经典例题二次函数根的分布

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二次函数根的分布

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，；（2）0a <时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根2︒ 如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

例4、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨设()()002>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：对于开口向下的情况，讨论类似。

其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b ,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ；（2）若[]n m ab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,max max =，()()(){}n f m f x f ,min min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

微专题11 二次函数根的分布问题(原卷版)

微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=<2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩12x m x <<()0f m <12x x m<<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩在区间(,)m n 内没有实根∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩在区间(,)m n 内有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m 为实数，命题甲：关于x 的不等式240mx mx +-<的解集为R ；命题乙：关于x 的方程22200x mx m -++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围为_______．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2210ax x ++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=．(1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？(3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221 260.x m x m +-++=(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<；(3)至少有一个正根.例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是（）A ．2275a -<<B ．25a >C ．27a <-D ．2011a -<<例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．9例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______.题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x .(1)当1m =时，求1211+x x 的值；(2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（）A ．4B ．2C ．1D ．12例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（）A ．-2B ．23C ．89D ．1例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是()A ．12a x x b <<<B ．12x a b x <<<C ．12a xb x <<<D ．12x a x b<<<例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈．(1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【过关测试】一、单选题1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（）A ．1B ．0C ．1-D ．22．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（）A ．3B ．6C ．D ．4．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）.A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是()A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．2a <6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{}12a a -<<B ．{}21a a -<<C ．{}2a a <-D ．{}1a a >8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）.A ．24a b=B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c =10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（）A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m 11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．3-B ．18C ．14D ．112．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈<B ．方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈>D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为013．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围；(2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围；(2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根；(3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.。

二次函数根的分布问题

二次函数零点的分布问题
复习：
1.函数的零点
2.一元二次方程根的情况
新知引入：
一元二次方程在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。

例1：关于x 的方程在区间(-2,2)内有实数根，求实数k 的取值范围.
研究一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要考虑四个方面：
(1)开口方向
(2)一元二次方程根的个数； (3)相应二次函数区间端点正负；
（4）相应二次函数图象的对称轴位置．
设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的两根，则x 1，x 2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示.
20(0)
ax bx c a ++=≠2-2-k 0x x =
例1：关于x 的方程在区间(-2,2)内有实数根，求实数k 的取值范围.
例2：m 为何实数值时，关于x 的方程
有两个大于1的根
.
2(3)0x mx m -++=2-2-k 0x x =
练习:
1：已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a2－2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点，求a 的取值范围
2：已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．
3若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围.
4.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)。

二次函数根的分布

特点二：(1)-(5)都是两根在同一区间内；(6)-(10) 都是两根在不同的区间内。
现在的问题变成了“如何解决这两类问题？”
分成两组研究: 第一组：(1)-(5) 第二组：(6)-(10)
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（2）有两个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
（6）一个正根，一个负根
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
( m 3)2 4m 0
x1x2 m 0
m m0
问题二：方程满足下列条件x2+（m-3)x+m=0，求m的范围。
（6）一个正根，一个负根
解法二：设f(x)＝ x2＋(m－3)x＋m，要使二次函数与x轴的交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
思路：通过换元，转化为一元二次方程根的分布问题
解：设t＝2x，则t∈(0,+∞)
t2 (m 3)t m 0 (1)
问题转化为方程（1）有两相异正实根，求m的取值范围。
设 f (t) t2 (m 3)t m ，则
＝(3-m)2 -4m 0

- b =- 3-m >0 2a 2 f ( 0 )=m>0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）根的分布
两个根都小于k
小
y
两个根都大于k
y
两个根都在（k1.k2)内
y
kx
k
x
k1 O
kx 2
结
0
0

