高中数学知识点体系框架超全超完美
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究,整体考察 复合函数的单调性:同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换:������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������),������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������,������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换:������ = ������(������) → ������ = −������(������),������ = ������(������) → ������ = ������(−������),������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换:������ = ������(������) → ������ = |������(������)|,������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换:������ = ������(������) → ������ = ������������(������),������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
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高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布单调性:同增异减赋值法,典型的函数零点函数的应用A 中元素在B 中都有唯一的象;可一对一(一一映射),也可多对一,但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性:同增异减。
1.先看定义域是否关于原点对称,再看f (-x )=f (x )还是-f (x ).2.奇函数图象关于原点对称,若x =0有意义,则f (0)=0.3.偶函数图象关于y 轴对称,反之也成立。
f (x +T)=f (x );周期为T 的奇函数有:f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。
函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正(反)比例函数、一次(二次)函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率()()的区别与0x f x f ''0t t t v a S v ==,()0'x f k =导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1log sin cos cos sin 0e e a a a xx a x x x x x x nx x c c ====-====;;;;;;;为常数()()()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()[])3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅±=±是可导的,则有:,设()()[]()()x u u f x g f '''⋅=1.极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点;2.闭区间一定有最值,开区间不一定有最值。
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高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布单调性:同增异减赋值法,典型的函数零点函数的应用A 中元素在B 中都有唯一的象;可一对一(一一映射),也可多对一,但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性:同增异减。
1.先看定义域是否关于原点对称,再看f (-x )=f (x )还是-f (x ).2.奇函数图象关于原点对称,若x =0有意义,则f (0)=0.3.偶函数图象关于y 轴对称,反之也成立。
f (x +T)=f (x );周期为T 的奇函数有:f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。
函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正(反)比例函数、一次(二次)函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率()()的区别与0x f x f ''0t t t v a S v ==,()0'x f k =导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1log sin cos cos sin 0e e a a a xx a x x x x x x nx x c c ====-====;;;;;;;为常数()()()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()[])3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅±=±是可导的,则有:,设()()[]()()x u u f x g f '''⋅=1.极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点;2.闭区间一定有最值,开区间不一定有最值。
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i.
