高中数学-抛物线的标准方程测试题
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，由抛物线定义，．而余弦定理，，再由，得到，所以的最大值为，故选：A．【考点】双曲线的简单性质.2.已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2－x＋y2＝4（2）存在，(1，－2)和(1,2)【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，即|OP|2＋|CP|2＝9．设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，化简，得到x2－x＋y2＝4．(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．由方程组，得x2＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，故取x＝1，此时y＝±2．故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．3.动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．【答案】x2＝y【解析】设直线l的方程为y＝x＋b，联立，消去y，得x2＝2p(x＋b)，即x2－2px－2pb＝0，∴x1＋x2＝2p＝3，∴p＝，则抛物线的方程为x2＝y．4.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.5.已知抛物线C：的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】B【解析】由抛物线的方程可知焦点，直线的斜率为，则直线的方程为，设.将直线方程和抛物线方程联立削去并整理可得，解得.所以.故B正确.【考点】1直线与抛物线的位置关系；2数形结合思想.6.设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为________．【答案】【解析】设P(x0，x2)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x2.代入y＝x2得x2＋－－x2＝0，即(x－x)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ2＝2＋2，令t＝4x2，则PQ2＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.7.已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的直线l与抛物线C2分别相交于A ，B两点．(1)如图所示，若，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．【答案】（1）；（2）长轴长的最小值为.【解析】（1）首先求得抛物线方程为.设直线方程为，并设利用，得到；联立，可得，应用韦达定理得到，从而得到，求得直线方程.（2）可求得对称点，代入抛物线中可得：，直线方程为，考虑到对称性不妨取,椭圆设为联立直线、椭圆方程并消元整理可得，由，可得，即得解.（1）由题知抛物线方程为。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
高中数学人教A版选修-课时作业--抛物线的标准方程含答案
23
14.[解析] 双曲线 3x2－y2＝1 的焦点分别为 F1 3 ，0 ，F2 ，0 ，若抛物线的焦
83
－
3
点为 F1，则抛物线的标准方程为 y2＝－
3
x；若抛物线的焦点为 F ，则抛物线的标准方程
2
83 为 y2＝ 3 x.
15.[解析] 设 P(x0,4)，因为 P 是抛物线上的一点，所以 3×42＝16x0.解得 x0＝3，即
2x2＋2＝x1＋1＋x ＋1.即 3
x2＝x1＋2 x3.
y1＋y3
( ) 线段
AD
中点为
x1＋x3 y1＋y3 2，
，所以
kAD＝yx33－ －yx11，AD
2 －0
中垂线斜率为 x1＋x3
.
－3
2
2
y3－y1
y1＋y3
所以x3－x1 · x1＋x3－6＝－1.
4x3－4x1 即 x23－x21 －6 x3－x1 ＝－1.
( ) ( ) ( ) y ，M(－x,0)，所以PM＝ －x，－2 ，PF＝ 1，－2
.
所以→PM·→PF＝－x＋y2＝0⇒y2＝4x，所以 N 点的轨迹方程为 y2＝4x. 4
(2)如右图所示，|AF|＝1x ＋1，|BF|＝x ＋1，|DF| 2 → →→
＝x3＋1，因为|AF|， |BF|，|DF|成等差数列，所以
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线 C 上除原点外的三点，且|AF|，|BF|，| → DF|成等差数列，当 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时，求 B 点的坐标．
1.[解析]
依题意，抛物线开口向左，焦点在
x
高中-数学-通用版-2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程一、选择题1、准线与x轴垂直，且经过点（1，2-）的抛物线的标准方程是（）A. y2＝-2xB. y2＝2xC. x2＝2yD. x2＝-2y2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线22142x y-=上，则抛物线的方程为（）A. y2＝8xB. y2＝4xC. y2＝2xD. y2＝±8x3、设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 124、已知点A（-2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（）A.43- B. -1 C.34- D.12-5、如图，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向23km 处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是（）万元．A. （23aB. 231）aC. 5aD. 6a6、已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝-1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为（）A. 22B. 4C. 2D. 321 2+7、已知双曲线C1：22221x ya b-=（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为（）A. x 2＝83yB. x 2＝163yC. x 2＝8yD. x 2＝16y二、填空题8、抛物线y ＝2x 2的准线方程为______．9、抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是______．10、抛物线214y x =-上的动点M 到两定点F （0，-1），E （1，-3）的距离之和的最小值为______．11、在抛物线y 2＝-12x 上，与焦点的距离等于9的点的坐标是______．12、对于标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；①焦点在x 轴上；①抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；①由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是______．（要求填写适合条件的序号）三、解答题13、设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x（k ＞0）与C 交于点P ，PF ①x 轴，求k 的值．14、如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？15、如图，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M ．（1）求抛物线的方程；（2）过点M作MN①F A，垂足为N，求点N的坐标．参考答案1、【答案】B【分析】本题考查抛物线的标准方程.【解答】由题意，可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则（2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，选B.2、【答案】D【分析】本题考查抛物线的标准方程和焦点坐标.【解答】由题意抛物线的焦点坐标为（2，0）或（-2，0），因此抛物线方程为y2＝±8x.3、【答案】B【分析】本题考查抛物线的定义和标准方程.【解答】抛物线y2＝8x的准线方程为x＝-2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.4、【答案】C【分析】本题考查直线与抛物线的综合.【解答】抛物线的准线方程为x＝-2，则焦点为F（2，0）．从而k AF＝303 224 -=---.5、【答案】C【分析】本题考查抛物线的应用.【解答】依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向处，①B到点A的水平距离为3km，①B到直线l距离为3＋2＝5（km），那么修建这两条公路的总费用最低为5a万元，选C.6、【答案】A【分析】本题考查抛物线的定义.【解答】将P点到直线l1：x＝-1的距离转化为点P到焦点F（1，0）的距离，过点F 作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，①P到两直线的距离之和的= A.7、【答案】D答案第1页，共4页【分析】本题考查抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式.【解答】由e 2＝1＋22b a ＝4得b a =y ＝±y ＝0，抛物线C 2的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则222p =，解得p ＝8，故抛物线C 2的方程为x 2＝16y . 8、【答案】18y =- 【分析】本题考查抛物线的准线方程. 