b 2a

k

第四节二次函数根的分布问题

第四课二次函数零点的分布问题二次函数的图象及其应用研究一元二次方程的根的分布问题，一般情况下需要考虑三个方面：(1)一元二次方程根的________；(2)相应二次函数区间端点______________；(3)相应二次函数图象的对称轴_________与______的位置关系．设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根，则x1，x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示.根的分布x1<x2<k k<x1<x2x1<k<x2图象等价条件f(k)<0根的分布x1，x2∈(k1，k2)k1<x1<k2<x2<k3在区间(k1，k2)内有且仅有一个根图象等价条件f(k1)f(k2)<0或Δ＝0 且－b2a∈(k1，k2)考点一二次函数的单调性与对称性例一函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，则m的取值范围是() A．[－8，＋∞)B．[8，＋∞)C．(－∞，－8]D．(－∞，8]若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)<0，则f(m＋1)的值()A．是正数B．是负数C．是非负数D．与m有关练习：1若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是()A．a＝－1或3 B．a＝－1C．a＞3或a＜－1 D．－1＜a＜32已知函数y＝x2－4ax(1≤x≤3)是单调递增函数，则实数a的取值范围是3函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件是()A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么()A．f(2)<f(1)<f(4) B．f(1)<f(2)<f(4)C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1)考点二二次方程根的分布问题例一：已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．练习1：已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a2－2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点，求a的取值范围练习2：若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t)x ＋4＝0的两个实根α，β满足0<α<1<β<2，实数t 的取值范围是______．练习3若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是______________ .练习四若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是() A ．(－1,1) B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)考点三二次函数图像的应用例三直线y ＝2与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫34，1B.⎝⎛⎭⎫1，54C.⎝⎛⎭⎫2，74D.⎝⎛⎭⎫2，94练习：1已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．练习 2．对实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝设函数f(x)＝(x 2－2) (x －1)，x ∈R.若函数y ＝f(x)－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]考点4 二次函数最值问题例4 求二次函数f(x)＝x 2－2x ＋3在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值与最小值．不等式f(x)=a x 2-x-c>0的解集为{x |-2<x <1},则函数f(x )在区间[1，2]上的最小值为__________．点评：讨论二次函数的区间最值问题：(1)注意对称轴与区间的相对位置；(2)注意相应抛物线的开口方向．具体地说，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 在区间[α，β]上的最值一般分为三种情况讨论：①对称轴x ＝－在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴在区间之内；③对称轴在区间右边，函数在此区间上具有单调性．要注意系数a 的符号对抛物线开口方向的影响．⊗⊗⊗,,,.-≤⎧⎨->⎩a a b 1b a b 1b2a。

二次函数根的分部问题

二次函数根的分部问题1、二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 上的值域和最值问题。

① 当对称轴2b x m a=-≤时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 是单调递增函数，所以2max ()y f n an bn c ==++，2min ()y f m am bm c ==++；② 当对称轴(,]22b m n x m a +=-∈时，函数2()(0)y f x a x b x c a ==++>在区间(,]2b m a -上是单调递减函数，在区间(,]2b n a-上是单调递增函数，且||||22b b m n a a--≤--，所以2m a x ()y f n an bn c ==++，2min ()()()222b b b y f a b c a a a=-=-+-+； ③ 当对称轴(,]22b m n x n a +=-∈时，函数2()(0)y f x ax bxc a ==++>在区间(,]2b m a -上是单调递减函数，在区间(,]2b n a-上是单调递增函数，且||||22b b m n a a--≥--，所以2m a x ()y f m am bm c ==++，2min ()()()222b b b y f a b c a a a=-=-+-+； ④ 当对称轴2b x n a =-≥时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 是单调递减函数，所以2max ()y f m am bm c ==++，2min ()y f n an bn c ==++。

其中，值域就是在最大值与最小值之间。

综上所述：2max 2()()22()()22b m n f n an bn c x a y b m n f m am bm c x a +⎧=++=≤⎪⎪=⎨+⎪=++=≥⎪⎩ 22min 2()()2()()()()2222()()2b f m am bm c x m a b b b b y f a b c m x n a a a a b f n an bn c x n a ⎧=++=-≤⎪⎪⎪=-=-+-+<=-<⎨⎪⎪=++=-≥⎪⎩2、二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在区间(,]n -∞上的值域和最值问题。

