1.3.1函数的单调性和导数

1. 3.1 函数的单调性和导数

课前预习学案

一、预习目标

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

2.掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 二、预习内容

1．利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，

如果在这个区间内'

()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ； 如果在这个区间内'

()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？

回答：

提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．

2．利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；

(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案

一．学习目标：1了解可导函数的单调性与其导数的关系.

2掌握利用导数判断函数单调性的方法.

学习重点：利用导数符号判断一个函数在其定义区间内的单调性. 二、学习过程 【引 例】

1．确定函数2

43=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

解答：， 问 1）、为什么2

43=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？ 解答：，

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？ 解答：， 2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ 解答：， 【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

研究二次函数2

43=-+y x x 的图象；

（1） 画出二次函数2

43=-+y x x 的图象，研究它的单调性。

（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？ 回答：

（3） 我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？

观察图像，能得到什么结论 回答：

【新课讲解】

根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？

一般地，设函数()y f x =在某个区间可导，

如果在这个区间内'

()0f x >，则()y f x =为这个区间内的 ； 如果在这个区间内'

()0f x <，则()y f x =为这个区间内的 。 思考：（1）若f '(x )＞0是f (x )在此区间上为增函数的什么条件？

回答：

提示： f (x )＝x 3，在R 上是单调递增函数，它的导数恒＞０吗？ （2）若f '(x ) ＝0在某个区间内恒成立，f (x )是什么函数 ？

若某个区间内恒有f '(x )＝0，则f (x )为 函数．

结论应用：

由以上结论知：函数的单调性与其 有关，因此我们可以用 去探讨函数的单调性。下面举例说明： 【例题讲解】

例1、 求证：3

1y x =+在(,0)-∞上是增函数。

归纳步骤：1、 ；2、 ；3、 。

例2、 确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.

小结：用导数求函数单调区间的步骤： （1） ； （2） ； （3） 【课堂练习】

1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3

2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的 图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )

课后练习与提高

１．（2007年浙江卷）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

２．已知函数x x x f ln )(=，则（ ） A ．在),0(+∞上递增 B ．在),0(+∞上递减

C ．在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上递增

D ．在⎪⎭

⎫

⎝⎛e 1,0上递减 ３．函数53)(2

3--=x x x f 的单调递增区间是_____________．

y x O y x O y x O y x O A ． B ． C ． D ．

1.3.1函数的单调性和导数教案

一、教材分析

以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2

时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。

在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。 二、教学目标 1，知识目标：

1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。 2，能力目标：

学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。 3，情感、态度与价值观目标：

在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。

三、教学重点难点

教学重点：利用导数判断函数单调性。 教学难点：利用导数判断函数单调性。. 四、教学方法：探究法 五、课时安排：1课时 六、教学过程 【引 例】

1．确定函数2

43=-+y x x 在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：2

2

43(2)1y x x x =-+=--，在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。 问：1）、为什么2

43=-+y x x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数？

2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？

（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

2、确定函数f (x )=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？ （1）能画出函数的图象吗？ （2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f (x )=2x 3－6x 2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解

决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数2

43=-+y x x 的单调区间也不容易。 【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。 问：如何入手？（图象） 从函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象吗？

}

都是反映函数随自变量的变化情况。