①(1 ± i)2 = ±2i;
②1+i = i;1−i = −i;
1−i
1+i
③������ + ������i = i(������ − ������i),
如3+4i = i(4−3i) = i;
4−3i 4−� = ������ + ������i、复平面内点 Z(������, ������)、向量���⃗⃗���⃗⃗���⃗��� = (������, ������)的一一对应关系; 复数模的几何意义:|������| = |������ + ������i| = √������2 + ������2 = |���⃗⃗���⃗⃗���⃗���|
2.对数的运算性质(������>0,且������ ≠1,������>0,������>0):①log������(������ ∙ ������) = log������������ + log������������;
简易逻辑
命题
关系
原命题:若 p 则 q
互否
否命题:若p 则q
互逆
互为逆否 等价关系
互逆
逆命题:若 q 则 p
互否
逆命题:若q 则p
充分条件、必要条件、充要条件 若������ ⇒ ������,则������是������的充分条件,������是������的必要条件
复合命题 量词
或:p q 且:p q 非: p 全称量词 存在量词
2
映射
函数
函数图象 及其变换
第二部分 函数、导数及微积分
������: ������ → ������:一对一,或多对一
【高中数学】高中数学知识结构框架总结
【高中数学】高中数学知识结构框架总结作者:佚名必修一:第一章:子集与函数概念1.1集合1.2函数及其则表示1.3函数的基本性质教学指导:1.子集就是一个不提定义的概念,教学中应当融合学生的生活经验和尚无数学知识,通过列出多样的实例,并使学生认知子集的含义。
自学子集语言最出色的方法就是采用,在教学中要创设并使学生运用子集语言展开抒发和交流的情境和机会,以便学生在实际采用中逐渐熟识自然语言、子集语言、图形语言各自的特点,展开相互切换并掌控子集语言。
在关于子集之间的关系和运算的教学中,采用venn图就是关键的,有利于学生自学、掌控、运用子集语言和其他数学语言。
2.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。
函数概念的引入,一般有两种方法,一种方法是先学习映射,再学习函数;另一种方法是通过具体实例,体会数集之间的一种特殊的对应关系,即函数。
考虑到多数高中学生的认知特点,为了有助于他们对函数概念本质的理解,建议采用后一种方式,从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手,引导学生联系自己的生活经历和实际问题,尝试列举各种各样的函数,构建函数的一般概念。
第二章:基本初等函数(ⅰ)2.1指数函数2.2对数函数2.3幂函数教学指导:1.通过对指数函数、对数函数等具体内容函数的研究,增进学生对函数概念的认知。
像是函数这样的核心概念须要多次碰触、反反复复体会、螺旋下降,逐步增进认知,就可以真正掌控,有效率应用领域。
2.在教学中,应强调对函数概念本质的理解,避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练,避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
3.指数幂的教学,应当在总结整数指数幂的概念及其运算性质的基础上,融合具体内容实例,导入有理指数幂及其运算性质,以及实数指数幂的意义及其运算性质,进一步体会“用有理数迫近无理数”的思想,并且可以使学生利用计算器或计算机展开实际操作,体会“迫近”过程。
高中数学知识框架思维导图(2019.3.21整理,14页)
两个原理
分类加法计算原理和分步乘法计算原理 排列数:������������ ������ = ������(������ − 1) ⋯ (������ − ������ + 1) = (������−������)!
������!
计算原理
排列与组合
������! m 组合数:C n = ������!(������−������)!
高考数学知识框架思维导图(2019.3.21 整理,14 页)
陈永清
第一部分
集合、算法语言、简易逻辑、复数、推理与证明、排列组合
概念 性质 集合的分类 集合 集合的表示 集合间的关系
Hale Waihona Puke 元素与集合之间的关系:∈,∉ 确定性、互异性、无序性 有限集、无限集、空集() 列举法、描述法、图示法
求解(两个)集合中的参数值,注意检验: 1.是否违反互异性;2.是否违反其他条件 含有������个元素的集合������的子集个数是2������ , 真子 ������ ������ 集个数是2 − 1,非空子集个数为2 − 1, 非空真子集的个数是2������ − 2.(������,)
性质
C n =C n
m
m
n-m
Cn+1=C n +C
m
m-1 n
应用
捆绑法、插空法、优先法、隔板法、间接法、建模法、分类法、树状图
0 ������ ������ + ������ 1 ������ ������−1 ������ + ⋯ + ������ ������ ������ ������−������ ������ ������ + ⋯ + ������ ������−1 ������1 ������ ������−1 + ������ ������ ������ ������ (������∈N*). (������ + ������)������ = ������������ ������ ������ ������ ������
高中数学知识整个体系脉络或框架
高中数学知识整个体系脉络或框架发布时间: 06-14 阅读次数:460【字号:大中小】6顶一下高考数学基础知识汇总第一部分集合(1)含n个元素的集合的子集数为2^n,真子集数为2^n-1;非空真子集的数为2^n-2;(2)注意:讨论的时候不要遗忘了的情况。