【解答】化方程为标准方程为212x y =，故128p =，开口向上，①准线方程为18y =-. 9、【答案】2【分析】本题考查抛物线的定义.【解答】抛物线y 2＝2x 的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为x ＝12-，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.10、【答案】4【分析】本题考查抛物线的定义以及标准方程.【解答】抛物线的标准方程为x 2＝-4y ，其焦点坐标为（0，-1），准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E （1，-3）到直线y ＝1的距离．即最小值为4.11、【答案】（-6，-6，-【分析】本题考查抛物线的标准方程.【解答】设所求点为P （x ，y ），抛物线y 2＝-12x 的准线方程为x ＝3，由题意知3-x ＝9，即x ＝-6．代入y 2＝-12x ，得y 2＝72，即y ＝±因此P （-6，或P （-6，-．12、【答案】①①【分析】本题考查抛物线的定义以及标准方程.【解答】抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，①满足，①不满足；设M （1，y 0）是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋2p ＝1＋52＝72≠6，∴①不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，过该焦点的直线方程为52y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若由原点向该直线作垂线，垂足为（2，1）时，则k＝-2，此时存在，∴①满足．13、【答案】k＝2．【分析】本题考查抛物线的标准方程和焦点坐标.根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF①x轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y＝k x上求出k．【解答】①y2＝4x，①F（1，0）．又①曲线y＝kx（k＞0）与C交于点P，PF①x轴，①P（1，2）．将点P（1，2）的坐标代入y＝kx（k＞0）得k＝2．14、【答案】|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．【分析】本题考查抛物线的应用.【解答】如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（9，-8）．设抛物线方程为x2＝-2py（p＞0）．①B点在抛物线上，①81＝-2p·（-8），①p＝8116，①抛物线的方程为x2＝818-y．当x＝92时，y＝-2，即|DE|＝8-2＝6．①|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．15、【答案】（1）y2＝4x；（2）84,55N⎛⎫⎪⎝⎭．【分析】本题考查直线与抛物线的综合应用.【解答】（1）抛物线y2＝2px的准线方程为x＝2p-，于是4＋2p＝5，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x．（2）由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）．又F（1，0），∴k AF＝43，则F A的方程为y＝43（x-1）．∵MN①F A，∴k MN＝34-，则MN的方程为y＝34-x＋2．答案第3页，共4页解方程组()32,441,3y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得8,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴84,55N ⎛⎫⎪⎝⎭．。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被曲线截得的弦恰好被点所平分？【答案】（1）；（2）即【解析】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程，或根据定义来求抛物线方程.（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值.试题解析：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得.①当直线的斜率不存在时，不合题意.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，消去，得，（*）∴，解得.此时，方程（*）为，其判别式大于零，∴存在满足题设的直线且直线的方程为：即.解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得.∵在轨迹上，∴有，将，得.当时，弦的中点不是，不合题意，∴，即直线的斜率,注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）∴存在满足题设的直线且直线的方程为：即.【考点】（1）抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线的综合问题.2.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；（2）当直线与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】（1）所求抛物线的方程是，准线方程是．（2）．且由①-②得直线AB的斜率为-1．【解析】（1）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p，即求出抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则可分别表示、，根据倾斜角互补可得，进而得出与之间的等式关系，最后把点A、B代入抛物线的方程并将两式相减后即可求得直线AB的斜率．试题解析：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为．因为点P（1,2）在抛物线上，所以，解得．故所求抛物线的方程是，准线方程是．（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以．又由，均在抛物线上，得①②所以，所以．且由①-②得直线AB的斜率为-1．【考点】抛物线的应用．3.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．4.已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．（1）求的值；（2）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．（i）求四边形面积的最小值；（ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（i）四边形面积的最小值是48（ii）【解析】（1）直接利用抛物线的定义（2）（i）S四边形ABCD，，利用弦长公式，以及基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题的解法求解（ii）恒过定点问题的常规解法试题解析：（1）由已知∴（2）（i）由题意可设直线的方程为（），代入得设则，∴6分同理可得 7分S四边形ABCD8分设则∴S四边形ABCD∵函数在上是增函数∴S四边形ABCD ，当且仅当即即时取等号∴四边形面积的最小值是48. 9分（ii）由①得∴∴∴， 11分同理得 12分∴直线的方程可表示为即当时得∴直线过定点（4,0）. 14分注：第（2）中的第（i）问：S四边形ABCD（当且仅当时取等号）也可.【考点】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．5.已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】⑴⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.【解析】⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标. 试题解析：⑴设，则，由得，;即;所以轨迹方程为;⑵设，由题意得（否则）且,所以直线的斜率存在，设其方程为，因为在抛物线上,所以，将与联立消去，得;由韦达定理知①;(1)当时，即时，,所以，,所以.由①知：,所以因此直线的方程可表示为，即.所以直线恒过定点(2)当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点;所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点. 12分【考点】相关点法求曲线方程;分类讨论.6.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由抛物线方程可知，，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为。
高三数学抛物线试题答案及解析
高三数学抛物线试题答案及解析1.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为__________．【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为（0，2），所以双曲线的焦点在y轴上且c=2，所以双曲线的方程为，即a2=n＞0，b2=-m＞0，所以a＝，又e＝，解得n=1，所以b2=c2-a2=4-1=3，即-m=3，m=-3，所以双曲线的方程为，故答案为：．【考点】１．抛物线的简单性质；２．双曲线的简单性质．2.已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.（1）证明: 为定值;（2）若△POM的面积为，求向量与的夹角；(3)证明直线PQ恒过一个定点.【答案】（1）见解析； (2) ；(3)直线PQ过定点E（1，－4）.【解析】（1）设点根据、M、A三点共线，得计算得到=5；(2)设∠POM=α，可得结合三角形面积公式可得tanα="1."根据角的范围，即得所求.(3)设点、B、Q三点共线，据此确定进一步确定的方程，化简为得出结论.试题解析：（1）设点、M、A三点共线，2分5分(2)设∠POM=α，则由此可得tanα=1. 8分又 10分(3)设点、B、Q三点共线，即 12分即 13分由（*）式，代入上式，得由此可知直线PQ过定点E（1，－4）. 14分【考点】抛物线及其几何性质，直线方程，直线与抛物线的位置关系，转化与化归思想.3.已知抛物线C: y2 =2px（p>0）的准线L，过M（l，0）且斜率为的直线与L相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=____ 。
