导数单调性

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导数与函数单调性

解得： 2 x 3
所以函数f ( x) 2 x3 3x 2 36 x 16的单调递增区间是（-,-2）和(3,+) 递减区间是（-2,3）
注意：如果一个函数单调性相同的单调区间不止一个，这些区间不能取并集，只能用“和”或“逗号”
求函数单调区间的步骤：
(1)分析函数y f ( x)的定义域
'
令y' 0,即3(1 x)(1 x) 0
解得：x 1或x 1
运用新知
例3 判断函数f ( x) e x 1在（0，）的单调性 +
x
解： f ' ( x) e x 1 e0 1 0
函数f ( x) ex x 1在（0，）上单调递增 +
法2： y ' 4 x 5
'
5 令y 0, 即4 x 5 0, 解得x 4
5 函数y 2 x 2 5 x 4的单调增区间是（，），函数的单调增区间是（-1，1）， + 4 减区间是（-,-1）和(1,+) 5 减区间是（-, ） 4
5 令y 0, 即4 x 5 0, 解得x 4
y
y = 2∙x + 5
y=x
(2) y f ( x) 2x 5, (3) y f ( x) 3x 4, f ' ( x) 3
f ' ( x) 2
0 O
0
x
y = 3∙x + 4
函数（1）（2）的导数都是正的，函数（1）（2）在其定义域上是单调递增的函数（3）的导数是负的，函数在其定义域上是单调递减的
（1）法1：解：
5 4

3.3.1 函数的单调性与导数

活动与探究 1 (1)函数 y=xcos x-sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.
π 2
,
3π 2
B.(π,2π)
C.
3π 2
,
5π 2
D.(2π,3π)
思路分析:只需判断在哪个区间上导函数的值大于零即可.
答案:B
解析:y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x,若 y=f(x)在某区间内是增
函数,只需在此区间内 y'恒大于零即可.
∴只有选项 B 符合题意,当 x∈(π,2π)时,y'>0 恒成立.
(2)求函数 f(x)=x2-ln x 的单调区间.
思路分析:求函数的单调区间,即求定义域上满足 f'(x)>0 或 f'(x)<0 的区间.
解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x-1�� = (
∴当 t<0 时,f(x)的递增区间为
-∞,
�� 2
,(-t,+∞),递减区间为
�� 2
,-t
;
当 t>0 时,f(x)的递增区间为(-∞,-t),
�� 2
,
+
∞
,递减区间为
-��,
�� 2
.
迁移与应用已知函数 f(x)=12ax2+ln x(a∈R),求 f(x)的单调区间.
则(-9,0)是 3x2-2mx<0 的解集,
∴3×(-9)2-2×(-9)×m=0,m=-227.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3 是增函数,

利用导数求解函数的单调性与最值问题

利用导数求解函数的单调性与最值问题在微积分学中，导数是一个重要的概念，它被应用于许多实际问题的解决中。

本文将重点讨论如何利用导数来求解函数的单调性及最值问题。

1. 导数的定义导数描述了函数f(x)在某一点x处的变化率。

它的定义为：f'(x) = lim Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)]/Δx其中Δx表示x的增量，f(x+Δx)-f(x)表示y的增量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