高一数学二次函数根的分布专题归类精练

高一数学：二次方程根的分布一、一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 根的分布情况：设方程02=++c bx ax 的两实根为12,x x ，(不妨设21x x ≤)，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根12,x x 即为此二次函数的零点，即此二次函数的图象与x 轴的交点为)0,(1x 和)0,(2x ，因为02=++c bx ax )0(≠a 与0)(2=++x bx ax a 是同解的，故考虑具体的端点值时，考虑的是函数ac abx x a c bx ax a x af y ++=++==222)()(的端点值，这样只考虑开口向上的情况即可.解决根的分布问题的方法：数形结合，三看：一看判别式；二看对称轴；三看端点值.它们的分布情况见下表：如上图，只是可以过两端点，注注2：对于端点值是否可取，最好单独讨论；注3：以上11种情况都有相应的等价形式，对于具体题中的条件，往往是几种情况合在一起的，这时需要分类讨论，此时莫忘注1，注2 .特别注意下列两种情况：一. 函数)(x f 在()n m ,内仅有一个零点，可分：（1）方程0)(=x f 有且只有一根（两根重合时），且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数的值.（2）若()0f m =，可以确定的求出相应的系数（或得到一个关系），从而可以求出另外一根，若这另外的一根在区间()n m ,内，则满足条件；若不在，则这种情况不成立.（3）若()0f n =时，同理.（4）以上三种都讨论完了，只剩下一种情况，即只要0)()(<n f m f 即可.例1：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间()3,0-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围.解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ，由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ，即)0,3(792-∈-=x ，满足条件，故1415-=m 合适； ③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ，即)0,3(122-∉-=x ，不满足条件，故3-=m （舍）；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-≤<-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？二. 函数)(x f 在],[n m 内仅有一个零点，可同上分析.即先讨论0=∆（即方程两根重合）时的情况，验证相应的根是否合适；再看取到端点值时的情况，此时已知一根，由韦达定理易得另一根，验证是否满足条件；最后0)()(<n f m f 即可！熟练之后，此次序可以灵活变通，只是请注意分类要不重不漏！例2：已知624)(2++-=m mx x x f 在区间]0,3[-内有且仅有一个零点，求m 的取值范围. 解：①当0∆=时，即()2164260m m -+=，得出1m =-或32m =，当1m =-时，根]0,3[2-∈-=x ，即1m =-满足题意；当32m =时，根]0,3[3-∉=x ，故32m =不满足题意； ②当0151462129)3(=+=+++=-m m m f ，解得：1415-=m ，由韦达定理的两根之积为72767156232=+-=+=⨯-m x ，即)0,3(792-∈-=x ，不满足条件，故1415-=m （舍）；③当062)0(=+=m f ，解得：3-=m ，由韦达定理的两根之和为12402-==+m x ，即)0,3(122-∉-=x ，满足条件，故3-=m 合适；④当0)0()3(<⋅-f f 时，即0)62)(1514(<++m m ，得出14153-<<-m ，必满足条件. 综上所述所求m 的取值范围是：14153-<≤-m ，或1m =-. 注：你能发现这个题的巧解吗？注：讨论端点时，如果遇到下列情况，前参看下列题的处理办法！例3：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间()1,3上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，不满足条件当0≠m 时，令2)2()(2++-=x m mx x f ，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，故另一根为2m，由213m <<，得223m <<即为所求. 例4：已知方程02)2(2=++-x m mx 在区间]3,1[上有一根，求m 的取值范围. 解：当0=m 时，易知方程仅有一个根为1，满足条件；当0≠m 时，令)2)(1(2)2()(2--=++-=mx x x m mx x f ，必有一根为1 故另一根2m ，当12=m，即2=m 时合适；否则必须满足：12<m 或32>m ，解得：0<m ，或320<<m ，或2>m综上所述，所求m 的取值范围是32<m 或2≥m .注：你能发现这两个题的巧解吗？以后再赘述吧，先抱歉了！二．根的分布经典题归类讲解例1、①m 取何实数值时，方程0)1(22=++-m x m x 有两个不等正实根.②m 取何实数值时，方程013422=-++m mx x 有两个负数根.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的两个实根都大于2. 解：①令=)(x f m x m x ++-)1(22，其图像开口向上，对称轴为41+=m x ，判别式为168)1(22+-=-+=∆m m m m原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=>+>+-=∆⇔0)0(0410162m f m m m 解得：2230-<<m 或223+>m ，即为所求.②令=)(x f 13422-++m mx x ，其图像开口向上，对称轴为m x -=，判别式为)1)(21(16)2123(16)13(81622--=+-=--=∆m m m m m m . 原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<-≥--=∆⇔013)0(00)1)(21(16m f m m m 解得：2131≤<m 或1≥m ，即为所求.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，对称轴为21m x -=，判别式为)4)(4(16)5(4)2(22-+=-=---=∆m m m m m .原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=-+-+=>-≥-+=∆⇔055424)2(2210)4)(4(m m m f m m m 解得：45-≤<-m ，即为所求.例2、①已知二次方程012)12(2=-+-+m mx x m 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.