【答案】2【解析】由题意可得，抛物线的焦点为，准线为．，为AB的中点．直线方程为，由题意可得,故由中点公式可得，把点B的坐标代入抛物线可得,解得.【考点】直线与抛物线的位置关系4.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围．【答案】（1）－y2＝1（2）(－1，－)∪(，1)【解析】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1．(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，由题意得，故k2≠且k2<1①．设A(xA ，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·>2得xA xB＋yAyB>2，x A xB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，于是>2，即>0，解得<k2<3②．由①②得<k2<1，所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．5.已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的方程为，则其直径长圆心为，设的方程为，代入抛物线方程得：设，有∴线段的长按此顺序构成一个等差数列，，即，解得，故选A.【考点】1.抛物线的几何性质；2.直线与抛物线相交问题.6.已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】过A，B及线段AB的中点C向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，Q，CQ交y轴于T，由抛物线的定义知|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3，因为CQ是直角梯形AMNB的中位线所以CQ|=(|AM|+|BN)=，所以|CT|=|CQ|－|TQ|=－=7.已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.（1）求抛物线E的方程；（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.【答案】（1）y2＝4x；（2）点N坐标为或.【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问，利用抛物线的准线，得到M点的坐标，利用圆的方程得到圆心C的坐标，在中，可求出，在中，利用相似三角形进行角的转换，得到的长，而，从而解出P的值，即得到抛物线的标准方程；第二问，设出N点的坐标,利用N、C点坐标写出圆C的方程，利用点C的坐标写出圆C的方程，两方程联立，由于P、Q是两圆的公共点，所以联立得到的方程即为直线PQ的方程，而O点在直线上，代入点O的坐标，即可得到s、t的值，即得到N点坐标.试题解析：（1）由已知得，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以，即，p＝2．故抛物线E的方程为y2＝4x． 5分（2）设N(s，t)．P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D方程为，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0．①又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0．②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0．③ 9分P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，．故点N坐标为或． 12分【考点】抛物线的标准方程及其几何性质、圆的标准方程及其几何性质、圆的切线的性质.8.如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.【答案】（1）,（2）一个【解析】（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,则所求抛物线的方程为. (2分)设直线的方程为,点、的坐标分别为.由,消得.由,得,,.∵,∴.设点坐标为,则有.,,∴或.∴或, ∵恒成立. ∴.又直线过定点,即,代入上式得注意到上式对任意都成立,故有,从而点坐标为. (8分)(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,由消,得.∴,.∵的中点坐标为,即,∵,∴的中点坐标为.由已知得,即.设,则,在上是增函数.又,,在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个. (12分)【考点】直线与抛物线关系，零点存在定理9.在平面直角坐标系中，已知三点，直线AC的斜率与倾斜角为钝角的直线AB的斜率之和为，而直线AB恰好经过抛物线)的焦点F并且与抛物线交于P、Q两点（P在Y轴左侧）．则（）A．9B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，且．令，，则，所以，且，由此可解得．由抛物线的方程知焦点为，因此设直线的方程为，代入抛物线方程，得，解得或，所以由题意知，．由图形特征根据三角形相似易知．【考点】1、直线的斜率；2、直线方程；3、直线与抛物线的位置关系．10.抛物线y2＝－8x的准线方程是________．【答案】x＝2【解析】∵2p＝8，∴p＝4，故所求准线方程为x＝2.11.下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽________m.【答案】2【解析】设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，即x＝±，所以水面宽为2.12.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于()A．2B．2C．4D．2【答案】B【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x. ∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=.【答案】2【解析】设A(x0,y),由抛物线定义知x+1=2,∴x=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.14.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于()(A) (B) (C) (D)2【答案】D【解析】法一设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),由得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,∴x1+x2=,x 1x2=4,由·=0,得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,代入整理得k2-4k+4=0,解得k=2.故选D.法二如图所示,设F为焦点,取AB中点P,过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,连接MF,MP,由·=0,知MA⊥MB,则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),所以MP为直角梯形BHGA的中位线,所以MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,又|AG|=|AF|,|AM|=|AM|,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠AGM=90°,则MF⊥AB,所以k=-=2.15.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是() A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,由y2=4x知F(1,0),∴|PF|min=-1=4.故选B.16.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为.【答案】x-2y+4=0【解析】点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.17.设M(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,F为抛物线C的焦点,若以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则x的取值范围是()A．(2,+∞)B．(4,+∞) C．(0,2)D．(0,4)【答案】A【解析】∵(x0,y)为抛物线C:y2=8x上一点,∴x≥0,又∵以F为圆心,|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,∴在水平方向上,点M应在点F的右侧,∴x>2.18.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y)(y>0)作两直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为.【答案】-2【解析】设直线PA的斜率为kPA ,PB的斜率为kPB,由=2px1,=2px,得kPA==,同理kPB=,由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,因此=-,即y1+y2=-2y(y>0),那么=-2.19.