18竖直方向圆周运动的临界问题

m1=0.5kg,m2=1kg,R=1m （1）最高点的最小速度 （2）v=4m/s
FN
m2g T
v m2 g FN m2 R 2 v0 m2 g 0 m2 R v0 gR 10m / s v (m1 m2 ) g T (m1 m2 ) R T 9N
2
（1）以水为研究对象 2
解：（1）如图，当圆锥筒静止时，物块受到重力G、摩 擦力f和支持力N。 由题意可知 f＝mgsinθ ＝ mg θ N＝mgcosθ ＝mg
（2）物块受到重力G和支持力N’的作用，设圆筒和物块 匀速转动的角速度为ω 竖直方向N’cosθ＝mg ① 水平方向N’sinθ＝mrω2 ②
ω＝
其中
N
θ F合=F向 θ mg mg
FN=1.28x104N mg=2x104N FN<mg
失重
2、当汽车的速度很大时，会有什么现象发生呢？ 为了安全我们应采取什么措施？
脱离桥面，飞过去
3、上例中，若桥面为凹形（下图），汽车以 18m／s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力 是多大？
FN
v FN mg m R
2
2
v 4 FN mg m 2.72 10 N R
(2)以水和杯一起为研究对象 2
再以水为研究对象
(m1+m2)g
v m2 g FN m2 R
FN 6 N
例题2、如图所示，杆长L＝0.5m，质量可忽略不 计，其一端可绕Ｏ点在竖直平面内转动，另一端 固定有质量m=2kg的小球，当通过最高点时，求下 列情况下杆受到的作用力． （1）当V=1m/s时，作用力的大小是多少？是拉力 还是压力？ （2）当V=4m/s时，作用力的大小是多少？是拉力 还是压力？
（失重 状态） （临界条件）
例1、如图所示的圆锥摆中，摆球A在水平面上 作匀速圆周运动，关于A的 受力情况，下列说法中正确的是（ C ） A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用； B．摆球A受拉力和向心力的作用； C．摆球A受拉力和重力的作用； D．摆球A受重力和向心力的作用。
（第1题）
例2、A、B两质点均做匀速圆周运动， mA∶mB=1∶2， RA∶RB=1∶2，当A转600转 时，B正好转450转，则两质点所受Biblioteka Baidu心力之比 为多少？
L＝0.5m,m=2kg V1=1m/s,V2=4m/s
（1）以小球为研究对象 2
T mg
最高点，杆对球向上的支持力为16N （2）以小球为研究对象
v1 mg T1 m L T1 16N
v2 mg T2 m L T2 44N
2
最高点，杆对球向下的拉力为44N
小结提升：此类（有支撑有约束型）问题中，当 V gR 时，物体有向心运动（“掉下”）的趋 势，小球对杆产生压力；当 V gR 时，物体有 离心运动（“飞出去”）的趋势，小球对杆产生 拉力。因此 V临 gR 在这类问题中可用来作为 判定杆受拉力还是压力的条件。
2
向心力(四)
F向 m a向
2 2 2 mr ( ) 在桥面运动 mr (2 f) T
v m r
2
mr
2
mv
mr (2 n)
2
二、竖直平面内的圆周运动 实例、汽车过弧形桥面 一辆质量m=2.0t 的小轿车，驶过半径R=90m 的一段凸形圆弧形桥面，如图，取g=10m/s2,求： （1）汽车以18m／s的速度通过桥面最高点时， 对桥面压力是多大？ （2）汽车以多大速度通过桥面顶点时，对桥面 刚好没有压力？
mg
mg=2x104N
超重
指向圆心的合力充当向心力
【课堂练习】 1、一辆载重汽车在丘陵地带行驶，地形如图2所 示，轮胎已经很旧，设凹凸路段的半径为R的圆 弧，车在经过 C 处时，最容易由于压力过大 爆胎，应低速行驶。
失重
B A
图2
失重
D
D
C
超重
2、如图所示，飞机俯冲时，在最低点附近做半径 为R的圆周运动，这时飞行员超重达到其自身重 力的3倍，求此时飞机的飞行速度为多大？
2 k 8. v , k 0,1, 2,3... 2 k
周末作业3.19-20答案 1.B 2. D 3.AD 4. A 5. (1)0.1 (2)1 (3) 5 (4)-10 -5 6. (1)匀变速曲线 匀变速曲线 (2)25m/s 北偏东53° v1d v2 cos 7.(1) v (2) v1 2 2 2 2v0 tan 2v0 tan 8.(1) t (2) (3) 2v0 tan g g sin 4h 9. H 3
v mg T m L
T 3mg
2
T mg
【归纳小结】
有支撑无约束 有约束无支 撑 (绳 ) 有支撑有约 束 (杆 )
类型
做完整圆周运 动过最高点的 速度的条件 结 0< v gR 时 在桥面运动 论 v gR 时 飞过去
gr
gr
掉下来
圆周运动
0
支持力
拉力
临界状态方程 式
mg mv / R
F向 mr
2
4:9
训练1．下列关于向心力的说法中错误的是( ) A．物体有向心力的作用才能做圆周运动 B．向心力是指向弧形轨道圆心方向的力，是 根据力的作用效果命名的 C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种 力的合力，也可以是某一种力或某一种力的分力 D．向心力不但可以改变物体运动的方向，也 可以改变物体运动的快慢
一、竖直平面内圆周运动的临界问题 典例回顾：汽车经过凸形桥的最高点时，重力和 v2 mg FN m 弹力的合力提供向心力．即： R 当弹力为零时，物体的向心力仅由重力提供， V临2 此时 mg m 解得V临 gR ,常称为临界速度。
，
R
小结提升：当汽车的速度 V V临 gR 时，将飞 离桥面做离心运动（平抛运动）。因此，这类问 题中，这个临界速度的含义可理解为汽车做完整 圆周运动时，通过最高点的最大速度为 Vmax gR
