第四章 高阶微分方程

一、引言
n阶微分方程一般形式 n阶线性微分方程一般形式
n n 1
F ( t , x , x, , x ( n ) ) 0
d x d x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ), (1) n dt dt dt 其中ai ( t )( i 1,2,, n)及 f ( t )是区间 a t b上的连续函 数. dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0, (2) n dt dt dt 称它为n阶齐次线性微分方程,而方程(1)为n阶非齐次线
x ( t ) x( t ) 也是方程(1)的解.
性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 定理7 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的基本解组, x ( t ) 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解为
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) x (t ), (4) 其中 c1 , c2 , , cn 是任意常数,且通解(4)包括了方程(1)的
W [ x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t )] 0,方程组有唯一的解,设为 ( t ) i ( t ) ( i 1,2,, n), ci ci (t ) i (t )dt i (i 1,2,, n),
则得方程(1)的通解为
x c1 (t ) x 1 (t ) c2 (t ) x2 (t ) cn (t ) xn (t )
(7)1
(t ) c2 (t ) x2 (t ) cn (t ) x x c1 (t ) x1 n ( t ); (7)2
, 令 ( n 2) ( n 2) ( n 2) ( t ) xn ( t ) 0, (8)1 x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t )cn
(2)
y C1 cos wx ,
y C1 sin wx ,
y C1 cos wx C2 sin wx.
定理2(叠加原理)如果 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 是方程(2)的
k个解,则它们的线性组合c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
则
x
( n1)

( n1) ( n1) ( n1) c1 ( t ) x1 ( t ) c2 ( t ) x 2 ( t ) c n ( t ) x n ( t );
(8)2
( n1) ( n1) ( n1) x ( n1) c1 ( t ) x1 ( t ) c2 ( t ) x 2 ( t ) cn ( t ) x n ( t );
W ( t ) 在[a , b]上的某一点 x0 处不等于零,即 W ( x0 ) 0 ,则
则该函数组在[a , b]上线性无关.
定理4如果方程(2)的解 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 在区间a t b 上线性无关,则 W [ x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t )] 在这个区间的任何 点上都不等于零,即 W ( t ) 0,(a t b). 推论2设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 是方程(2)定义在区间 a t b
(6)1
( t ) c2 ( t ) x2 ( t ) cn ( t ) x x c1 ( t ) x1 n ( t ); (6)2 (t ) c2 ( t ) x2 ( t ) cn ( t ) xn ( t ) x c1 (t ) x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t )
也是(2)的解,这里 c1 , c2 , , ck 是任意常数. 问题
当 k n 时,若 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t )是齐次线性方程(2)的解,
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
能否成为方程(2)的通解？
不一定.
c2 ck 0 时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所
给区间上线性无关.
朗斯基行列式 设函数 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 在区间 a t b 上均 有k 1 阶导数,行列式
W x1 ( t ), x2 ( t ),, xk ( t )
(5)
(t ) c2 (t ) x2 ( t ) cn ( t ) x x c1 (t ) x1 n (t ) ( t ) x2 ( t )c2 (t ) xn (t )cn (t ) x1 ( t )c1
令 x1 ( t )c1 ( t ) x2 (t )c2 (t ) xn (t )cn (t ) 0, 则
(10)
x ( t )c ( t ) x ( t )c ( t ) x ( t )c ( t ) 0 1 2 2 n n 1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t ) 0 ( n 2) ( n 2) ( n 2) x ( t ) c ( t ) x ( t ) c ( t ) x ( t ) c (t ) 0 1 1 2 2 n n x ( n1) ( t )c ( t ) x ( n1) ( t )c ( t ) x ( n1) ( t )c ( t ) f ( t ) 1 2 2 n n 1
定理5 n 阶齐线性方程(2)一定存在 n 个线性无关的解. 定理6(通解结构)如果 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 是方程(2)的n
个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ), (3) 其中 c1 , c2 , , cn 是任意常数,且通解(3)包括了方程(2)的
所有解. 推论4 方程(2)的线性无关解的最大个数等于n. n阶齐线性方程的所有解构成一个 n 维线性空间. 方程(2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组.
显然,基本解组不是唯一的. 特别地,当W ( t0 ) 1时称其 为标准基本解组.
。
三、非齐次线性微分方程与常数变易法
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x f ( t ), (1) n dt dt dt 性质1 如果 x ( t ) 是方程(1)的解,而 x ( t ) 是方程(2)的解,则
所有解.
齐次线性方程
基本解组
非齐次线性方程Fra Baidu bibliotek
特解
非齐次线性方程的通解 常数变易法 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的基本解组,因而
x c1 x 1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
为(2)的通解.
设 x c1 ( t ) x 1 (t ) c2 ( t ) x2 (t ) cn ( t ) xn ( t ) 为(1)的解.
(t ) c2 ( t ) x2 ( t ) cn ( t ) xn ( t ) x c1 (t ) x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x x1 n ( t )c n (t )
令 x1 ( t )c1 ( t ) x2 ( t )c2 ( t ) x n ( t )c n ( t ) 0, 则
性微分方程.
定理1(解的存在唯一性定理)如果 ai ( t )( i 1,2,, n) 及
f ( t ) 都是区间 a t b上的连续函数,则对于任一 t0
(1) ( n 1) [a , b]及任意的 x0 , x0 , x0 ,方程(1)存在唯一解 x
( t ), 定义于区间上,且满足初值条件
x1 ( t ) W (t )
' x1 (t )
x2 ( t )
' x2 (t )