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2+2x-3=0上,则p=()A．B．1C．2D．3【答案】C【解析】由已知(,0)在圆x2+y2+2x-3=0上,所以有+2×-3=0,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(舍去).20.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】作出图形,可知点(0,1)在抛物线y2=4x外.因此,过该点可作抛物线y2=4x的切线有两条,还能作一条与抛物线y2=4x的对称轴平行的直线,因此共有三条直线与抛物线只有一个交点.21.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.(1)求实数b的值.(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】(1) b=-1 (2) (x-2)2+(y-1)2=4【解析】(1)由得x2-4x-4b=0(*)因为直线l与抛物线C相切,所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0.解得b=-1.(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0.解得x=2,代入x2=4y,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.22.过抛物线焦点的直线交其于，两点，为坐标原点．若，则的面积为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】设直线的倾斜角为及，∵，∴点到准线的距离为，∴，则．∴的面积为．故选C.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.23.如图X15－3所示，已知圆C1：x2＋(y－1)2＝4和抛物线C2：y＝x2－1，过坐标原点O的直线与C2相交于点A，B，定点M的坐标为(0，－1)，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.(1)求证：MA⊥MB；(2)记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)证明：设直线AB的方程为y＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2－kx－1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－1.又·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－k2－1＋k2＋1＝0，∴MA⊥MB.(2)设直线MA的方程为y＝k1x－1，MB的方程为y＝k2x－1，k1k2＝－1.解得或∴A(k1，－1)，同理可得B(k2，－1)，∴S1＝|MA||MB|＝|k1k2|.又解得或∴D ，同理可得E . ∴S 2＝|MD||ME|＝.＝λ＝＝≥.故λ的取值范围是.24. 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积． 【答案】(1) y 2＝8x (2) 24【解析】解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8， ∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x. (2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M. 由得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴ x 1x 2＝＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， ∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M(8,0)．故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝·|FM|·|y 1－y 2|＝3＝24.25. 已知抛物线方程为x 2＝4y ，过点M (0，m )的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4，则m 的值为________． 【答案】1【解析】设直线方程为y ＝kx ＋m ，代入抛物线方程得x 2－4kx －4m ＝0，所以x 1x 2＝－4m ，所以m ＝1.26. 抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（0，2） C ．（l ，0） D ．（0，1）【答案】D 【解析】因为，所以，因为焦点在的正半轴，所以焦点坐标为即。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
高中数学选修2-1课时作业 抛物线的标准方程附解析
1．抛物线y＝4x2的准线方程为()A．x＝－1B．y＝－1 C．x＝－116D．y＝－1162．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0)3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为()A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y5．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1 B．1或4 C．1或5 D．4或56．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x7．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．10．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116 D ．y ＝－116答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y . 答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为( )A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5解析：因为点M 到对称轴的距离为4，所以点M 的坐标可设为(x ，4)或(x ，－4)，又因为M 到准线的距离为5，所以⎩⎪⎨⎪⎧42＝2px ，x ＋p 2＝5，解得⎩⎨⎧x ＝4，p ＝2，或⎩⎨⎧x ＝1，p ＝8. 答案：B6．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x答案：A7．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋12＝3，所以x A＋x B＝52.所以线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.答案：549．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：x M＋1＝10⇒x M＝9.答案：910．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－1 4，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p2＝3，所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即（x－3）2＋y2＝|x＋3|，化简得y2＝12x.所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．【答案】4【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线方程为,所以即．【考点】抛物线的定义及性质．2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得．故所求抛物线的方程是, 准线方程是．（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：．设，由韦达定理得：，即：．将换成，得，从而得：，直线的斜率．【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．4.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，，则由得，则有，，所以得，，又，，因为所以有，即，即，所以，选D【考点】抛物线的概念、向量的运算5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.6.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。
高二数学抛物线试题答案及解析