2. 求解单调性问题当函数f(x)单调递增时，其导数f'(x)>0；当函数f(x)单调递减时，其导数f'(x)<0。

因此，我们可以利用导数的正负性来判断函数的单调性。

例如，对于函数f(x)=x^2，在x>0时它单调递增，而在x<0时它单调递减。

我们可以通过求导得到它的导数：f'(x) = 2x当x>0时，f'(x)>0；当x<0时，f'(x)<0。

因此，函数f(x)=x^2在x>0时单调递增，在x<0时单调递减。

3. 求解最值问题函数f(x)在x处取得最大值或最小值，等价于在点x处的导数为0，或者在点x处的导数不存在。

因此，求解函数f(x)的最值问题，我们需要先求出它的导数f'(x)，然后令f'(x)=0求出x的值，即可得到函数f(x)的极值点。

最后，再对这些极值点进行比较，就可以确定函数f(x)的最大值和最小值。

例如，对于函数f(x)=x^3-3x+5，我们可以先求出它的导数：f'(x) = 3x^2-3令f'(x)=0，解得x=±1。

这两个点即为函数f(x)的极值点。

我们还需要判断它们是否是函数的最值点。

当x=1时，f''(x)=6>0，说明f(x)在x=1处取得极小值；当x=-1时，f''(x)=-6<0，说明f(x)在x=-1处取得极大值。

导数单调性分类讨论知识讲解

导数单调性分类讨论类型二：导数单调性专题类型１.导数不含参。

类型２.导数含参。

类型３：要求二次导求单调性一般步骤：(1)第一步：写出定义域，一般有0ln x x (2)第二步：求导，（注意有常数的求导）若有分母则通分。

一般分母都比0大，故去死若无分母，因式分解（提公因式，十字相乘法）或求根（观察分子）判断导函数是否含参，再进行讨论（按恒成立与两个由为分界）(3)第三步由解出是减区间解出是增区间00x f x f (4)下结论类型一：导函数不含参：21223,22,,x x e m e xf x x c bx ax xf x b kx xf 如指数型如：二次型如：一次型对于这类型的题，直接由导函数大于0，小于0即可（除非恒成立）例题１求函数x e x xf 3的单调递增区间解：23'x e e x e xf x x x 由202'x x e xf x 所以函数在区间,2单调递增由202'x x e x f x 所以函数在区间2,单调递减例题２：求函数2211x e x x f x 的单调区间解：x e ex e x xe e x f x x x x x 11111'由01011'xx x e x f x 或所以函数在区间，和01,单调递增由01011'x x e x f x 所以函数在区间0,1单调递减例题３：求函数x xx f ln 的单调区间例题４：已知函数R k kx e x xf x 21(1)若1k 时，求函数x f 的单调区间例题５．(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；例题６：已知函数112x e ax xf x (1)若0a ，求函数x f 的单调区间7.【2012高考天津文科20】（二次不含参）已知函数a ax x ax x f 232131)(，x 其中a>0.（I ）求函数)(x f 的单调区间；8.已知函数x xx f ln )(，（I ）求函数)(x f 的单调区间；类型二：导函数含参类型：me xf ax x c ax x c x ax x f bax x f x ,222,,//指数参型二次参型一次参型9：求函数ax e x f x 的单调区间（指数参）例题10.（2009北京理）（一次参）设函数()(0)kx f x xe k （Ⅰ）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；例题11.（二次参）设函数321()(1)4243f x x a x ax a ，其中常数1a (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)若当x ≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数的单调性知识要点梳理1. 函数的导数与函数的单调性的关系：（1）（函数单调性的充分条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

（2）（函数单调性的必要条件）设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果函数y=f(x) 在这个区间内为增函数，那么在这个区间内/y ≥0；如果函数y=f(x) 在这个区间内为减函数。

那么在这个区间内/y ≤0。

2. 求可导函数的单调区间的一般步骤和方法： ①确定函数()f x 的定义域；②计算导数'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根； ③把函数()f x 的间断点（即f(x)的无定义的点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把()f x 的定义域分成若干个小区间；④确定'()f x 在各个开区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间的增减性（若'()f x >0,则f(x)在相应区间内为增函数；若'()f x <0,则f(x)在相应区间内为减函数。

）疑难点、易错点剖析：1.利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ’(x)>0（或f ’(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。

在区间（a,b ）内可导的函数f(x)在（a,b ）上递增（或递减）的充要条件应是'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立，且f ’(x)在（a,b ）的任意子区间内都不恒等于0。

这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ’(x 0)=0,甚至可以在无穷多个点处f ’(x 0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x)不恒为0，则由'()0('()0)f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定。