(3)第二部分函数与导数1.映射:注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法3.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:① 若f(x)的定义域为〔a,b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数的定义域是内函数的值域。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;⑵ 是奇函数;⑶ 是偶函数;⑷奇函数在原点有定义,则;⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;6.函数的单调性⑴单调性的定义:① 在区间上是增函数当时有;② 在区间上是减函数当时有;⑵单调性的判定1 定义法:注意:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法(见2 (2));④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。
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数轴、V een 图、函数图象集合集合元素的特性确定性、互异性、无序性集合的分类有限集无限集空集φ集合的表示列举法、特征性质描述法、V een 图法集合的基本关系真子集子集几何相等性质集合的基本运算补集交集qp 并集q p .p q ,则逆命题:若.q p ,则原命题:若.q p ⌝⌝,则否命题:若.p q ⌝⌝,则逆否命题:若互为逆否互逆互逆互否互否四种命题{}{}{}{}{}{}{}{}.000)8()7()6(22)5()4()3()2()1(1φφφφφφφ⊆⊆⊆∈⊆∈⊆⊆⊆⊂=⊆⊆-≠,表示空集,表示集合,,区别:,,的集合;表示只有一个元素表示元素,区别:一般地,与表示集合与集合关系;表示元素与集合关系,的区别:,个真子集;有个子集,个元素的集合有含有;,则,若;或则则;真子集;空集是任何非空集合的a a a a a n C A C B B A B A B A B A A A n n ()()()()()()()()()()()()()()()()();;结合律:;;分配律:;;;;;或,,;,,,C B A C B A C B A C B A C A B A C B A C A B A C B A B C A C B A C A A C C A C A U A C A B A B A B A A B A B A B A A B A A A A A A A A A A U U U U U U U ========⊆⊆⊆⇔=⊆⇔=====)6()5()4()3()2()1(φφφφ基本逻辑联结词∨或()q p ⌝⌝或∧且⌝非qp ∧q p ∨量词全称量词存在量词全称命题存在命题()()00::x p M x p x p M x p ⌝∈∃⌝∈∀,;则,若()()x p M x p x p M x p ⌝∈∀⌝∈∃,;则,若::00否定第一部分集合与简易逻辑退出上一页函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布单调性:同增异减赋值法,典型的函数零点函数的应用A 中元素在B 中都有唯一的象;可一对一(一一映射),也可多对一,但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性。
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柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan , =
倾斜角和斜率
重合
A1B2-A2B1=0,C1B2-C2B1=0
平行
A1B2-A2B1=0,C1B2-C2B1≠0
相交
A1B2-A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义:
过可行域内一点(, )
向直线 = , = 作
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换: = () → = ( ± ), = () → = () ± ,, > 0
对称性
y=Asin(x+)+b
化简、求值、
证明(恒等变形)
)
值域
图象
对称轴(正切函数除外)经过函数图象
的最高(或低)点且垂直 x 轴的直线,
对称中心是正余弦函数图象的零点,正
切函数的对称中心为( ,0)(k∈Z).
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同;
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1
高中数学知识结构框图
高中数学知识结构框图(人教版)(共
7页)
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高中数学知识结构框图(必修1)第一章集合与函数概念
第二章基本初等函数(Ⅰ)
第三章函数的应用
数学二
第一章空间几何体的知识结构框架
第二章点、直线、平面之间的位置关系的知识结构框架
第三章直线与方程的知识结构框架第四章圆与方程的知识结构框架
数学三
数学四
本章知识结构如下:
本章知识结构如下:本章知识结构如下:。
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高中数学基础知识整合函数与方程区间建立函数模型抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法;一元二次方程根的分布单调性:同增异减赋值法,典型的函数零点函数的应用A 中元素在B 中都有唯一的象;可一对一(一一映射),也可多对一,但不可一对多函数的基本性质单调性奇偶性周期性对称性最值1.求单调区间:定义法、导数法、用已知函数的单调性。
2.复合函数单调性:同增异减。
1.先看定义域是否关于原点对称,再看f (-x )=f (x )还是-f (x ).2.奇函数图象关于原点对称,若x =0有意义,则f (0)=0.3.偶函数图象关于y 轴对称,反之也成立。