高二数学抛物线试题答案及解析1.过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线，它与抛物线交于A、B两点，求这两点间的距离．【答案】8【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），则过焦点的直线的参数方程可设为（t为参数），将其代入抛物线方程并化简得t2＋4t－8＝0，由参数t的几何意义可知|AB|=|t1－t2|=8.试题解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），设过焦点F（1,0），倾斜角为π的直线的参数方程为（t为参数），将此代入y2＝4x，得t2＋4t－8＝0，设这个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t 1＋t2＝－4，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝＝＝8.∴A、B两点间的距离是8.【考点】参数方程的应用2.准线为的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【答案】B【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程【考点】抛物线方程的应用.3.已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.【答案】【解析】设抛物线上的动点的坐标为，它到到直线和的距离之和为，则=，当时，.【考点】直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.4.已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k．当k为何值时，直线l与该抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【答案】当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l 与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．【解析】解题思路：联立直线方程与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式的符号判定直线与抛物线的交点个数.规律总结：解决直线与圆锥曲线的交点个数，一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，利用判别式的符号进行判定.注意点：当整理得到的一元二次方程的二次项系数为字母时，要注意讨论二次项系数是否为0.试题解析：直线l的方程为，联立方程组得．①当时，知方程有一个解，直线l与该抛物线只有一个公共点．②当时，方程的判别式为，若，则或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点．若，则，此时直线l与该抛物线有两个公共点．若，则或，此时直线l与该抛物线没有公共点．综上：当，或，此时直线l与该抛物线只有一个公共点；当，此时直线l与该抛物线有两个公共点；当或，此时直线l与该抛物线没有公共点．【考点】直线与抛物线的交点个数.5.已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.【答案】（1）；（2）或。
抛物线及其标准方程含答案
抛物线及其标准方程一、选择题1．抛物线y=-2x 2的焦点坐标为 ( D ) A. (21-,0) B. (0, 21-) C. (81-,0) D. (0, 81-) 2． 抛物线y 2=-2px(p>0)上横坐标为-4的点到焦点的距离为10，则该抛物线的方程是(D )A ．y 2=-8xB ．y 2=-12xC ．y 2=-20xD ．y 2=-24x3．过抛物线x=41y 2的焦点的直线的倾角为3π，则抛物线顶点到直线的距离是( A ) A. 23 B. 3 C. 21 D. 1 4．抛物线y 2=4x 截直线y=2x+k 所得弦长为35，则K 的值是( D )A ．2B ．-2C ．4D ．-45．已知抛物线2y =4x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于R ，过抛物线上一点P(4,-4)作PQ ⊥l 于点Q ，则梯形PQRF 的面积是( C )A ．18B ．16C ． 14D ．126．抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线2x-y-6=0上的抛物线的标准方程是( B )A ．2y =6x 或2x =-12yB ．2y =12x 或2x =-24yC ．2y =-6x 或2x =12yD ．2y =-12x 或2x =24y7． 抛物线y 2=2px(p>0)上一点M(x 0,y 0)和焦点的连线叫做点M 处的焦半径，它的值是( B )A. x 0-2pB. x 0+2p C. x 0-p D. x 0+p 8．一动圆圆心在y 2=8x 上，且动圆与定直线x+2=0相切，则此动圆必过定点( B )A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2）9．“直线与抛物线有且只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分与不必要条件10． 一条直线被抛物线x y 162=所截得的弦被点（2，4）所平分，则这条直线方程为( D )A ．4x-y-4=0B ．8x-y-12=0C ．2x+y-8=0D ．2x-y=011．抛物线y 2=18x 与圆100)6(22=++y x 的公共弦所在的直线方程是( B )A ．x=±2B ．x=2C ．x=-6D ．x=2或x=-612．设定点M （3，2）与抛物线y 2=2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线的距离为d 2，则当d 1+d 2取最小值时，P 点的坐标为( C )A ．（0，0）B ．（1，2）C ．（2，2）D ．（21,81-） 二、填空题13．抛物线x 2=4y 上一点M 到焦点的距离是2，则点M 的坐标是 (2,1)(-2,1)14．以椭圆19722=+y x 的中心为顶点，椭圆的左焦点为焦点的抛物线方程为 15．已知某抛物形拱桥，跨度20m ，每隔4m 需用一根支柱支撑，已知拱高为4m ，则从桥端算起，第二根支柱的长度是 3 。
高二数学人教A版习题练习2-3-1抛物线及其标准方程Word版含答案
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十五 抛物线及其标准方程基础全面练 (20分钟 35分)1．下列抛物线中，其方程形式为y 2＝2px(p>0)的是( )【解析】选A.根据方程形式为y 2＝2px(p>0)，可得其图象关于x 轴对称，且x≥0，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右．【补偿训练】抛物线y ＝14 x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】选A.因为y ＝14 x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.2．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离为( )A ．18B ．12C ．14D ．4【解析】选C.根据题意，抛物线的方程为y ＝2x 2，其标准方程为x 2＝12 y ，其中p ＝14 ， 则抛物线的焦点到准线的距离p ＝14 .3．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2 x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2 ，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【解题指南】由|PF|＝4 2 及抛物线的定义求出点P 的坐标，进而求出面积．【解析】选C.抛物线C 的准线方程为x ＝－ 2 ，焦点F( 2 ，0)，由|PF|＝4 2 及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝3 2 ，从而y P ＝±2 6 ，所以S △POF ＝12 |OF|·|y P |＝12 × 2 ×2 6 ＝2 3 .4．已知抛物线的方程为x ＝136 y 2，则该抛物线的准线方程是________．【解析】x ＝136 y 2，焦点在x 轴上，且p 2 ＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.答案：x＝－95．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 3 ，那么|PF|＝________．【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则|AE||EF|＝tan 60°，即|AE|＝4 3 ，所以点P的坐标为(6，4 3 )，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.答案：86．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝9 4.所以所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·柳州高二检测)已知点A⎝⎛⎭⎫2，a为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则||AF等于()A．3 B．2 2 C．2 D． 2【解析】选A.由抛物线方程知F⎝⎛⎭⎫1，0，所以||AF＝2＋1＝3.2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)【解析】选C.因为点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3 C． 5 D．92【解析】选A.由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，如图，所以点P 到准线x ＝－12 的距离d ＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，当A ，P ，F 三点共线时取最小值，又|PA|＋d ＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋（2－0）2 ＝172 ，故最小值为172 .4．过点A(1，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】选D.设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F ，其准线与双曲线x 23 －y 23 ＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】选C.如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33 p ，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2 ， 又点B 在双曲线上，故13p 23 －p 243 ＝1，解得p ＝6.