南京信息工程大学高数期末考试试卷B

南京信息工程大学试卷

学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)

本试卷共 9 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；出卷时间年

学院 专业 2009 年级 班

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、已知22(,)y

f x y x y x

+=-,则=),(y x f _____________.

2、已知π=⎰

∞+∞

--dx e

x 2

,则=⎰

∞

+--dx e x x

21

___________.

3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值.

4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.

5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是

____________________.

二、选择题(每小题3分,共15分)

6、知dx e x p ⎰∞+- 0

)1(与⎰-e p x x dx

1 1ln 均收敛,

则常数p 的取值范围是( ).

(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7、数⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222

22

2y x y x y x x y x f 在原点间断,

是因为该函数( ).

(A) 在原点无定义

(B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义

(D) 在原点二重极限存在

,但不等于函数值 8、若2211

x y I +≤=

⎰⎰

,22212

x y I ≤+≤=

⎰⎰

,

22324

x y I ≤+≤=

⎰⎰

,则下列关系式成立的是( ).

(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<

9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=

10、设∑∞

=1

2n n a 收敛，则∑∞

=-1

)1(n n n a ( ).

(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定

三、计算题(每小题6分,共60分)

11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.

12、求二重极限 1

1lim

2

2

220

0-+++→→y x y x y x .

13、),(y x z z =由xy e z z

=+确定，求y

x z

∂∂∂2.

14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.

15、计算⎰⎰1 2

1 2dx e dy y

y

y

x .

16、计算二重积分22()D

x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴

及圆周22

1x y +=所围成的在第一象限内的区域.

17、解微分方程x y y +'=''.

18、判别级数)11(1

33∑∞

=--+n n n 的敛散性.

19、将函数x

-31

展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.

20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:

2

2

2121211028321415x x x x x x R ---++=， 求最优广告策略.

四、证明题(每小题5分,共10分)

21、设

11

33

ln()

z x y

=+，证明：

1

3

z z

x y

x y

∂∂

+=

∂

∂

.

22、若∑∞

=1

2

n

n

u与∑∞

=1

2

n

n

v都收敛,则∑∞

=

+

1

2

)

(

n

n

n

v

u收敛.

一、填空题(每小题3分,共15分)

1、2(1)1x y y -+. 2

3、)32,31(-.

4、1.

5、"6'0y y y -+=.

二、选择题(每小题3分,共15分)

6、(C ).

7、 (B).

8、(A ) .

9、(D). 10、(D).

三、计算题(每小题6分,共60分)

11、求由2

3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32

y

x =的反函数为23

,0x y y =>。且4=x 时，8=y 。于是

248

8

2

2

33

8

37

7

30

(4)16(80)33

128128(80)

775127

V y dy y dy

y ππππππππ=-=--⎡⎤=-⋅=-⋅-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰

12、求二重极限 1

1lim

2

2

220

0-+++→→y x y x y x .

解：原式11)

11)((lim 2222220

0-++++++=→→y x y x y x y x (3分) 2)11(l i m 220

=+++=→→y x y x (6分)

13、),(y x z z =由xy e z z

=+确定，求y

x z

∂∂∂2.

解：设(,,)z F x y z z e xy =+-，则 x F y =-， y F x =- ，1z z F e =+

11x z z z z F y y x F e e ∂-=-=-=∂++， 11y z z

z F z x x

y F e e

∂-=-=-=∂++ (3分) )

6()

3(分分