f (x +T)=f (x );周期为T 的奇函数有:f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式,对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。
函数的概念定义列表法解析法图象法表示三要素使解析式有意义及实际意义常用换元法求解析式观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等定义域对应关系值域函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换基本初等函数正(反)比例函数、一次(二次)函数幂函数指数函数与对数函数三角函数定义、图象、性质和应用函数映射第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分退出上一页第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分导数导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率()()的区别与xfxf''tttvaSv==,()'xfk=导数概念基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln1lnln1logsincoscossineeaaaxxaxxxxxxnxxcc====-====;;;;;;;为常数()()()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()[])3()2()1(xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅±=±是可导的,则有:,设()()[]()()xuufxgf'''⋅=1.极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点;2.闭区间一定有最值,开区间不一定有最值。
导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题()()()().0''在该区间递减在该区间递增,xfxfxfxf⇒<⇒>1.曲线上某点处切线,只有一条;2.过某点的曲线的切线不一定只一条,要设切点坐标。
一般步骤:1.建模,列关系式;2.求导数,解导数方程;3.比较区间端点函数值与极值,找到最大(最小)值。
定积分与微积分定积分概念定理应用性质定理含意微积分基本定理曲边梯形的面积变力所做的功()的极限和式iniixf∆∑-=11ξ定义及几何意义1.用定义求:分割、近似代替、求和、取极限;2.用公式。
()()()()[]()()()()()()()()cbadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkf<<=-=±=±=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.;;;()()()()()()莱布尼兹公式牛顿则若--==⎰aFbFdxxfxfxF ba,'1.求平面图形面积;2.在物理中的应用(1)求变速运动的路程:(2)求变力所作的功;()⎰=b a dxxFW()dttvs ab⎰=第三部分三角函数与平面向量退出上一页化简、求值、证明(恒等式)任意角的三角函数任意角三角函数定义同角三角函数的关系诱导公式和(差)角公式二倍角公式三角函数线平方关系、商的关系奇变偶不变,符号看象限公式正用、逆用、变形及“1”的代换角正角、负角、零角象限角轴线角终边相同的角区别第一象限角、锐角、小于900的角任意角与弧度制;单位圆弧度制定义1弧度的角①角度与弧度互化;②特殊角的弧度数;③弧长公式、扇形面积公式正弦函数y =sinx 三角函数的图象余弦函数y =cosx正切函数y =tanx y =Asin (ωx +φ)+b作图象描点法(五点作图法)几何作图法性质定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性最值对称轴(正切函数除外)经过函数图象的最高(或低)点且垂直x 轴的直线对称中心是正余弦函数图象的零点,正切函数的对称中心为( ,0)(k ∈Z )2πk ①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到,但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同;②图象也可以用五点作图法;③用整体代换求单调区间(注意ω的符号);④最小正周期T =;⑤对称轴x =,对称中心为( ,b )(k ∈Z ).ωπ2()ωφπ2212-+k ωφπ-k 三角函数三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中等第三部分三角函数与平面向量退出上一页(1)解三角形时,三条边和三个角中“知三求二”。
(2)解三角形应用题步骤:先准确理解题意,然后画出示意图,再合理选择定理求解。
尤其理解有关名词,如坡角、坡比、仰角和俯角、方位角、方向角等。
平面向量解的个数是一个?两个?还是无解?解三角形正弦定理及变式R CcB b A a 2sin sin sin ===适用范围:①已知两角和任一边,解三角形;②已知两边和其中一边的对角,解三角形。
余弦定理Cab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=面积推论:求角适用范围:①已知三边,解三角形;②已知两边和它们的夹角,解三角形。
