立方根 (1)
立方根的计算方法
立方根的计算方法1 计算立方根的基本方法立方根（Cube Root）是一个数的立方，也称为立方方根（Cube Root）。
即求x3=a的解，这里x就是a的立方根。
在数学中，可以采用几种不同的方法来计算立方根。
一.对数展开法该方法是基于三个恒等式：$a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a},\log_{10}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3}\log_{10}{a},\log_{10}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\log_{10}{a}$来计算立方根。
可以把立方方程：$x^3=a$ 对10取对数，将其转换为：$\log_{10}{x^3}=\log_{10}{a}\Rightarrow \log_{10}{x} =\frac{1}{3}\log_{10}{a}$从而可以得到$x=10^{\frac{1}{3}\log_{10}{a}}=a^{\frac{1}{3}}$二.倒数法根据正数的乘法及幂运算的性质，设$b=a^{\frac{1}{3}}$，则有：$b\cdot b \cdot b=a$即$b^3=a$，又有$b\cdot b=\frac{1}{b^{-2}}$，所以$b^3=a$等价于$b^3=(b^2)b$等于 $(\frac{1}{b^{-2}})\cdot b$等于$\frac{1}{b^{-3}}\cdot b$。
即$a^{\frac{1}{3}}=(\frac{1}{a^{\frac{-1}{3}}})a$，其中$a^{\frac{-1}{3}}$即为$a$的倒立方根，因此$a^{\frac{1}{3}} =a \times a^{\frac{-1}{3}}$，从而可以得到$a$的立方根为$a^{\frac{1}{3}}=a \times a^{\frac{-1}{3}}$。
我们可以使用二分法，以及水平变形等求解方法，计算出$a^{\frac{-1}{3}}$，最后乘以 $a$ 就可以得到$a$的立方根了。
(201907)八年级数学立方根1
课件《立方根》PPT全文课件_人教版1
负数的立方根是负数，0的立方根是0.
1. （例1）下列说法中正确的是（ C ） A. -16没有立方根 B. 1的立方根是±1 C. 的平方根是± D. -3的立方根是
2. 若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身， 则这个数是（A ）
∴x1=2，x2=-2.
（1）一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根.
若一个数的算术平方根和立方根都等于它本身，则这个数是（ ）
5. 给出下列4个说法：
①只有正数才有平方根；
②2是4的平方根；
③平方根等于它本身的数只有0；
④27的立方根是±3.
其中，正确的有（ C ）
A. ①②
B. ①②③
C. ②③
D. ②③④
6. （例2）求下列各式中的x.
（1）3x2-12=0；
（2）（x-1）3=-64.
解：（1）∵3x2-12=0，∴3x2=12. ∴x2=4. ∴x=±2. ∴x1=2，x2=-2. （2）∵（x-1）3=-64，∴x-1=-4. ∴x=-3.
7. A.±2 B.±4 C. 4 D.2
A. 0或1 B. 1或-1 C. 0或±1 D. 0或-1
3. 已知x-2 的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3， 则x2+y2的平方根是 ±10 .
4. 若a2=16，
，则a+b的值是（ B ）
解：（1）
=2.
A.12 （2）当时a<0时，
可以化简为
解：设另一个正方体容器的棱长为x cm.
.
