2.1.2椭圆的简单几何性质

2.1.2椭圆的简 单几何性质（2）
高二数学 选修1-1
第二章
圆锥曲线与方程
1
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
2a 2 b2 (2)两准线间的距离为 ，焦点到相应准线的距离为 c c (3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”，
否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得，椭圆离心率的几何意义： “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”
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x y 已知椭圆 2 2 1(a b 0)上一点P的横坐标是 0 , x a b F1、F2分别是椭圆的左、右焦 点，且e为离心率，则 Y PF1 a ex0 , PF2 a ex0 。
x0 2 y0 2 5
x0 2 y0 2 又 1 9 4
3 3 x0 5 x0 5 解得： 或 y 4 y 4 0 0 5 5
3 4 3 4 P( , )或P( , ) 5 5 5 5
20
例8：求椭圆
的轨迹。
的点的轨迹。
焦点： 1 (0, c )、F2 (0, c ) F a2 准线：y c
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由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下：
x2 y 2 a2 (1)椭圆 2 2 1(a b 0)的准线方程为x a b c
y 2 x2 a2 椭圆 2 2 1(a b 0)的准线方程为y a b c
x2 y2 思考: 椭圆 1 的焦点为 F1、F2 ，点 P 为其上的 9 4 动点， F1 PF2 为钝角时， 当 则点 P 的横坐标的取值范围 是____________.
解 : 设P( x, y),
c a
将上式两边平方，并化简，得 设 a2-c2=b2,就可化成
a
2
c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c2



x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆
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I’
y
l
F’
o
F
x
由探究可知，当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离 的比是常数 e 0 e 1 时，这个点的轨 a 迹 就是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常 数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义. x2 y2 对于椭圆 a 2 b 2 1 ，相应于焦点F（c,0) a2 准线方程是 x , 根据椭圆的对称性，相应于 c a2 , 焦点F‘(-c.0) 准线方程是 x 所以椭圆有两条准线。
o
l M d H x
F
将上式两边平方，并化简，得9 x 2 25 y 2 225,
x2 y2 即 2 2 1(a b 0) 25 b 9 a 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。 2 a2 c2 x2 a2 y 2 a2 a2 c
a 2 25 a 2 25 a 5 c 4 2 b 9 b 3 c 2 16 c 4
y2
a P到原点O的最大距离为；当P的坐标为(0, ±b) 时，
b P到原点O的最小距离为-------------；设F1 （c,0),则当P的
(-a,0) a+c 坐标为----------时， 1 的最大值为；则当P的 PF
(a,0) a-c 坐标为----------时， 1 的最小值为。 PF
焦半径的最小值为：a-c
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例7.
解：
16
课堂练习
x2 y2 1 上一点到准线 x 11 与到焦 11 7 2
（
1、椭圆 点（-2，0）的距离的比是
2 ( A) 11 11
11 (B ) 2
B
）
2 (C ) 11
7 (D) 11
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆 的离心率是( C )
2 2 2
(a ex0 )2 (a ex0 ) 2 4c 2 x0 2 9
a 2 e2 x0 2 2c 2
代入椭圆方程得 : y0 2 16
P(3, 4)
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变式: 1.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的 距离的比为0.8,则动点M的轨迹是( B ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定
c
11
椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
平面内与
图形
定义 2
平面内与
一个定点的距
两个定点 1、 F F2的距离的和
焦点：F1 ( c,0)、F2 (c,0) a2 准线：x c
离和它到一条 定直线的距离 的比是常数
e c (0 e 1) a
等于常数（大
于 F1 F2 ）的点
4
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一 个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点F2. 已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm,
2 2
5 2 x 1 | PF1 | | PF2 | | F1 F2 | cos F1 PF2 9 0 2 | PF1 | | PF2 | 5 2( 9 x 2 ) 3 9 x
5 4 代入椭圆方程得y 5
3 4 3 4 P( , )或P( , ) 21 5 5 5 5
1 1 a ( F1 B F2 B ) (2.8 2.82 4.52 ) 4.1 2 2
b a c
2 2
x2 y2 4.1 2.25 3.4 所求的椭圆方程为 2 52 1 4.1 3.4
2 2
(x c ) y2 4 4 由此得 c. 25 5 a2 x a 4 c
离心率为
1 3
。
3
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 5
5、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于 四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组 成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 3 1。
点 6、 P是椭圆
x2 a2
(±a,0) b2 1上的动点，当P的坐标为时，
P(3, 4)
5 解 : a 3 5, b 2 5, c 5, e . 设P( x0 , y0 ), x0 0, y0 0. 3 PF1 a ex0 , PF2 a ex0 , F1 F2 2c. PF1 PF2
PF1 PF2 F1 F2