实际应用()()()()()()是内切圆半径是外接圆半径其中r r c b a R R abcc b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ⋅++==⎪⎭⎫ ⎝⎛++=---===∆2142sin 2121表示向量的概念零向量与单位向量()()212212y y x x a -+-=共线与垂直线性运算加、减、数乘几何意义及运算律平面向量基本定理数量积几何意义夹角公式投影a ba b a b⋅=θcos 方向上的投影为在ba b a b a⋅⋅=θθcos ,则夹角为与设共线(平行)垂直()001//1221≠=-⇔=⇔a y x y x a b b a λ002121=+⇔=⋅⇔⊥y y x x b a b a在平面(解析)几何中的应用;在物理(力向量、速度向量)中应用向量的应用21e y e x p +=第四部分数列退出上一页数列是特殊的函数数列的定义概念一般数列通项公式递推公式a n 与s n 的关系解析法:a n =f (n )表示图象法列表法mn m n n q a q a a --⋅=⋅=11特殊数列等差数列等比数列判断性质通项公式求和公式()()dm n a d n a a m n -+=-+=1122nm q p n m a a a a a +=+=+22nm q p n m a a a a a +=⋅=⋅常数=+nn a a 1常数=-+n n a a 1()()d n n na a a n S n n 21211-+=+=()()()11111111≠-⋅-=--==q qq a a q q a q na S n nn ;时q ≠0,a n ≠0公式法:应用等差、等比数列的前n 项和公式①常见递推类型及方法()n f a ann =+1qpa a n n +=+111++-=n n n n a a a pa nn n qpa a +=+1()n n n f a a =-+1②④③⑤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 构造等比数列逐差累加法逐商累积法③转化为化为111+⋅=-+n nn n qa q p q a 常见的求和方法数列应用倒序相加法分组求和法裂项相消法错位相减法()()()()12112161121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++=+=∑∑∑n n k n n n k n n k ;自然数的乘方和公式:⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n ,,等差中项:等比中项:212+++=n n n a a a 221++⋅=n n n a a a 数列构造等差数列p a a =-11第五部分不等式退出上一页指数对数不等式不等式二元一次不等式(组)与平面区域a xb y z --=()()22b y a x z -+-=简单的线性规划问题可行域目标函数应用题一次函数z =ax +b构造斜率:构造距离几何意义:z 是直线ax +by -z =0在x 轴截距的a 倍,y 轴上截距的b 倍.基本不等式2b a ab +≤最值变形和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值.“一正二定三相等”22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+作差或作商借助二次函数图象,利用三个“二次”间的关系不等关系与不等式基本性质一元二次不等式及其解法比较大小问题求解范围问题解不等式一元一次:ax >b 一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)绝对值不等式分式不等式分a >0,a <0,a =0(b ≥0,b <0)讨论分a >0,a <0,Δ>0, Δ=0, Δ<0讨论一元高次不等式()()()()0021<>-⋅⋅⋅--n x x x x x x 解不等式组()()()()()()()()()000;00≠≥⋅⇔≥>⋅⇔>x g x g x f x g x f x g x f x g x f 且()()()()()()()()()()()()()()().22绝对值几何意义求解,可分段讨论或用形如或c b x a x x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x f <-+->⇔>-<>⇔><<-⇔<x 系数化为正,“穿根法”,奇穿偶不穿利用性质转化为代数不等式,底数a 的讨论平面三公理及推论空间点、直线、平面的位置关系点与线点与面线与线平行关系的相互转化线线平行线与面面与面相交平行点在面内或点不在面内,∉∈或点在直线上或点不在直线上,∉∈或共面直线异面直线只有一个公共点线在面外线在面内相交平行没有公共点只有一个公共点Al =⋂α没有公共点α//l α⊂l 相交平行βα//l =⋂βα线面平行面面平行面面垂直线面垂直线线垂直垂直关系的相互转化()();;;;球球圆台圆台32'''22'34431R V R S h s s s s V rl l r r r S πππ==⋅++=+++=结构三视图直观图表(侧)面积体积柱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征三视图直观图(斜二侧画法)平行投影和中心投影长对正,高平齐,宽相等空间几何体第六部分立体几何与空间向量退出上一页第六部分立体几何与空间向量空间的角异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角范围;(]90,0范围;[]90,0范围;[]180,0.;cos ;sin ;cos 2121nn a d n n n n n a na b a ba ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=θθθ空间的距离点到平面的距离直线与平面所成的距离平行平面之间的距离相互之间的转化aa’b θl θn aAOBCαθ1θ2θθθθcos cos cos 12⨯=直线与平面所成的角异面直线所成的角垂线法二面角垂面法CABDO射影法二面角θ的大小为cos θ= S `÷S通过做二面角的棱的垂面,两条交线所成的角即为平面角利用三垂线定理作出平面角,解直角三角形求角退出上一页空间向量与立体几何立体几何中的向量方法直线的方向向量与法向量向量法证两直线平行与垂直求空间角求空间距离向量距离空间向量及其运算空间向量的加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算共线向量定理共面向量定理平行与垂直的条件空间向量基本定理向量夹角()()方向向量为,或l