导数的单调性

’(x)＝0 f 如果恒有，则 f(x)是常数。
求函数单调区间的步骤：（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,在其定义域内解不等式求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。
[练一练]:求函数y=2X2-lnx的单调区间。
1 4 x2 1 另解：易得定义域为x 0 解：易得 y ' 4x x x 2 4 x 1 4 x2 1 令 y ' 0 令 y ' 0 x 4 x2 1 0 x x

知识延展型设 a 0 ,求函数 fx x 0的单调区间 .
1
1
x lnx a ,
1 解： f' ( x ) ,( x 0 ) 2 x x a
1 a 0 , x 0 令 f ( x ) 0 即 0 x a 2 x
f ( x ) 6x 12x
令6x2－12x>0,解得x>2或x<0 ∴当x ∈(2,＋∞)时，f(x)是增函数；
'
2
y
当x ∈(－∞，0)时，f(x)也是增函数令6x2－12x<0,解得,0<x<2
∴当x ∈(0,2)时，f(x)是减函数。
o
x
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补充例题
知识点提炼:
[定理]一般地，函数y＝f（x）在某个区间内可导： ’(x)>0 f 如果恒有，则 f(x)在是增函数。 ’(x)<0 f 如果恒有，则 f(x)是减函数.
又 f(1 ) 1 ln2 , f(x)在 x 1 处连续 f(x)在 (0 , )上单调递增
3 )当a 1 时， Δ 0 x 2 (2 a 4 )x a 2 0 恒成立.即f' (x ) 0 恒成立 f(x )在（0 , ）上单调递增。

【高中数学】导数与函数的单调性

＝ex(x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xex 在(0，＋∞)上为增函数；对于 C，
高中数学学科
f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)>0，得 x>
3或 x<－
3，∴函数
f(x) ＝ x3 － x
在
－∞，－
3 3
和
3
3
3，＋∞ 3
上单调递增；对于
D，f′(x)＝－1＋1＝－x－1，令
－∞，－4
即 f(x)的单调递增区间是
3 ，(0，＋∞)．
3．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x
B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x
D．f(x)＝－x＋ln x
kπ－π，kπ＋π
解析：选 B 对于 A，f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是 4
4 (k∈Z)；对于 B，f′(x)
x
x
f′(x)>0，得
0<x<1，
∴
函数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2＋2cos x，若 f′(x)是 f(x)的导函数，则函数 f′(x)的图象大致是( )
解析：选 A 设 g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数 f′(x)在 R
ax2
a
由 f′(x)＝ax－1<0，得 0<x<1，
ax2
a
1，＋∞
0，1
∴函数 f(x)在 a
上单调递增，在 a 上单调递减．
高中数学学科
综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

导数单调性练习题

导数单调性练习题导数单调性练习题数学作为一门抽象而又精确的学科，常常被人们认为是一种枯燥乏味的学科。

然而，当我们深入探索数学的奥妙时，会发现其中蕴含着无限的魅力和趣味。

导数单调性就是数学中一个非常重要且有趣的概念。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用导数单调性。

练习题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求f(x)的单调区间。

解答：首先，我们需要求出f'(x)。

对于f(x)=x^3-3x^2+2x-1，我们可以使用求导法则来求导。

根据求导法则，我们有：f'(x)=3x^2-6x+2接下来，我们需要找到f'(x)的零点，即求方程3x^2-6x+2=0的解。

通过求解这个方程，我们可以得到两个解：x=1和x=2/3。

然后，我们可以选取这些零点将实数轴分成三个区间：(-∞，2/3)，(2/3，1)，(1，∞)。

接下来，我们需要确定每个区间上f(x)的单调性。

对于区间(-∞，2/3)，我们可以选择一个任意的数值c<2/3，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(-∞，2/3)上是单调递减的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

对于区间(2/3，1)，我们可以选择一个任意的数值c∈(2/3，1)，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(2/3，1)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递减的。