②已知二次函数33)42()2(2+++-+=m x m x m y 与x 轴有两个交点，一个在1=x 的左侧，一个在1=x 的右侧，求实数m 的取值范围.③m 取何实数值时，关于x 的方程05)2(2=-+-+m x m x 的一个实根大于2，另一个实根小于2.解：①令=)(x f 12)12(2-+-+m mx x m ，其图像开口方向不明，原条件0)1)(12()0()12(<-+=+⇔m f m ，解得：21->m . 即为所求. 注：利用两个之积012121<+-=m x x ，也可以快速得出！②令=)(x f 33)42()2(2+++-+m x m x m ，其图像开口方向不明，原条件0)12)(2()33422)(2()1()2(<++=++--++=+⇔m m m m m m f m ，解得：212-<<-m . 即为所求. 注：利用0)1)(1(21<--x x ，即021212422331)(2121<++=+++-++=++-m m m m m m x x x x 也可得.③令=)(x f m x m x -+-+5)2(2，其图像开口向上，原条件055424)2(<+=-+-+=⇔m m m f 解得：5-<m ，即为所求.注：利用0)2)(2(21<--x x ，即054)2(254)(22121<+=+---=++-m m m x x x x 也可得. 例3．①已知关于x 的方程：022=+-a ax x 有两个实根βα,，且满足2,10><<βα，求实数a 的取值范围．②已知关于x 的方程：062)1(22=-++--m m mx x m 有两个实根βα,，且满足βα<<<10，求实数m 的取值范围．③已知关于x 的方程：0532=+-a x x 有两个实根βα,，且满足)3,1(),0,2(∈-∈βα，求实数a 的取值范围．解：①令=)(x f a ax x +-22，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎩⎪⎨⎧<-=<-=>=⇔034)2(01)1(0)0(a f a f a f 解得：34>a ，即为所求.②令=)(x f 62)1(22-++--m m mx x m ，其图像开口方向不明，画图可得：原条件⎩⎨⎧<->-⇔0)1()1(0)0()1(f m f m ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-++--->-+-⇔0)621)(1(0)6)(1(22m m m m m m m m即⎩⎨⎧<+-->+--⇔0)7)(7)(1(0)3)(2)(1(m m m m m m 解得：73-<<-m 或72<<m ，即为所求.③令=)(x f a x x +-532，其图像开口向上，画图可得：原条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=+-=<-=+-=<=>+=++=-⇔0121527)3(022)1(0)0(0221012)2(a a f a a f a f a a f 解得：012<<-a ，即为所求.例4、①已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间)2,0(内，求实数m 的取值范围.②已知方程03222=+++m mx x 的两个不等实根都在区间]2,0[之外，求实数m 的取值范围. 解：令322)(2+++=m mx x x f ，其图像开口向上，对称轴为m x -=，由判别式0)3)(1(4)32(4)32(4422>-+=--=+-=∆m m m m m m ，得：1-<m 或3>m①的条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=>+=<-<>∆⇔076)2(032)0(200m f m f m ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-><<->-<⇔67230231m m m m m 或解得：167-<<-m 即为所求.②的条件可分为：两根都小于0，或两根都大于2，或一根小于0，一根大于2，三种情况故⎪⎩⎪⎨⎧>+=<->∆⇔032)0(00m f m 或⎪⎩⎪⎨⎧>+=>->∆076)2(20m f m 或⎩⎨⎧<+=<+=076)2(032)0(m f m f解得：3>m ，或无解，或23-<m ，故所求m 的取值范围是：23-<m 或3>m . 例5：已知集合}0107|{2≤+-=x x x A ，}05)2(|{2≤-+--=m x m x x B ，且A B ⊆，求实数m 的取值范围.解：首先}52|{≤≤=x x A ；当∅=B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 无解，即0)5(4)2(2<---=∆m m 即：0162<-m ，解得：44<<-m ； -----（1）当∅≠B 时，即不等式05)2(2≤-+--m x m x 有解，其形式必为21x x x ≤≤；其中21,x x 为方程05)2(2=-+--m x m x 的两个根，（不妨设21x x ≤）按条件，只要5221≤≤≤x x 即可满足A B ⊆；按照根的分布的理论，此时只要满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+--=≥-+--=≤-≤≥-=∆05)2(525)5(05)2(24)2(52220162m m f m m f m m即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≥-≤≤-≥-≤55284,4m m m m m 或，解得：45-≤≤-m ，-----（2）由（1）（2）可得：所求的m 的取值范围是45≤≤-m .三．自己练习巩固提升1．设有一元二次方程02)1(22=++-+m x m x ．试问：(1)m 为何值时，有一正根、一负根．(2)m 为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m 为何值时，有两正根． (4)m 为何值时，有两负根．(5)m 为何值时，仅有一根在[1，4]内.2. 关于x 的方程012=-++a ax x 有异号的两个实根，求a 的取值范围.3.如果方程032)3(22=-+++a x a x 的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范围. 4.若方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负根，求实数a 的取值范围. 5. 关于x 的方程0422=-+-a ax x 有两个正根，求a 的取值范围.6.设关于x 的方程0)(44222=+++-n m x n m x 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则n m ,必须满足什么关系.7. 设关于x 的方程023222=---k x kx 有两个实根都在]0,2[-之间，求k 的取值范围.8.关于x 的方程02)13(72=--+-m x m x 的两个实根21,x x 满足2021<<<x x ，求m 的范围. 9.①已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的一根小于0，另一根大于2，求实数a 的取值范围.②已知方程065)9(222=+-+-+a a x a x 的存在小于2的根，求实数a 的取值范围.。