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的点且||MF ＝3，N ⎝⎛⎭⎫－2，0 ，则直线MN 的斜率为________．【解析】设M(x ，y)，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由||MF ＝3，则x ＋2＝3，得x ＝1，y ＝±2 2 ，故MN 的斜率为±221－（－2） ＝±223 .答案：±2237．以椭圆x 216 ＋y 29 ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【解析】因为椭圆的方程为x 216 ＋y 29 ＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p 2 ＝4，即p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x.答案：y2＝16x8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝（4－1）2＋52－1＝34 －1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值34 －1.答案：34 －1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )，双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．【解析】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )得，8p＝32，解得p ＝4，所以抛物线焦点为(2，0)，又因为双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，故c＝2，又由双曲线的离心率为2，可得a＝1，b＝c 2－a 2 ＝ 3 ，所以抛物线方程为：y 2＝8x ，双曲线方程为：x 2－y 23 ＝1.10．若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 .求点M 的轨迹方程．【解题指南】把|MF|比M 到y 轴的距离大12 ，转化为|MF|与点M 到x ＝－12 的距离相等，从而利用抛物线定义求解．【解析】由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 ，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离与它到直线l ：x ＝－12 的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px(p>0)的形式，而p 2 ＝12 ，所以p ＝1，2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x(x≠0).创新迁移练1．已知曲线C 的方程为F(x ，y)＝0，集合T ＝{(x ，y)|F(x ，y)＝0}，若对于任意的(x 1，y 1)∈T ，都存在(x 2，y 2)∈T ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称曲线C 为Σ曲线．下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有________．(写出所有Σ曲线的序号)①x2＝1；②x2－y2＝1；③y2＝2x；2＋y2④|y|＝||x＋1.＝1的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且【解析】①x22＋y2图象是封闭图形，所以对于任意的点P⎝⎛⎭⎫x2，y2x1，y1，存在着点Q⎝⎛⎭⎫使得OP⊥OQ，所以①满足；②x2－y2＝1的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时∠POQ<90°，当P，Q不在双曲线同一支上，此时∠POQ>90°，所以∠POQ≠90°，OP⊥OQ不满足，故②不满足；③y2＝2x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，连接OP，再过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以∠POQ＝90°，所以OP⊥OQ，所以③满足；④取P⎝⎛⎭⎫0，1，若OP⊥OQ，则有y2＝0，显然不成立，所以此时OP⊥OQ 不成立，所以④不满足．答案：①③2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，所以无法通行，又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．关闭Word文档返回原板块。
高一数学抛物线及其标准方程1
y2 = 16x 或 x2 = -12x
(2) 经过点（－8,8）的抛物线的标准方程为
y2 = -8x 或 x2 = 8y
1 . 解：设直线与x轴，y轴交于点F1、F2 ， 将y＝0或x=0分别代入直线方程可解得 F1（4,0），F2（0,3），故所求抛物线 方程为： y2＝16x 或 x2＝-12y
抛物线及其标准方程
与一个定点的距离和一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹 是什么 ？
椭圆 (0<e<1)
双曲线
(e > 1)
图8-19
平面内与一个定点F和一条定 直线L的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。点F叫做抛物线的焦点， 直线L叫做抛物线的准线。
如图8－20，建立 直 角 坐 标 系 xOy ， 使 x 轴经过点 F 且垂直于直 线 L ，垂足为 K ，并使 原 点 与 线 段 KF 的 中 点 重合。
做抛物线的焦点,直线L叫做抛物线的准线．
2 .抛物线的图形及其标准方程
P119
习题2、4、5
求抛物线y 2 =4ax的焦点坐标和准线方程。
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这个创世帝究竟是不是存在,没有人知道呀。"她说："所谓创世帝是什么存在呢,就是开创现在の修行万域の人物,可以说比之你の那位地球上の老友北天,也不相上下呀。""传闻当年这星宇之下,有修行万域,而这万域の开创者就是那位创世帝。不过咱猜想如果真の存在这样の人物の话, 那他の名字肯定也不是叫创世帝,是后人给他封の名字。"伊莲娜尔道："要是这东西真是他の成名神宝の话,特别壹些也很正常,你猜里面有壹片壹片の星空也有可能。""你那位地球上の老友,不也弄出了九龙珠吗?那九颗九龙珠の内
高中数学-抛物线(原卷版)
第12讲 抛物线新课标要求1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
2.了解抛物线的简单应用。
知识梳理1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px (p ＞0)F ⎝⎛⎭⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 x ＝p2x 2＝2pyF ⎝⎛⎭⎫0，p2 y ＝－p2x2＝－2py(p ＞0)F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 y ＝p23.抛物线的简单几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0)图象性质 范围x ≥0，x ≤0，y ≥0，y ≤0，名师导学知识点1 求抛物线的标准方程【例1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为x＝－1；(2)焦点为直线3x－2y－6＝0与坐标轴的交点；(3)经过点(－3，－1)．【变式训练1-1】根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)准线方程为y＝－2；(2)焦点在x轴上，焦点到准线的距离等于5；(3)过点(1，－2)．知识点2 根据抛物线方程求焦点坐标、准线方程 【例2-1】求下列抛物线的焦点坐标及准线方程．(1)y 2＝－4x ； (2)y ＝4x 2； (3)3x 2＋2y ＝0； (4)y 2＝ax (a ＞0)．【变式训练2-1】(1)已知抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝－14，则a ＝________.(2)(全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8知识点3 抛物线定义的应用【例3-1】(1)若动点P 到定点F (1,1)的距离与它到定直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线(2)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D ．74(3)(晋中市期末)已知直线l 1：3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝－2，抛物线x 2＝4y 上的动点P 到直线l 1与直线l 2距离之和的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．338【变式训练3-1】(1)已知动圆过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)， 在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|P A |的值最小．知识点4 抛物线的简单几何性质【例4-1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A.433B ．8 C.833D ．163【变式训练4-1】设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( )A ．2 3B ．43C ．8D ．83【变式训练4-2】已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，求抛物线的标准方程．