8
若点 0 探究： M ( x, y)与定点F (c，)的距离和它到定直线
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
思考上面探究问题，并回答下列问题： （1）用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹 （2）给椭圆下一个新的定义
（3）若点 ( x, y )与定点 (c，)的距离和它到定直线 M F 0 a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，此时点 的 M c a 轨迹还是同一个椭圆吗 ？ a2 （4）当定点改为 (0， c )，定直线改为 : y 时，对应 F l c 的轨迹方程又是怎样呢 ？ 9
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焦半径公式
①焦点在x轴上时： │PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；
该公式的记忆方法为‘‘左加右减”，即在a与ex0之 间， 如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径 用“－”号连接．
②焦点在y轴上时： │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
该公式的记忆方法为‘‘下加上减”，即在a与ey0之 间， 如果是下焦半径则用加号“+’’连接，如果是上焦半径 焦半径的最大值为：a+c 用“－”号连接．
探究、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a（a>c>0),求点M 的轨迹。 解：设 d是M到直线l 的距离，根 据题意，所求轨迹就是集合 I’
y M l
MF c P={M| d a
由此得
}
F’
o
F
x
x c 2
y2
a2 x c
A
3
B
3 2
C
3 3
D
3 4
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3.若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F 3x2-8x+4y2=0 （2，0），则椭圆的方程是 ____________
与两焦点的连线互相垂直，求P点的坐标。
x2 y 2 4：已知椭圆 1,P为椭圆在第一象限内的点，它 45 20
求截口BAC所在椭圆的方程。 解：建立如图所示的直角坐标系， x2 y2 设所求椭圆方程为 2 1. 2 a b
在RtBF1F2中，2 B F F1B F1F2 2.82 4.52
2 2
y B A F1 C o F2 x
由椭圆的性质知，1 B F2 B 2a, 所以 F
P
2
2
练 习
说明：
(第二定义 )
F1
O
F2
X
PF1 c a2 a x0 x2 y2 c 2 1 2 c a2 （a>b>0）左焦点为F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， a b PF1 ( x0 ) a ex0 a c 则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
x 2 y2 1 4 9
上一点P,使得点P与椭圆
两焦点连线互相垂直. 引申:当点P与两焦点连线成钝角时,求P点的横坐标 的取值范围.
解法2 : a 3, b 2, c 5, e 5 3
设P( x, y)
5 | PF2 | a ex 3 x 3
2
5 则：PF1 | a ex 3 | x， 3
2 2
(c 例6 点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线 c 25 4 a2 l : x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。 a 4 5 c 2 a 25 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， 4 c y MF 4 c 点M的轨迹就是集合P M , d 5 a
PF2 c y2 x2 同理 : 2 1 a a a 2 b 2 （a>b>0）下焦点为F1，上焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， x0 则|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. c
c a2 PF2 ( x0 ) a ex0 a c
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴 都对称的是（ D ） A、x2=4y B、x2+2xy+y=0 C、x2-4y2=x D、9x2+y2=4
2
练习
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
形，则其离心率为
1 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
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例8：求椭圆
x 2 y2 1 4 9
上一点P,使得点P与椭圆
两焦点连线互相垂直.
解法1 : a 3, b 2, c 5
F1 ( 5, 0), F2 ( 5, 0)
设P( x0 , y0 )
PF1 PF2
PF1 PF2 0 ( x0 5)( x0 5) y0 2 0