对于区间(1，∞)，我们可以选择一个任意的数值c>1，计算f'(c)的值。

由于f'(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向上的抛物线。

因此，f'(x)在(1，∞)上是单调递增的。

这意味着在这个区间上，f(x)是单调递增的。

综上所述，函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的单调递增区间是(-∞，2/3)和(1，∞)，单调递减区间是(2/3，1)。

导数在函数的单调性,极值中的应用

导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f ′(x)≥0，f ′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f ′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f ′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是( )A．(－∞，1) B．(0,1)C．(1，＋∞) D．(0,2)2．函数f(x)＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是( )A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．56．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则“f ′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f ′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．三、考向指导考点1 求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求 f ′(x)，令f ′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求 f ′(x)．(2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论： f ′(x)>0时，f(x)为增函数； f ′(x)<0时，f(x)为减函数．例1 (2010年全国)已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．课堂过手练习：设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函数y＝f(x)的单调区间．考点2 由函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是 f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且 f ′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f ′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处 f ′(x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间．例2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，在实数集R上y＝f(x)单调递增，求实数a的取值范围．课堂过手练习：已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(3)是否存在a ，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．考点3 求已知函数的极值运用导数求可导函数 y ＝f(x)极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 y ＝f(x)的导数 f ′(x)；(2)求方程 f ′(x)＝0的根；(3)检查 f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值．如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．例3 设f(x)＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围．课堂过手练习：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x ＝________处取得极小值．考点4 利用极值求参数已知函数解析式，可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值；反过来，如果已知某函数的极值点或极值，也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组，从而解出参数，求出函数解析式．例4 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．课堂过手练习：设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a.易错点求参数取值时出现典例：已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．(1)当函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则f(x)为常数，函数不具有单调性．∴f (x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，在学习过程中注意思维的严密性．(2)函数极值是一个局部性概念，函数的极值可以有多个，并且极大值与极小值的大小关系不确定．要强化用导数处理单调性、极值、最值、方程的根及不等式的证明等数学问题的意识．(3)如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．纠错课堂练习：已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1处取极值－2.(1)试用c表示a，b；(2)求f(x)的单调递减区间．1．与函数的单调性有关的问题(1)利用导数求函数的单调区间，可通过f ′(x)>0或f ′(x)<0来进行，至于区间的端点是否包含，取决于函数在端点处是否有意义，若有意义，则端点包含与不包含均可；若无意义，则必不能包含端点．(2)若函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)，则在(a，b)上f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立，若该不等式中含有参数，我们可利用上述结论求参数的范围，它蕴涵了恒成立思想．利用上述方法求得参数的范围后，要注意检验该参数的端点值能否使f ′(x)＝0恒成立．若能，则去掉该端点值；否则，即为所求．2．与函数的极值有关的问题(1)求函数的极值点，可通过f ′(x)＝0来求得，但同时还要注意检验在其两侧附近的导函数值是否异号．(2)若函数f(x)在x＝x0处有极值，则一定有f ′(x0)＝0，我们可利用上述结论求参数的值．。

导数专题：含参函数单调性讨论问题(解析版)

导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。

讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。

三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。

函数的单调性与导数

而我们可以从单调性大概得到函数的图象的基本形状.
y
1
f (x)=x3-6x2+9x-3
3
0 1
3
x
利用导数讨论函数单调的步骤: (1)求导数 f ( x ).
(2)解不等式 f ( x )>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 f ( x )<0得f(x)的单调递减区间.
练:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间. 答案:递增区间是 ( ,2) 和 (1,) ; 递减区间是(-2,1).
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x) 的递增区间是(1,+∞); 由 f ( x ) 0 解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).Βιβλιοθήκη 说明:函数的单调区间必定是它的
定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.
类1:求函数 y
2 x 4 x 3 的值域.
解:函数的定义域是[-2,+∞),又易得:
2x 8 y . 2 2 x 4 x 3 (2 x 3 2 x 4 )
当x>-2时, y 0, 即已知函数在 (-2,+∞)上是增函数. 又f(-2)=-1,故所求函数的值域是[-1,+∞).
5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性. 则当函数f(x)时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间[a,b]上. 6.利用导数的符号来判断函数的单调区间, 是导数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.
1.确定下列函数的增减区间:

