江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测数学试题

南师大附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测

数学Ⅰ

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A ={1,2,4}，B ={a,4}，若A ∪B ={1,2,3,4}，则A ∩B =．

2．若复数()()23z i ai =++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a =______．

3．一组数据4，5，6，8，n 的平均数为7，则该组数据的方差s 2为______．

4．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四

个数．现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是

______．

5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是．

6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为_______． 7．在等比数列{}n a 中，11a =，528a a =，n S 为{}n a 的前n 项和．若1023n S =，则n =__________．

8． 若函数)2,0(),cos()sin()(π

ϕϕϕ∈+++=x x x f 为偶函数，则ϕ的值为________．

9．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =．设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V

的值为________． 10．已知函数()2sin x x f x e e x -=--，则不等式2(21)()0f x f x -+≤的解集为_________．

11．如图，在长方形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若12MN λAM λBN =+u u u u r u u u u r u u u r ，1λ，2λR ∈，

则12λλ+的值为______．

12．若C 为半圆直径AB 延长线上的一点，且2AB BC ==，过动点P 作半圆的切线，切点为Q ，若3PC PQ =，则PAC ∆面积的最大值为____．

13．已知ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若60BAC ︒∠=，D 为边BC 上一点，且1,:2:3AD BD DC c b ==，则23b c +的最小值为_________．

14．已知函数22ln 3()x x f x m x

++=+，若01,4x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

已知1cos()43πβ-=，4sin()5βα+=，其中π0π2

αβ<<<<． （1）求tan β的值；

（2）求cos()4πα+

的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥平面BCC1B1，AD⊥DB．求证：（1）BC∥平面ADD1A1；

（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．

（第16题） B

A

C

D

D 1 B 1

A 1 C 1

17．（本小题满分14分）

如图，在南北方向有一条公路，一半径为100m 的圆形广场（圆心为O ）与此公路所在直线l 相切于点A ，点P 为北半圆弧（弧APB ）上的一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，计划在PAQ ∆内（图中阴影部分）进行绿化，设PAQ ∆的面积为S （单位：2m ），

（1）设()BOP rad α∠=，将S 表示为α的函数；

（2）确定点P 的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

18．（本小题满分16分） 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为3，椭圆C 上一点P 到椭圆C 两焦点距离之和为42，如图，O 为坐标原点，平行与OP 的直线l 交椭圆C 于不同的两点A 、B ．

（1）求椭圆方程；

（2）当P 在第一象限时，直线PA ，PB 交x 轴于E ，F ，若PE ＝PF ，求点P 的坐标．

19．（本小题满分16分）

已知函数()2ln h x ax x =-+．

（1）当1a =时，求()h x 在()()

2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >， ①求实数a 的取值范围；

②若存在021,22x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()

()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若{√S n}为等差数列，且a1=1．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）是否存在正整数n，使1+a n+S n, 2+a2n+S2n, 4+a4n+S4n成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；

（3）若数列{b n}满足b n+1−b n=b n2

S n ，b1=1

k

，且对任意的n∈N∗，都有b n<1，求正整数k的最小值．

数 学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M ＝⎣⎡

⎦⎤ 2 1 1 2．

（1）求M 2； （2）求矩阵M 的特征值和特征向量．

B ．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．