B.12或4
①只有正数才有平方根；
立方根知识点讲解(含例题)
1．立方根的概念和性质（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__________或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根．（2）表示方法：一个数a”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．（3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数．2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做__________．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是__________，0的立方根是0；=③3==a．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为__________．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a是非负数，即a≥0a是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．K知识参考答案：1．（1）立方根2．（1）开立方（2）负数（3）逆运算一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2A ．－1B ．0C ．1D ．±1 【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【例3】下列计算中，错误的是A B 34=-C 112=D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D 故错误，故选D ． 【例4】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-，所以-343的立方根是-7．（2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【例5】求下列各式的值：（1；（23）【解析】（1（2（3 二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例6】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例7】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-，x+=-，所以33x=-．所以6三、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例8】64的平方根和立方根分别是A．8，4 B．8，±4 C．±8，±4 D．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D．【例9】已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是4，求a+b的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a-1=9，根据立方根求出3a+b-1=64，转化为解方程得问题解决．【例10】已知x+122x+y-6的立方根是2．（1）求x，y的值；（2）求3xy的平方根．【解析】（1）∵x+12的算术平方根是，2x+y-6的立方根是2．∴x+12=2=13，2x+y-6=23=8，∴x=1，y=12．（2）当x=1，y=12时，3xy=3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．。
初二数学立方根平方根知识点总结归纳
初二数学立方根平方根知识点总结归纳立方根知识点总结知识要领：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。
立方根读作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数。
(a等于所有数，包括0)如果被开方数还有指数，那么这个指数(必须是三能约去的)还可以和三次根号约去。
求一个数a的立方根的运算叫做开立方。
立方根的性质：⑴正数的立方根是正数.⑵负数的立方根是负数.⑶0的立方根是0.一般地，如果一个数X的立方等于 a，那么这个数X就叫做a的立方根(cube root，也叫做三次方根)。
如2是8的立方根，-3分之2是-27分之8的立方根，0是0的立方根。
立方和开立方运算，互为逆运算。
互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数。
负数不能开平方，但能开立方。
立方根如何与其他数作比较? ⑴做这两个数的立方⑵作差⑶比较被开方数(如三次根号3大于三次根号2)任何数(正数、负数、或零)的立方根如果存在的话，必定只有一个.平方根与立方根的区别与联系一、区别⑴根指数不同：平方根的根指数为2，且可以省略不写;立方根的根指数为3，且不能省略不写。
⑵ 被开方的取值范围不同：平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以为任何数。
⑶ 结果不同：平方根的结果除0之外，有两个互为相反的结果;立方根的结果只有一个。
二、连系二者都是与乘方运算互为逆运算《平方根与立方根》知识点归纳平方根:概括1：一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根)。
就是2说，如果x=a,那么x就叫做a的平方根。
如：23与-23都是529的平方根。
2因为(±23)=529，所以±23是529的平方根。
问：(1)16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系? (2)0的平方根是什么?概括2：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
八年级数学立方根1(新2019)
( －4 )3=－64 ( 10 )3=1000 ( －10 )3=－1000
( 0 )3= 0
( 2) 3=
3
8 27
一般地，如果一个数x 的立 方等于a，即x3=a，那么这个数x 就叫做 a的立方根（也叫做三次 方根）．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律
人教版七年级下第六章立方根 (一)