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳

完整版)利用导数求函数单调性题型全归纳利用导数求函数单调性题型全归纳一、求单调区间例1：已知函数$f(x)=ax+x^2-x\ln a(a>0,a\neq 1)$，求函数$f(x)$的单调区间。

解：$f'(x)=ax\ln a+2x-\ln a=2x+(a x-1)\ln a$。

令$g(x)=f'(x)$，因为当$a>0,a\neq 1$时，$g'(x)=2+a\ln a>0$，所以$f'(x)$在$\mathbb{R}$上是增函数，又$f'(0)=-\ln a0$的解集为$(0,+\infty)$，故函数$f(x)$的单调增区间为$(0,+\infty)$，减区间为$(-\infty,0)$。

变式：已知$f(x)=e^{-ax}$，求$f(x)$的单调区间。

解：$f(x)=e^{-ax}$，当$a\leq 0$时，$f(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$a>0$时，由$f(x)=e^{-a x}>0$得：$x>\ln a$，$f(x)$在$(\ln a,+\infty)$单调递增；由$f(x)=e^{-a x}0$时，$f(x)$的单调递增区间为$(\ln a,+\infty)$，递减区间为$(-\infty,\ln a)$。

二、函数单调性的判定与逆用例2：已知函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，求正整数$a$的取值集合。

解：$f'(x)=3x+2ax-2$。

因为函数$f(x)=x+ax-2x+5$在$(0,+\infty)$上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，所以$f'(x)=3x+2ax-2=0$在$(0,+\infty)$上有解。

所以$f''(x)=6+2a>0$在$(0,+\infty)$上恒成立。

高中数学导数的单调性

导数在研究函数中的应用知识梳理1．函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导，则(1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间内单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间内单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数函数．注意与斜率联系起来：1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上()0f x '>，即切线斜率为正时，函数()f x 在这个区间上为增函数；当在某区间上()0f x '<，即切线斜率为负时，函数()f x 在这个区间上为减函数；2.如果已知导函数在某区间是增函数，也表示原函数在该区间上各点处的斜率是递增的；利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数'()f x ；（3）在函数()f x 的定义域内解不等式'()0f x >或'()0f x <；（4）确定()f x 的单调区间。

或者：令'()0f x =，求出它在定义域内的一切实数根。

把这些实数根和函数的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内()f x '的符号。

注意：1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。

2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。

【典型例题】类型一：求函数的单调区间k例1、确定函数32()267=-+f x x x 的单调区间.【解析】2'()6126(2)f x x x x x =-=-。

令'()0f x >，得x ＜0或x ＞2，∴当x ＜0或x ＞2时函数()f x 是增函数。

因此，函数()f x 的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。

导数的应用函数的单调性

导数的应用函数的单调性1. 导数与函数的单调性在数学中，导数是函数的重要性质之一，它描述了函数在每个点的变化率。

函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势，可以是递增、递减或者保持不变。

通过导数的概念，我们可以研究函数的单调性。

在导数为正的区间上，函数递增；在导数为负的区间上，函数递减；在导数为0的点处，函数可能存在极值。

2. 导数与函数的单调性的关系函数的单调性与其导数之间存在重要的关系。

具体而言，对于一个可导函数，我们可以根据其导数的正负性来判断函数在哪些区间上单调。

•如果函数的导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上严格递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上严格递减；•如果函数的导数在某个区间上恒大于等于0，则函数在该区间上递增；•如果函数的导数在某个区间上恒小于等于0，则函数在该区间上递减；•如果函数的导数在某个区间上恒等于0，则函数在该区间上保持不变。