D
例3、如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其 中心轴OO'转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高 分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半， 内壁上有一质量为m的小物块，求： （1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到 的摩擦力和支持力的大小； （2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受 到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．
没有硬性支持物，只有绳子或悬空， 最小速度不能为零
练习1、质量m1=0.5kg的杯子里盛m2=1kg的水， 用绳子系住水杯在竖直平面内做“水流星”表演 ，转动半径为R=1m，求： （1）要水不会甩出来，过最高点的速度最小是 多少？（结果可用根式表示） （2）若水杯通过最高点的速度为v=4m/s，此时 绳子的拉力是多少？水对杯底的压力为多大？
16号学案答案
1.A 6.B 2. C 7. B 3.D 4.B 5. B
g tan 8. r L sin
9.(1)
g tan R sin
17号学案答案
1.BC 2. BC 3.AC 4.BC 5. BC
6. (1) v 10 2m / s (2) v 11.54m / s (3) v 10 2m / s 7. (1) v0 2gR (3) v 6gR (2) v0 2 2R (4) v ' gR
例题1、如图为翻滚过山车的轨道模型的一部分， 其中圆弧部分的半径为r=90m，过山车的质量为 m=100kg，取g=10m/s2，求： （1）当过山车以速率v=36m/s通过圆弧最高点时 ，对轨道的压力是多大？ （2）过山车要安全通过圆弧最高点，在最高点的 最小速度是多少？
r=90m,m=100kg （1）指向圆心的合力充当向心力 2 g=10m/s2 v v=36m/s mg FN m
B
训练2
训练3、如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时 会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空 中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运 动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30° ，重力加速度为g，估算该女运动员（ ） A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G C．向心加速度为g D．向心加速度为2g
BC
FN
v FN mg m R 2 v 3mg mg m R
2
v 2gR
mg
【课堂小结】
水平桥 N m g v2 汽车过桥拱形（凸）桥 最高点：m g N m N 0时v gr r v2 凹形桥 最低点：N m g m 超重状态 r
FN
（1）根据牛顿第二定律有：
v mg FN m R 2 v 4 FN mg m 1.28 10 N R
mg
(2)当压力为零时，有
2
指向圆心 的合力充 当向心力
v0 mg 0 m R
2
v0 gR 30m / s
思考：1、在例1中，汽车通过最高点时，汽车 处于超重状态还是失重状态？
N
F合=F向
F向=Nsinθ
小结： 匀速圆周运动问题的分析步骤 (1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析 ，画出受力示意图． (2)应用正交分解法分析向心力，其中向心力 沿半径指向圆心方向． (3)应用牛顿运动定律列方程。 (4)解方程（组），求出结果．
训练2、如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木 块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动。则关于木 块A的受力，下列说法正确的是（ ） A．木块A受重力、支持力和向心力 B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦 力的方向指向圆心 C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦 力的方向与木块运动方向相反 D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦 力的方向与木块运动方向相同
有硬性支持物，如杆子， 最小速度可以为零 速度小，杆子是支持力 速度大，杆子是拉力
练习2、如图，长为L的轻杆一端固定一质量为m 的小球，另一端可绕固定转动轴O在竖直平面内无 摩擦地转动．已知小球通过最高点P时，速度的大 小为v=2 gL ，则小球受力情况为（ B ） A、小球在P点受到轻杆向上的弹力 B、小球在P点受到轻杆向下的弹力 C、小球在P点不受轻杆的作用力 D、无法确定
mg FN
2
(2)车速最小，车仍能 安全(不掉下来)，即车 仍能做圆周运动
v FN m mg 440 N r
2
r
v mg FN m r
v0 mg 0 m r
2
v0 gr 30m / s
小结提升：此类（有约束无支撑型）问题中，当
V gR
时，物体有向心运动（“掉下”）的趋势 ．因此临界速度在这类问题中的意义可理解为物 体做完整圆周运动的最小速度为 Vmin gR