立方根二一、单选题（共15题；共30分）1.﹣27的立方根是（）A. ﹣3B. +3C. ±3D. ±92.﹣64的立方根是（）A. ﹣2B. ﹣3C. ﹣4D. 53.一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（）A. ±4B. 4C. ±2D. 24.有一个计算器，计算时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A. 10B. 10(-1)C. 100D. -15.﹣27的立方根是（）A. 3B. -3C. ±3D. -36.下列各式正确的是（）A. B. C. D.7.下列式子正确的是（）A. ± =7B. =﹣C. =±5D. =﹣38.如果（a3）6=86，则a等于（）A. 2B. -2C. ±2D. 以上都不对9.下列说法中，错误的是（）A. 4的算术平方根是2B. 的平方根是±3C. 8的立方根是±2D. ﹣1的立方根等于﹣110.在计算器上按键显示的结果是（）A. ﹣3B. 3C. 17D. 3311.﹣8的立方根与4的平方根的和是（）A. 0B. 0或4C. 4D. 0或﹣412.﹣8的立方根是（）A. ﹣2B. ±2C. 2D. ﹣213.分析下列说法:①实数与数轴上的点一一对应；②没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个14.下列语句正确的是（）A. 如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零B. 一个数的立方根不是正数就是负数C. 负数没有立方根D. 一个数的立方根与这个数同号，零的立方根是零15.下列判断：①1的立方根是±1；②只有正数才有平方根；③﹣4是﹣16的平方根；④（）2的平方根是±正确的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（共15题；共23分）16.4的平方根是________；﹣27的立方根是________．的算术平方根是________17.﹣8的立方根是________，16的算术平方根是________，的平方根为________．18.﹣2006的倒数是________，的立方根是________，﹣2的绝对值是________19.计算：的值是________．20.用计算器计算：-3.142≈________．（结果保留三个有效数字）21.一个数值转换器，原理如图所示.当输入x为512时，输出y的值是________.22.如果，那么x=________．23.已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是________24.16的平方根与﹣8的立方根的和是________．25.若一个有理数的平方根与立方根是相等的，则这个有理数一定是________26.已知，，则的值为________.27.一个数的立方根是4，这个数的平方根是________ ．28.的倒数是________相反数是________29.计算：=________，分解因式：9x2﹣6x+1=________．30.如果的平方根是±3，则=________．三、计算题（共10题；共80分）31.求下列各等式中x的值：（1）4x2＝25；（2）3（x﹣4）3﹣24＝0．32.计算题（1）计算：+ ×（﹣）2（2）求x的值：（x﹣2）3=﹣27．33.化简或计算：（1）；（2）34.计算：(-1)2019+ -(-5)-35.计算：2﹣1sin60°+|1 |．36.计算：37.计算：（1）；（2）38.求x的值：（1）；（2）.39.计算．40.求下列各式中的x：（1）2x2－1＝9；（2）(x＋1)3＋27＝0．四、解答题（共5题；共30分）41.已知2a﹣3的平方根是±5，2a+b+4的立方根是3，求a+b的平方根．42.已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根.43.计算下列各题：（1）-32× -（-3）2÷（-1）2（2）44.用计算器求下列各式的值：（1）；（2）±；（3）．（精确到0.01）45.已知的算术平方根是3，的立方根是-2，求的平方根．五、综合题（共5题；共77分）46.解答题。
立方根1
2 倍. 来的____
4.比 较 大 小 ： 3, 4,
3
50.
3 3 50 4
5.求下列各式中x的值： 5 3 3 3 (1) x 2 ; (2)(2 x) 27 0. (1) x ; (2) x 1. 4 64
小结
1.本节课你学习了哪些知识?
2.本节课你还有哪些收获？
=
因为计算结果要求保留3位小数，所以 3 1.354 1.106 .
练习
1.用计算器求下列各数的立方根：
(1)1728 ;
解：
(2)15625 ;
(3)2197 .
(1)3 1728 12; (2)3 15625 25; (3)3 2197 13;
练习
2.用计算器求下列各式的值： (精确到0.01)
2
2 4.一个数的立方根是 3 ，则这个数是 2 2 3 3 3 ； 5. m ，则m的值为
3
；
6.已知 3 4a 3 3 ,则a= -6 ，a-2的立方根为 -2 .
例题
求下列各式中x的值：
(1) x 3 0.125;
解：
(2)27( x 1) 3 1.
(1) x 3 0.125,
复习
3.立方根与平方根有什么异同？ 相同点：①0的平方根、立方根都只有一个，是0； ②平方根、立方根都是开方的结果.
不同点：①定义不同；
②个数不同；
③表示方法不同；
④被开方数根是
3
2 ；
2.(-3)3的立方根是 -3
3.
3
；
；
8 27
512 的立方根是
第六章 实 数 6.2 立方根 (第2课时)
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事实上, 人们已经证明 2是一个无限不循环小数, 它的值为 1.4142135623730950488016887242097
结论
2是一个无限不循环小数,
数学思想: 无限逼近的数学思想
1.无理数的概念
无限不循环小数称为无理数.
注意
两个条件:①无限小数;②不循环小数
缺一不可
3 , 5 , 3 2 , 3 3,0.1010010001..., 2.31456728... 等都是无理数.
还可如下分类
正有理数 正实数 实数 零 负实数 正无理数 负有理数 负无理数
例题
2 3 3 4 , 9 , 0.6 , 10 , 125 , 27 , , 3 3 16 22 , , 0.01001000100001. 49 7 2 16 22 4 , 0.6 , 125 , , , (1)有理数集合 : 3 ; 49 7
正整数 自 然 数 整数 零 有限小数或无 负整数 限循环小数 有理数 正分数 分数 实数 负分数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
还可如下分类
正有理数 正实数 实数 零 负实数 正无理数 负有理数 负无理数
会将一个数进行分类是重点
能将一个无理数在数轴上表示出来是难点
圆周率 也是无理数,- 也是无理数. 2
2.实数的概念:
有理数和无理数统称为实数.