知识点5 抛物线的焦点弦的性质及应用【例5-1】已知AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(2)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p .【变式训练5-1】设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．知识点6 直线与抛物线的位置关系的判断【例6-1】已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)．当k分别为何值时，直线l与抛物线只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【变式训练6-1】如果直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且只有一个公共点，求直线l的方程．知识点7 弦长、中点弦问题【例7-1】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，且该弦恰被Q平分，求AB所在的直线方程及|AB|.【变式训练7-1】(台州市月考)过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|＝54m，则m＝()A．6 B．8C．10 D．12知识点8 抛物线中的定点、最值问题【例8-1】如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)证明：直线AB必过一定点；(2)求△AOB面积的最小值．【变式训练8-1】已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P (2，n )(n >0)在抛物线C 上，|PF |＝3，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程及点P 的坐标； (2)求P A →·PB →的最大值．名师导练 3.3.1 抛物线及其标准方程A 组-[应知应会]1．到定点F (1，－1)的距离与到直线3x －2y －5＝0的距离相等的点P 的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支D．直线2．已知抛物线y 2＝2px 上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝8 B ．x ＝－8 C ．x ＝4D ．x ＝－43．(杭州模拟)已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A.10B ．4 C.15D ．54．若椭圆x 23＋4y 2p 2＝1(p ＞0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为( )A ．3B ． 3 C.6 D ．65．(牡丹江一中期末)下列抛物线中，焦点到准线的距离最小的是( ) A ．y 2＝－x B ．y 2＝2x C ．2x 2＝yD ．x 2＝－4y6．(运城期末)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到点A (－2,1)的距离之和最小，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B ．⎝⎛⎭⎫14，1 C ．(－2，－22)D ．(－2,22)7．在抛物线y 2＝－2px (p >0)中，p 的几何意义是 ____________________________________________ 8．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的焦点，则p ＝________.9．(南阳市一中开学考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A ，B 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________． 10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，试判断|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|是否成等差数列．12．(南阳一中检测)已知定点A (1,0)，定直线l ：x ＝－2，动点P 到点A 的距离比点P 到l 的距离小1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．B 组-[素养提升](北京十二中期中)设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离是2，则P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．43.3.2 抛物线的简单几何性质A 组-[应知应会]1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程为( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8x D ．y 2＝16x2．若抛物线y 2＝x 上一点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，±24B ．⎝⎛⎭⎫18，±24C.⎝⎛⎭⎫14，24 D ．⎝⎛⎭⎫18，－243．(福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点A (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 的值为( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或24．(保定模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．(郑州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．46．(马鞍山市阶段测试)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为( )A ．±32B ．±23C ．±34D ．±437．(凯里市期末)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________．8．如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是________．9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (0，－2)的距离比它到x 轴的距离大2，记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋b 与轨迹C 恰有2个公共点，求实数b 的取值范围．B 组-[素养提升](全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.3.3.3 直线与抛物线的位置关系A 组-[应知应会]1．抛物线的对称轴为x 轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x －4y －3＝0 B ．x ＋4y ＋3＝0 C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝03．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点4．(郑州市期中)已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，以p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83D ．535．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－26．(绵阳模拟)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A 在y 轴上，若线段F A 的中点B 在抛物线上，且点B 到抛物线准线的距离为324，则点A 的坐标为( )A ．(0，±2)B ．(0,2)C ．(0，±4)D ．(0,4)7．直角△ABC 的三个顶点都在给定的抛物线y 2＝2x 上，且斜边AB 和y 轴平行，则直角△ABC 斜边上的高的长度为________．8．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的弦的中点坐标为________． 9．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则双曲线的离心率为________．10．(平顶山调研)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，求k的值．11．求过定点P(－1,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线l的方程．12．设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与抛物线C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.B组-[素养提升](北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．11/ 11。
高中数学文抛物线的定义标准方程及几何性质同步练习人教实验B版
的方程。（ 12 分）
用心 爱心 专心
2
12. 如果抛物线 y ax2 1 上存在关于直线
对称的两个不同的点， 求 a 的
取值范围。
（13 分）
2
13. 若抛物线 y=ax -1 上总存在关于直线 l ：x+y=0 的对称点，求 a 的取值范围。 （12 分）
14. 过抛物线 y 2 4x 的焦点 F 作弦 AB，且 | AB | 8，直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交
C. y 2 36(x 5)
D. y 2 36(x 5)
2. 若 AB为抛物线 y 2 2px （ p 0 ）的焦点弦， l 是抛物线的准线，则以 AB 为直径的圆
与 l 的公共点的个数是（
）
A. 0
B. 1
C. 2
D.
