6章库仑碰撞与输运过程2012_part1

由 tg( / 2) b0 / b 或 sin2 ( / 2) 1/(1 b2 / b02 )
得
db b0
1
d 2 sin2 ( / 2)
库伦碰撞微分截面
( )
b02 4
1
sin4 (
/ 2)
q q
8
0
u
2
2
1
sin4 (
/ 2)
这就是著名的卢瑟福散射公式。
如果考虑两个带电粒子间的作用受到其它带电粒 子的屏蔽效应，则可用屏蔽库仑势
等离子体中输运现象复杂性：
1、粒子间的库仑长程相互作用;
2、离子与电子质量相差很大;
3、存在强磁场.
等离子体输运现象在受控核聚变研究的很多方 面都有重要作用，因此输运过程在等离子体物 理中占有重要地位。
微观的动理论：
严格处理等离子体的输运问题，应该用微观的动理 论，采用分布函数描述，研究分布函数的时间演化， 然后一切宏观量（如密度、平均速度、温度、电流 密度等）都是由速度分布函数对相应微观量求平均 值得到，从而得到等离子体宏观行为。
趋向平衡问题：如等离子体处于不平衡状态如何 趋向平衡，这就需要等离子体中带电粒子短程的 库仑碰撞。
物理量的输运过程：
物理量在空间传输过程称输运过程
等离子体内部存在密度、速度、温度的空间不均 匀或存在电场时，将会出现粒子流、动量流、 能量流或电流，这些物理量在空间传输需靠等 离子体中粒子间的碰撞。
每秒射入单I 位2面bd积b 粒子数为I ，打在
d
的粒子数d为 2 sind ，这些粒子被散射为到
立体角
d 内，则每秒单位面积粒子束被
散(射)d到立I体 2角bdb
内的几率
2 bdb
I
( ) 2 bdb b db d sin d
( ) 称碰撞（散射）微分截面。
( ) 物理意义：单位时间单位面积入射1个粒子， 散射到 d 的单位立体角内的几率。因为 几率总是正的，所以在式中 db / d 取了绝对值。
r r r
因无外力 Rc = 0
ìïVc = Rc ＝常矢量
íîïmr = Fab (r)
Vc 为质心运动速度， m m /(m m ) 为折合（约化）质量。
结果：质心运动：保持匀速直线运动；
相对运动：相当于质量为μ的一个粒子受力心
固定的有心力F (r) 作用的单粒子运动。
在质心坐标系中，把二体碰撞化为单体问题，使问 题简化。
6.1 等离子体的输运方程组
等离子体输运方程组可以用唯象的方法来建立， 也可以用等离子体动理学方程求速度矩来严格推 导。第4章中已采用后一种方法得到了各种粒子 成份的磁流体力学方程组，由此直接得到输运方 程组:
1. 连续性方程
n t
(n u ) 0
t
( u )
0
上式表示粒子数守恒，如令 m n 为质量密度， 则是质量守恒方程。
2. 运动方程
R R
R 为弹性碰撞造成的对α粒子的摩擦阻力，
( ) 表示不同类粒子弹性碰撞的动量交换。
为粒子弹性碰撞引起的对粒子的粘滞力，对
于理想流体
。
3. 能量平衡方程
3 2 n
dT dt
p u
q
Q
q 为热流矢量， Q 为交换的热能。
对输运方程组说明两点：
（1）输运方程组不封闭。现在方程组中未知的场变 量为nα、uα、Tα，理应由输运方程组自洽求解。现 在输运方程组中还有两个高阶矩 q和 ，现有的输 运方程组内无法知道的，因此需要设法解决。通常 做法是依靠实验定律，把高阶矩用低阶矩表示。如 傅里叶热传导定律：
输运方程组：如果只需要了解一些宏观量的变化， 也可以从输运方程组出发进行研究。
磁流体力学方程组，如忽略波场，只保留外场，就 不需要麦克斯韦方程组，
磁流体力学方程组就简化为输运方程组。
本章主要内容：求解等离子体中所有带电粒子组成 的流体的输运方程组，就可得到完整的输运过程的 描述，输运方程中的系数通过动理学方程求得。
1. 二体碰撞转化为单体问题
设两个粒子其质量和运动ห้องสมุดไป่ตู้度 分别为mα、vα，mβ、 vβ ， 粒子间的相互作用力 F (r ) 为有心力，则运动方程为
ìïma ra = Fab (rab ) í îïmb rb = -Fab (rab )
r r r
引入质心坐标与相对坐标
Rc (m r m r ) /(m m )
第6章 库仑碰撞与输运过程
碰撞的影响：此前几章，应用单粒子轨道理论、 磁流体力学方程研究和处理了等离子体中的一系 列问题，其特点都忽略了带电粒子间的碰撞。磁 流体力学模型是建立在粒子间频繁碰撞基础上的， 但把它应用于等离子体波问题时，又忽略其碰撞 的影响，这是因为波的频率远大于等离子体中粒 子间的碰撞频率。因而可以忽略碰撞的影响。
tg( / 2) b0 / b
q
或 sin2 ( / 2) 1/(1 b2 / b02 )
b0 qq / 40u2
q
b b0 , / 2 ， b0 是偏转角为π/2 的碰撞参
量
b b0 , 称/ 2近碰撞参量
b
b 0
,q
p / 2 称为近碰撞。
称远碰撞(小角度偏转) b b db
T 为温度平衡的平均碰撞频率。
（3）输运方程组中的E、B是外场，不包含等离子 体自身运动产生的波场，因而不需要麦克斯韦方 程组。
输运方程与磁流体力学方程的重要区别：
输运方程组考虑弹性碰撞项，不考虑波场，因而 不存在和麦克斯韦方程组耦合的问题。
6.2 库仑碰撞
研究等离子体中输运过程，首先要研究带电粒子 间的库仑碰撞。
2. 碰撞微分截面
在质心坐标系中，在远处质量为μ、电荷为qα的粒子， 以速度 u 射向固定在O点的电荷为qβ的粒子，其瞄 准距离为b（也称碰撞参量），受有心力 F (r) 的 作用而发生偏转，其偏转角为θ，偏转后速度为uꞌ， 经历这样一个运动过程的称为二粒子碰撞（或称散 射）。
当F 为库仑力
偏转角θ与碰撞参量b 关系
q T
为热传导系数，可采用实验测定的数据；
粘滞张量 Pa 由牛顿粘滞定律用uα的分量表示; 或采 用理想流体近似
经过这样处理，方程组就可以封闭。
（2）输运方程组中含的碰撞项可以从动理学方程
得到
R m n (u u )
Q nT (T T )
式中 为α, β粒子间动量平衡的平均碰撞频率，
(r) q er /D 40r