim sin cos x x x x x x x x x →→-=不存在,（因1sin x ，1cos x 为有界函数）又2001sin1lim lim sin 0sin x x x x x x x →→==, 故不能使用洛必达法则.⑶ ∵sin 1cos lim lim sin 1cos x x x x x x x x→∞→∞--=++不存在,而sin 1sin lim lim 1.sin sin 1x x xx x x x x x x →∞→∞--==++ 故不能使用洛必达法则.⑷ ∵e e e e e e lim lim lim e e e e e ex x x x x xx x x x x x x x x ------→+∞→+∞→+∞-+-==+-+ 利用洛必达法则无法求得其极限. 而22e e 1e lim lim 1e e 1e x x xx x xx x ----→+∞→+∞--==++. 故答案选（2）.19．设()f x 在[,]a b 上有(1)n -阶连续导数，在(,)a b 内有n 阶导数，且(1)()()()()0.n f b f a f a f a -'=====试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()()0n f ξ=. 证明：首先，对()f x 在[,]a b 上应用罗尔定理，有1(,)a a b ∈，即1a a b <<，使得1()0f a '=；其次，对()f x '在[,]a b 上应用罗尔定理，有21(,)a a b ∈，即12a a a b <<<，使得2()0;,f a ''=一般地，设在(,)a b 内已找到1n -个点121,,,,n a a a -其中121,n a a a a b -<<<<<使得(1)1()0n n f a --=，则对(1)()0n f x -=在1[,]n a b -上应用罗尔定理有1(,)(,),n a b a b ξ-∈⊂使得()()0n f ξ=.20．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=21．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差. 解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+ 234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++= 5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+22．求下列函数在指定点的高阶导数：⑴()f x =求(0)f ''；⑵ 21()e ,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；⑶ 6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解： ⑴322()(1)f x x -'==- 5223()(1)22f x x x -''=--⋅ 故(0)0f ''=.⑵ 21()2e x f x -'=2121()4e ()8ex x f x f x --''='''= 故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. ⑶ 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+=故(5)(0)720107200f =⨯=，(6)(0)720f =23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a .证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y 则2220220, , x a a a y y y x x x =''==-=-，则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=-- 令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+= 得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ，令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+= 得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ，故 2000012222.2S x y x y a ===24．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '= 证明：000()(0)()(0)(0)limlim ()(0)lim (0),x x x f x f f x f f x x f x f f x∆→∆→∆→∆--∆-'==∆∆-∆-'=-=--∆ 故(0)0.f '=25．当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？解：211111(1)lim lim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x x x →→-+==- ∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.26．当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200lim lim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.27．用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+ 证：(1)0ε∀>,要使 1sin sin 0x x x x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0x xε<-,故sin lim 0x x x→+∞=. (2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+, 故224lim 42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++, 只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+ 故21214lim 221x x x →--=+. (5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x x ε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin 0x x ε<-, 故01lim sin 0x x x→=.28．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h h BC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.29．求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x x y y x x y y x x +-==+++==+∈解: (1)由11x y x -=+解得11y x y -=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1x y x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-, 所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R . (3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> . (4)由31cos y x =+得cos x =,又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤, 即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.30．试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，232(1)(22(1)x x x y x +--''=+ 令0y ''=，得1,22x x x =-=+=当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈--时0y ''>；当(22x ∈-时0y ''<；当(2)x ∈++∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2-+. 因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．无2．无3．无4．无5．无6．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无29．无30．无。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACA

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设z = x ln ( x y )，求32z x y ∂∂∂及32z x y ∂∂∂. 解：ln()1ln(),z y x xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y z x xy x x yz x z x y xy y x y y ∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂2．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0LP x y x =⎰其中P (x , y )在L 上连续．证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段，则 L ：12x a b t b y t =⎧≤≤⎨=⎩，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故 ()()()221d ,d d 0d 0d b b L b b a P x y x P a,t t P a,t t t ⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．求面密度为0ρ的均匀半球壳x 2+y 2+z 2=a 2(z ≥0)对于z 轴的转动惯量。

解：222::.xy z D x y a ∑=+≤d d d .s x y x y ==22220022222π22000002220034222000()d d d d π()π()42π.()233xy z D a aa a I x y s a x y a r r a a r a d a r a a a r a ∑ρρρθρρπρρ=+===-⎫=-⎡==--⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量：(1)沿圆周221,0x y z +==；解：2π(2)沿圆周()2251,0x y z -+==.解：2π5．证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符∇解：略。

6．利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：(1)d d d y x z y x z Γ++⎰，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2 = a 2，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这圆周是取逆时针的方向；(2)()()()222222d d d x y z y z x y z x Γ++---⎰，其中Γ是用平面32x y z ++=截立方体：0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；(3)23d d d y x xz y yz z Γ++⎰，其中Γ是圆周x 2+y 2 = 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；(4)22d 3d d +-⎰y x x y z z Γ，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向．解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2（大圆面积），Σ的单位法向量为{}cos ,cos ,cosn αβγ==．由斯托克斯公式。

2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACG

(8) ，其中L是抛物线y=x2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．
解：(1)L：y=x2，x从0变到2，
(2)如图11-1所示，L=L1+L2．其中L1的参数方程为
图11-1
L2的方程为y=0(0≤x≤2a)
故
(3)
(4)圆周的参数方程为：x=acost，y=asint，t:0→2π．
故
(5)
(4) ，其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行)；
(5) ，其中Γ为曲线x=kθ，y=acosθ，z=asinθ上对应θ从0到π的一段弧；
(6) ，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；
(7) ，其中Γ为有向闭拆线ABCA，这里A，B，C依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；
利用柱面坐标可求得Ω的体积：
(4)曲面围成的立体Ω如图10-58所示。在柱面坐标系下，Ω可表示为：
图10-58
利用柱面坐标可求得Ω的体积：
13．如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x),f2(y),f3(z)的乘积，即f(x,y,z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，积分区域为a≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即
解：(1)平面Σ：上侧的法向量为n={3，2， }，单位向量为n0={ ，， }，即方向余弦为，，．
因此：
(2)Σ：F(x,y,z)=z+x2+y2-8=0，Σ上侧的法向量n={Fx，Fy，Fz}={ 2x，2y，1}
其方向余弦：，，
故
11．已知均匀矩形板（面密度为常量ρ）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

2019最新高等数学(上册)期末考试试题(含答案)OT

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x→- (3) 21lim[ln(1)].x x x x →∞-+ 解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=2．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)()()111465735n n ++++⋅⋅++； (2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3n n ∞=∑； (4) 1n ∞=； (5)()1101n n a a ∞=>+∑； (6) ()1121n n ∞=-∑．解：(1)∵ ()()21135n U n n n =<++ 而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛．(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散． (3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n n n n n n →∞→∞=⋅= 而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛． (4)∵321n U n=<= 而3121n n ∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n nU a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散． (6)由021lim ln 2x x x →-=知121lim ln 211n x n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．3．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ;解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．(11)（2） r =2cos θ及r 2=3sin2θ．解：如图12，解方程组⎩⎨⎧r =2cos θr 2=3sin2θ。