二次函数根的分布专题

二次函数根的分布专题知识结构图一．二次函数与轴交点1．抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离.2．平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.3．抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，，由于、是方程的两个根，故：.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例）：题模一根的分布问题例1.1、求实数的取值范围，使关于的方程．（1）有两个实根，且满足；（2）至少有一个正根；（3）方程一个根大于而小于，另一个根大于而小于．判别式二次函数的图象一元二次方程:的根有两相异实根有两相等实根例1.2、抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．A、 1B、 2C、 3D、4例1.3、二次函数y=x2+px+q中，由于二次项系数为1＞0，所以在对称轴左侧，y随x增大而减小，从而得到y越大则x越小，在对称轴右侧，y随x增大而减大，从而得到y越大则x也越大，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若关于x的方程x2+px+q+1=0的两个实数根是m、n（m＜n），关于x的方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根是d、e（d＜e），则m、n、d、e的大小关系是（）A、 m＜d＜e＜nB、 d＜m＜n＜eC、 d＜m＜e＜nD、m＜d＜n＜e例1.4、已知二次函数（a≠0）的图象过点，，对称轴为直线．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若，直接写出y的取值范围；（3）若一元二次方程（，m为实数）在的范围内有实数根，直接写出m的取值范围．题模二函数交点问题例2.1、已知函数的图像与轴的交点坐标为（，0），（，0），且，则该函数的最小值为（）A、 2B、 -2C、 10D、-10例2.2、已知关于x的函数图象与坐标轴只有2个交点，则m=__________．例2.3、若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，有下列结论：①x1=1，x2=2；②m＞﹣；③二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣m的图象对称轴为直线x=1.5；④二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方．其中一定正确的有（只填正确答案的序号）．例2.4、已知关于x的方程．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．随堂练习随练1.1、“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A、 m＜a＜b＜nB、 a＜m＜n＜bC、 a＜m＜b＜nD、m＜a＜n＜b随练1.2、已知二次函数．（1）当时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；（2）若时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．随练1.3、二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：若，则一元二次方程（）的两个根，的取值范围是（）A、，B、，C、，D、，随练1.4、若二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标为（m，0），（n，0），且，图象上有一点C（3，P）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A、B、C、D、以上都不对随练1.5、（1）关于x的方程有两实根，一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的取值范围；（2）已知二次方程两根，分别属于和，求m的取值范围．随练1.6、若关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为__________．随练1.7、已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，，那么下列结论：①方程的两根为，；②当时，；③，；④，其中正确结论的序号是__________．随练1.8、已知抛物线的对称轴为，若关于的一元二次方程在的范围内有两个相等的实数根，则的取值范围是（）A、B、C、或D、或随练1.9、已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程必有两个实数根．x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足，求m的非负整数值．能力拓展拓展1、若、是一元二次方程的实根，且满足，，则m的取值范围是______________拓展2、已知抛物线，（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，有几个，证明你的结论；若没有，阐述理由．拓展3、下列关于函数的图象与坐标轴的公共点的情况：①当时，有三个公共点；②时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则；若有三个公共点，则．其中描述正确的是（）A、一个B、两个C、三个D、四个拓展4、二次函数与x轴交于，两点，其中点是个定点，，分别在原点的两侧，且，则直线与x轴的交点坐标为__________．拓展5、在平面直角坐标系中，抛物线：．（1）当抛物线经过点（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）若抛物线：（）与x轴的交点的横坐标都在和0之间（不包括-1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：关于x的方程在范围内有两个解，求的取值范围．（1）求的取值范围；（2）若取小于的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；（3）在（2）的条件下，二次函数与轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若，求点D的坐标．拓展7、已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值．（1）求b的值；（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．。