xk ( t )
' xk (t )

( k 1) x1 (t )


( k 1) ( k 1) x2 ( t ) xk (t )
称为这些函数的朗斯基行列式.
定理3 若设函数 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 在区间 a t b 上线 性相关,则在[a , b]上它们的朗斯基行列式 W ( t ) 0. 注:其逆命题不一定成立,即由其构成的朗斯基行列式为 零,但它们也可能是线性无关的. 推论1 如果函数组 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 的朗斯基行列式
(8)2
( n) ( n) ( n) x ( n ) c1 ( t ) x1 ( t ) c2 ( t ) x 2 ( t ) cn ( t ) x n (t ) ( n) ( n) ( n) ( t ) x2 ( t ) xn ( t ), (9) x1 ( t )c1 ( t )c2 ( t )cn
函数线性相关和线性无关 设 x1 ( t ), x2 ( t ),, xk (t ) 是定义在区间 a t b 上的
函数,如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck ,使得恒等式
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0
对于所有 t [a , b]都成立,称这些函数是线性相关的,否 则称这些函数在所给区间上线性无关, 即当且仅当 c1
将 (5),(6)1 ,(6)2 ,(7)1 ,(7)2 ,(8)1 ,(8)2 ,(9) 代入(1)并注意到
x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 为方程(2)的解,得到
( n1) (t ) x1 ( t )c1 ( n1) (t ) x2 ( t )c2 ( n1) ( t ) f ( t ). xn ( t )cn
n 1 d ( t 0 ) d ( t0 ) (1) ( n 1) ( t0 ) x0 , x0 , , x . 0 n 1 dt dt
二、齐次线性微分方程解的性质与结构
齐次线性微分方程
dnx d n 1 x dx a1 ( t ) n1 an1 ( t ) an ( t ) x 0 n dt dt dt d2y 例如 2 w 2 y 0 ,( w 0 为常数) dx y sin wx 有解 y cos wx ,
上的n个解,如果存在 t0 [a , b] ,使得W ( t0 ) 0,则该解组在
[a , b]上线性相关.
推论3 方程(2)的n个解 x1 ( t ), x2 ( t ),, xn ( t ) 在区间[a , b]上
线性无关的充分必要条件是 W ( t ) 0,(a t b).