0或 1或 2
3. 若抛物线 y 2 mx 2 y 4 m 1 0 的准线与双曲线 x 2 3y 2 12 的右准线重合，
于两个不同的点，求直线 AB的倾斜角的范围。（ 13 分）
【试题答案】
1. C
2. B
MM '
1 [ AA' 2
BB' ] 1 AB ，相切 2
3. B
( y 1) m( x 4) 由 m4 3 m4
4
用心 爱心 专心
3
4. B 如图，设 P 点是抛物线
上一点，且
，由抛物线定义，
知 P 到准线的距离为 10，从而得 y 轴到准线的距离为 4，故 F 到准线的距离为 8。
10. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点， 若 A、B 在抛物线准线上的射影分别
为
，则
等于 _________
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高中数学-抛物线的标准方程测试题
自我小测
1．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22
＝1的右焦点重合，则p 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．4
2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则点P 坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±102 3．若A 是定直线l 外的一个定点，则过点A 且与l 相切的圆的圆心的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线 4．设点P 是抛物线y 2＝16x 上的点，它到焦点的距离h ＝10，则它到y 轴的距离d 等于
( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 5．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物
线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝12x
C ．y 2＝16x
D ．y 2
＝20x
6．抛物线y 2＝12x 的准线方程是__________，焦点坐标是__________．
7．动点P 到点F (2,0)的距离与它到直线x ＋2＝0的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．
8．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为__________．
9. 动圆P 与定圆A ：(x -2)2+y 2=1外切，且与直线l ：x =-1相切，求动圆圆心P 的轨迹．
10．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为直线x －2y －4＝0与x 轴的交点．
(2)过抛物线y 2
＝2mx (m ＞0)的焦点F 作x 轴的垂线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝6.
参考答案 1．解析：该题考查圆锥曲线的知识．显然抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 26＋y 22
＝1的右焦点为(2,0)，从而可得p ＝4.故选D. 答案：D
2．解析：设P (x ，y )，因为点P 到焦点的距离为2，所以点P 到准线x ＝－14
的距离也是2，即x ＋14＝2，所以x ＝74，所以y ＝±72
.所以选B. 答案：B
3．解析：设圆心为P ，由圆过点A 且与直线l 相切可知，动点P 到点A 的距离等于它到直线l 的距离．因此动圆的圆心轨迹为抛物线．
答案：D
4．解析：设点P 到抛物线y 2＝16x 的准线的距离为l .由抛物线y 2＝16x 知p 2
＝4.由抛物线定义知l ＝h ，又l ＝d ＋p 2，故d ＝l －p 2＝h －p 2
＝10－4＝6. 答案：B
5．解析：准线方程为l ：x ＝－6a ，M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a ＝5，a ＝13，抛物线方程为y 2＝8x ，故选A.
答案：A
6．解析：由y 2＝12x 知，p
2
＝3，所以准线方程为x ＝－3，焦点坐标为(3,0)． 答案：x ＝－3 (3,0)
7．答案：y 2＝8x
8．解析：因为抛物线方程为y 2=4x ，
则准线方程为x =-1.
设P 点坐标为P(x 0，y 0)，由图可知，
|PM|=x 0+1=5.所以x 0=4.
把x 0=4代入y2=4x ，解得y 0=±4，
所以△MPF 的面积为12|PM |×|y 0|＝12×5×4＝10.
答案：10
9．解：设动圆圆心P(x ，y )，过点P 作PD ⊥l 于点D ，作直线l ′：x =-2，过点P 作PD ′⊥l ′于点D ′，连接PA.
因为动圆与定圆A ：(x -2)2+y 2=1外切，且与直线l ：x =-1相切，
所以|PA|=1+|PD|，
即点P 到点A 的距离比它到直线l ：x ＝－1的距离大1.
所以点P 到点A 的距离与它到直线l ′：x ＝－2的距离相等，即|PA |＝|PD ′|.
根据抛物线的定义，点P 的轨迹是以点A 为焦点，直线l ′：x ＝－2为准线的抛物线，其方程为y 2＝8x .
10．解：(1)令y ＝0得x ＝4，
故抛物线焦点为(4,0)，p 2
＝4，p ＝8， 抛物线方程为y 2＝16x .
(2)设抛物线的准线为l ，交x 轴于点K ，则l 的方程为x =-
2
m ，作AA ′⊥l 于点A ′，BB ′⊥l 于点B ′，
则|AF |＝|AA ′|＝|FK |＝m ，
同理|BF |＝|BB ′|＝|FK |＝m .
又|AB |＝6，则2m ＝6，所以m ＝3.
故抛物线方程为y 2
＝6x .。