通过以上性质，我们可以通过计算导数来研究一个函数在定义域上的单调性。

3. 导数的应用函数的单调性导数的应用函数的单调性是指通过对函数求导，来研究函数在定义域上的变化趋势。

具体而言，我们可以通过计算函数的导数来判断函数在哪些区间上是递增、递减或者保持不变。

下面通过几个例子来展示导数的应用函数的单调性。

3.1 一次函数的单调性考虑一个一次函数f(x)=ax+b，其中a和b是实数。

对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=a。

根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在整个定义域上是递增的；•如果a<0，则函数f(x)在整个定义域上是递减的；•如果a=0，则函数f(x)在整个定义域上保持不变。

3.2 二次函数的单调性考虑一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a eq0。

对函数f(x)求导，得到的导数为f′(x)=2ax+b。

根据导数的正负性，我们可以得出以下结论：•如果a>0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递增的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递减的；•如果a<0，则函数f(x)在 $(-\\infty, -\\frac{b}{2a})$ 和$(\\frac{-b}{2a}, +\\infty)$ 区间上是递减的，而在 $\\left(-\\frac{b}{2a}, \\frac{-b}{2a}\\right)$ 区间上是递增的。

导数与函数的单调性、极值、最值

因为－e2<－1e，所以 a＝－e2 为所求．故实数 a 的值为－e2.
[变式训练] (2017·北京卷)已知函数 f(x)＝excos x－x. (1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝excos x－x，所以 f(0)＝1， f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以 f′(0)＝0，所以 y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 y＝1. (2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令 g(x)＝f′(x)，
考点 2 利用导数求函数的最值(讲练互动) 【例】 (2019·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数． (1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值； (2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值．解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，＋∞)，当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x，令 f′(x)＝0，得 x＝1. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0.
由题设知 f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，解得 a＝1. 此时 f(1)＝3e≠0. 所以 a 的值为 1. (2)f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex ＝(ax－1)(x－2)ex. 若 a>12，则当 x∈(1a，2)时，f′(x)<0；当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
②当 a>0 时，令 f′(x)＝0，得 ex＝a，即 x＝ln a，当 x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当 x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞) 上单调递增，故 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a)＝ln a，无极大值．综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值；当 a>0 时，f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 ln a，无极大值．

最经典总结-导数与函数的单调性

最经典总结-导数与函数的单调性第11讲：导数与函数的单调性在高考中，了解函数的单调性与导数的关系以及利用导数研究函数的单调性是非常重要的。

多项式函数不超过三次的单调区间的求解也是常见的考点，通常占5~12分。

函数的单调性可以通过导数来判断。

如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0，则在这个区间上，函数y=f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0，则在这个区间上，函数y=f(x)是减少的。

导数与函数单调性的关系是：f'(x)>0（或f'(x)<0）是f(x)在(a,b)内单调递增（或递减）的充分不必要条件；f'(x)≥0（或f'(x)≤0）是f(x)在(a,b)内单调递增（或递减）的必要不充分条件（f'(x)=不恒成立）。

自测题：1.函数f(x)=x^3-6x^2的单调递减区间为( )A。

(0,4)B。

(0,2)C。

(4,+∞)D。

(-∞,0)解析：f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)，由f'(x)<0，得0<x<4，因此单调递减区间为(0,4)。

