高中数学专题：抛物线之欧阳数创编

抛物线专题复习

时间：2021.03.02 创作：欧阳数

一、抛物线的知识点：

标准方程图形

顶

点

对

称

轴

焦点准线

离

心

率

焦半径焦点弦公式()0

2

2

>

=

p

px

y

x

y

O F

l

()0,0

x轴⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

0,

2

p

2

p

x-

=1

=

e

2

x

p

PF+

=

(

2

1

x

x

p

AB+

+

=

()0

2

2

>

-

=

p

px

y

x

y

O

F

l

()0,0

x轴

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-0,

2

p

2

p

x=

1

=

e

2

x

p

PF-

=

(

2

1

x

x

p

AB+

-

=

()0

2

2

>

=

p

py

x()0,0y

轴

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

2

,0

p

2

p

y-

=1

=

e

2

y

p

PF+

=

(

2

1

y

y

p

AB+

+

=

通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦通径：p

d2

=

AB为抛物线px

y2

2=的焦点弦，则=B A x

x

4

2

p，=

B

A

y

y2p

-，

|

|AB=p

x

x

B

A

+

+

考点1 抛物线的定义

[例1 ]已知点P在抛物线x

y4

2=上，则点P到点)1,2(-

Q的距离

与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程

[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点)2,3(-；(2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22

=上的点,且O AOB (2

π

=

∠为原点),

则直线AB 必过的定点坐标为_______

[例4 ]设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程；

（II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=⋅→

→

FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42

=的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)

A x y

B x y 两点，如果62

1=+x x ，那么||AB =( )

（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4

2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，

333()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P

成等差数列， 则

有 （ ） A ．321x x x =+

B ．

321y y y =+C ．2312x x x =+ D.

2312y y y =+

3．已知M 为抛物线x y 42

=上一动点，F 为抛物线的焦点，

定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则

=+|

|1

||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ）

a 21 （C ）a 4 （D ）a

4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF(其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( )

A ．(2,22)

B ．(2，－22)

C ．(2，±2)

D ．(2，

±22)

6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B

在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A.

45 B. 60 C. 90 D. 120

7．两个正数a 、b 的等差中项是9

2

，一个等比中项是