即实数可分为有理数和无理数.
讨论
到目前为止,同学们知道的数有哪些类? 你能给它们分类吗?
实数的分类：
正整数 自 然 数 整数 零 有限小数或无 负整数 限循环小数 有理数 正分数 分数 实数 负分数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
16 , 49
练习1:判断： （1）无理数都是无限小数 （2）无限小数都是无理数 （3）两个无理数的和一定是无理 数
(√)
(×)
(4)
(×)
2
是分数
(×)
(×) ） (√ ) )
22 (5) 是无理数 7 (6)整数和分数统称为有理数
）
2.把下列各数分别填入相应的集合中：
22 1 3 , ， 3 ，8， 8， 1.732,, 3 2 7 3 ( 1 ) 1（ 3.14)0 , 3.1040040004 0.3, , 3
初中数学八年级上册 （苏科版）
2.5
实数（1）
讨论: 腰长为1的等腰直角三角形的斜边长是 2 __________, 说说你对这个数的认识.
1
1 操作 试在数轴上画出表示
2 的点.
2
-2 2 -1
o
1 22Biblioteka 讨论(1)2 是一个整数吗?
1 1， 4 ，（ 2）=2，所以 2
2 2 2
2不可能是一个整数，它在1与2之间。
(2)
2 是一个分数吗?
因为 2）=2， 哪些分数的平方与 （ 2接近呢?
2
3 2 4 3
2
9 2.25 4
2 16 1. 7 9
;
;
7 5
2
49 1.96 25
;
因为
7 3 2 , 即1.4 2 1.5 ; 所以 5 2 2 2 因为1.41 1.9881 , 1.42 2.0164 ,
2.在实数
8 , 0 中整数有_______________________________;
22 1 , , 0.3 3 8 ,0 ,0.30330333 有理数有______________________________; 7 3
22 1 3 3 3 , , , 2 , 0.3 , 9 , 8 , 0 , 0.30330333 7 3 3
-3
-2 -1
O
1
2
3
10
5
-3 -2 -1 O 1 2 3
通过“逼近”的数学思想,体会到无理数的存在 实数与数轴上的点是一一对应的 初次体会到“数形结合”的数学思想
无理数的常见形式: ①π是无理数;
②
2, 3, 3 7... 带根号且开方开不尽的数;
③0.1010010 001…
实数的分类：
讨论
有理数都可以用数轴上的点来表示， 反过 来，数轴上的点是否都表示有理 数？ 每一个实数都可以用数轴上的一个 点来表示，；反之，数轴上的每一个点 都表示一个实数，实数与数轴上的点
是一一对应的。
练一练
1.和数轴上的点一一对应的数集是 ( D )
A. 有理数集 B. 无理数集 C. 整数集 D. 实数集
, 2 39 无理数有_____________________________.
3
3.下列语句中正确的是 ( C ) A.带根号的数都是无理数 B.不带根号的数都是有理数 C.无理数一定是无限不循环小数 D.无限小数一定是无理数
4.(1)在数轴上找出表示 10 的点. (2)在数轴上找出表示 5 的点.
所以1.41 2 1.42 ; 因为 1.414 1.999396 ,1.415 2.002225 ,
2 2
7 5
2
49 1.96 ; 25
3 2
2
9 2.25 ; 4
所以1.414 2 1.415 . 如果保留4位小数, 2的近似值是多少 ? 保留5位小数呢?
3
把下列各数填人相应的集合内:
(2)无理数集合 :
(3)正实数集合{
3
9 , 10 ,
27 ,
0.01001000100001.
3
,
;
…} …}
2 4 , 3
3 22 , 0.01001000100001. 7
3
3
0.6 , 10 ,
27 ,
,
(4)负实数集合{ 9 ,
125 ,
整数集合 分数集合 有理数集合
3 8 , ( 1 ) 1, ( 3.14 ) 0 ··· 3
22 1 ,3 ,1.732 ,0.3 7 3
···
22 1 1 ,3 , 3 8 ,1.732 ,0.3, ( ) 1, ( 3.14 ) 0 ··· 7 3 3
无理数集合 ， 8， 3 2 ， 3.1040040004 ···