答案：A。

2.函数f(x)=cosx-x在(0,π)上的单调性是( )A。

先增后减B。

先减后增C。

增函数D。

减函数解析：f'(x)=-sinx-1<0，在(0,π)上是减函数，因此选D。

答案：D。

3.已知f(x)=x^3-ax在[1,+∞)上是增函数，则a的最大值是( )A。

1B。

2C。

3D。

4解析：f'(x)=3x^2-a≥0，即a≤3x^2，又因为x∈[1,+∞)，所以a≤3，即a的最大值是3.答案：C。

题型一：判断或证明函数的单调性（基础拿分题，自主练透）例题：已知函数f(x)=ax^3+x^2(a∈R)在x=-处取得极值。

1.确定a的值；2.若g(x)=f(x)ex，讨论g(x)的单调性。

导数与单调性

2）求出函数 f(x)的导数 f′(x)；
3）解 f′(x)＞0，在定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递增区间；
4）解 f′(x)＜0，在函数定义域内解不等式，求得 x 的相应区间为 f(x)的单调递减区间．
1 1 所以 f(x)的增区间是( ，＋∞)；减区间为(0， )． 2 2
例1
求下列函数的单调区间． (2)f(x)＝2x－lnx；
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
ax (3)f(x)＝ 2(a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x
a1－x2－ax－2x a· 1＋x2 (3)解：f′(x)＝＝ 2 2 2 2， 1－x 1－x
单调减区间（a, b)
如果 f′(x)＝0 恒成立，那么 f(x)在这个区间内是常函数 ________．
无单调区间
例：设函数 f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下左图所示，则导函数 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则 y＝f(x)的图像最有可能的是(
2 x ＋1 2 2 2 ∵x∈(－1,1)，∴(1－x ) ＞0，x ＋1＞0. ∴ 2 2＞0. 1－x
∴当 a＞0 时，f′(x)＞0；当 a＜0 时，f′(x)＜0. ∴当 a＞0 时，f(x)增区间为(－1,1)；当 a＜0 时，f(x)减区间为(－1,1)．
总结：
利用导数求函数的单调区间和判断函数单调性的基本步骤： 1）确定函数 f(x)的定义域；
例1
求下列函数的单调区间． (2)f(x)＝2x－lnx；
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
ax (3)f(x)＝ 2(a≠0)(－1＜x＜1)． 1－x
(2)解：由 x>0，得函数定义域为(0，＋∞)． 1 f′(x)＝2－x. 1 1 1 1 由 2－x>0 解得 x> ；由 2－x<0，得 0<x<2. 2

导数与单调性

已知单调性求参数
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已知单调性求参数时，特别注意“=”的处理.
已知单调性求参数【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围. 【审题指导】f(x)是减函数，则必有f′(x)≤0，可从f′(x)≤0入手，再检验使f′(x)=0时参数a的值是否符合题意.
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已知单调性求参数【例3】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围【规范解答】函数的导数f′(x)=3ax2+6x-1. 由f′(x)=3ax2+6x-1≤0(x∈R)得 ≨a≤-3；
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(2)若Δ=12－8a2>0,
f 0 0 即 6 a 6 , 只需 , 2a 2 2 ＞0 23 即 1 a＜ 6 时在区间(-≦,0)上恒有f′(x)＞0, 2
即在(-≦,0)上是增函数, 综上所述 a (－,
6 ］［1, ). 2
a＞0 ， 0
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由例3得a∈(-≦,-3］，
≨函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是单调函数，则实数a的取值
范围是(-≦,-3］.
已知单调性求参数【变式训练】设a为实数，函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0) 上是增函数，求a的取值范围. 【解析】≧f′(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判别式Δ=4a2－12a2 +12=12－8a2.
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负. 函数的正负与导数的正负没有关系.
导数与单调性的关系
【例1】设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)可能为( D )

导数与函数单调性的关系

导数与函数单调性的关系
一、利用导数判断函数的单调性
函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内单调递增． (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内单调递减． (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数．
例1、已知函数f(x)=x-kln x，常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的单调区间； (2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数，求k的取值范围.
值点,f'(1)=0⇒k=1,经检验k=1为所求,∴f'(x)=1- 1 .令f'(x)>0⇒x∈(1,+
x
∞),再令f'(x)<0⇒x∈(0,1),∴函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).
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(2)∵函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,∴g'(x)=2x-k(1+ln x)≥0
三、解答题
17.已知函数f(x)=x-kln x,常数k>0. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=xf(x)在区间(1,2)上是增函数,求k的取值范围.
【解析】(1)定义域为(0,+∞),f'(x)=1- k ,因为x=1是函数f(x)的一个极
x
变式训练 2、(2014·兰州模拟)已知函数 f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)． (1)当 a＝3 时，求函数 f(x)在21，2上的最大值和最小值； (2)当函数 f(x)在21，2上单调时，求 a 的取值范围．