二次函数根的分布

即(2a 3)(a 2) 0 由 x a 1 2得
3 a 2, 2
a2
(1)1 a
2时,
x
(a
1)(a
2)
2(a
2)
(2)
3 2
a
x [6,12)
1时, x (1 a)(a
2)x2([a9, 4
22)3) 4
例3.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围 .
1 2
时,
x
a,
01 1 2X=a
01
x
x
X=a
y有最大值a2, x 1时, y有最小值f (1) 2a 1.
2.若关于x的方程 x2 (a 1)x 1 0 有两个相
等的实数根,且两根在区间[0,2]上,求实数a的范围.
解:设f (x) x2 (a 1)x 1(如图)
(a 1)2 4 0
(1)试写出g(t)的函数表达式； (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值
解: f (x) (x 2)2 8
8 1 t 2
g(t
)
f (t) t2 4t 4(t 2)
f (t 1) (t 1)2 4(t 1) 4(t 1)
【巩固练习】
1.当a 0,0 x 1时,求函数f (x) x2 2ax的最大最小值.
3.关于x的方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的一根比1大,
另一根比1小，则有( C )
(A)-1＜a＜1 (B)a＜-2或a＞1 (C)-2＜a＜1 (D)a＜-1或a＞2
4.设x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实

二次函数根的分布

二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。

设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。

根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。

第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。

第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。

此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。

第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。

此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。

经过观察得出，文章中存在大量格式错误和重复内容，需要进行整理和删减。

同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。

根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。

二次函数根的分布

状元堂测试试卷学生姓名任课教师：试卷审查教师：测试科目：涉及章节：教师评语：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f 日期：时间：大致图象（<a ）得出的结论 ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200ba f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a ）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一k1xk x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f kkk大致图象（<a ）得出的结论()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()000f m f n fp f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n fp f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()000f m f n fp f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n fp f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

二次函数根的分布

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）kkk得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()外，即在区间两侧12，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

二次函数根分布问题

一元3x2 5x a 0的一个根大于 2且小于0，另一个根大于1且小于3，求实数a的取值范围
练习 1、已知关于x的方程 x2 2m x 2m 1 0; 若方程有两个根，其中一个根在区间（ 1,0）内，；另一根在区间（ 1,2）内，求m的取值范围
例题2、已知关于x的方程 x2 2m x 2m 1 0; 若方程有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围
练习2、已知关于x的方程 x2 （ 2 m 1 ）x 2m 6 0; 若方程有两个实根，且一个比2大，一个比2小，求m的取值范围
题型二：两根正负
例题3、已知关于x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有一正一负两个根，求实数m的取值范围
练习3、已知关于x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有且仅有一个正实根，求实数m的取值范围
题型三：两根在某个区间中
例题4、已知关于 x的方程 x2 2mx 2m 1 0; 若方程有两个实根，且都在区间 [0,4)内，求m的取值范围
练习4、已知关于 x的方程2 x2 （ 2 2a 1 ）x a 2 0; 若方程有两个实根，且都在区间 3与3之间，求实数 a的取值范围
题型四：在某个区间中考虑根的情况
练习5、已知关于x的方程 x2 2ax 2 0; 在区间 [0,4]上至少有一个零点，求实数a的取值范围

经典例题二次函数根的分布(供参考)

二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）表二：（两根与k 的大小比较）论论论论表三：（根在区间上的分布）二、经典例题例1：（实根与分布条件）已知βα,是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。

变式：关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。

例2：（动轴定区间）函数32)(2--=ax x x f 在区间[]2,1上是单调函数，则a 的取值范围是？变式2：函数32)(2+-=kx x x f 在[]+∞-,1上是增函数，求实数k 的取值范围。

列3：（定轴动区间）求函数12)(2--=ax x x f 在[]2,0上的值域。

变式3：已知函数2244)(22+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求实数a 的取值范围。

例4：（定轴动区间）已知二次函数32)(2--=x x x f ，若)(x f 在[]1,+t t 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式。

变式4：已知二次函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且1)1(,0)0(==f f ，若)(x f 在区间[]n m ,上的值域是[]n m ,，求n m ,的值。

例5：（恒成立问题）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意[]1,+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，求实数m 的取值范围。

变式5：已知函数1)(2+-=mx x x f 在)2,21(上恒大于0，求实数m 的取值范围。

三、课后练习1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

2、函数()()2220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。