a R t a t OA OP R b a b a∈+=∈=⇔λλ//()()1=++++=++=+=+=⇔z y x OC z OB y OA x AC y AB x OA OP AC y AB x AP b a b y a x p b a p 其中或或不共线,共面,与()()R z y x OC z OB y OA x OP P OABC c b a c z b y a x p ∈++=++=,,有一点是不共面四点,则对任推论:设不共面,,空间任一向量()()().cos :.3cos :.2cos :.1212121为两平面法向量,二面角;为平面法向量为直线方向向量,直线与平面的夹角;为方向向量,求异面直线的夹角n n n n n n n a na na b a ba ba⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=θθθθθθ.,化为点面距线面距、面面距都可转的法向量,为平面点到平面的距离:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∉∈⋅=αααP M n nMPn d()()()2122122122z z y y x xAB AB -+-+-==();,0//=⋅⇔⊥∈≠=⇔b a b a R a a b b aλλ()坐标表示=⋅⋅=ba b a b a,cos 第六部分立体几何与空间向量退出上一页直线的方程平面内两条位置关系两直线平行两直线重合两直线相交两直线垂直两直线斜交..123112212121C A C A B A B A b b k k ====且或,且.122121B A B A k k ≠≠或.01212121=+-=⋅B B A A k k 或..123112212121C A C A B A B A b b k k ≠=≠=且或,且倾斜角与斜率倾斜角α[00,1800)和斜率k=tanα的变化直线方程点斜式:()00x x k y y -=-斜截式:bkx y +=()2121121121,y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--两点式:截距式:1=+bya x ()0,0≠≠b a 一般式:()00≠=++AB C By Ax 注意(1)截距可正,可负,也可为0;(2)方程各种形式的变化和适用范围.[)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≠+∈+-=+-=0900.1tan 212100212112212121B B A A B B A A B A B A k k k k ,θθ距离点点距点线距线线距()().21221221y y x x P P -+-=2221B A C C d +-=2200B A CBy Ax d +++=两直线夹角第七部分解析几何退出上一页圆的方程标准方程:(x -a )2+(y -b )2=r 2一般方程:x 2+y 2+Dx+Ey+F =0(D 2+E 2-4F >0)圆的方程空间两点间距离、中点坐标公式⎪⎩⎪⎨⎧>-+=≠==+++++040002222F E D B C A F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是:二元二次方程()()()()02121=--+--y y y y x x x x AB 为直径圆方程:以点和圆的位置关系点在圆内()()22020rb y a x r d <-+-⇔<⇔点在圆上()()22020rb y a x r d =-+-⇔=⇔点在圆外()()22020rb y a x r d >-+-⇔>⇔相离直线和圆的空间直角坐标系位置关系相交相切r d ><∆,或0r d ==∆,或0rd <>∆,或0圆和圆的位置关系相离相切相交.0)2(210)1(212121212121内含外离;内切;外切;相交;;,,数是利用两圆方程组解的个⇔-<<⇔+>⇔-=⇔+=⇔+<<-r r d r r d r r d r r d r r d r r ()222122122122411d r AB x x x x k x x k AB -=-++=-+=几何法:弦长公式:代数法:第七部分解析几何退出上一页()()()()()()()()()()()()()()()).(00)5(0)4(040)3(040)2(040)1(11112222222222222111222222222222222222222222222为参数其中不含或;不含:过两已知圆交点的圆系;或过原点的圆系:;为参数,且,或为参数,轴上的圆系:圆心在;为参数,且,或为参数,轴上的圆系:圆心在且为参数,为常数,,或为参数,同心圆系:λλλC F y E x D y x F y E x D y x C F y E x D y x F y E x D y x Ey Dx y x b a b y a x F E F E F Ey y x r b r b y x x F D F D F Dx y x r a r y a x x F E D F E D F Ey Dx y x r a r b y a x =+++++++++=+++++++++=++++=-+->-=+++=-+>-=+++=+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛>-+=++++=-+-()()()()()().00)3(.0)(0)()()2(.)0()()1(111122222221110000l C By x A C By x A l C By x A C By x A C By Ax Ay Bx C By Ax By Ax k k b kx y y b b kx y x x k y y y x P 不包括;不包括为参数:过两直线交点的直线系垂直的直线系表示与已知为参数平行的直线系;表示与已知为参数的平行直线系;表示斜率为为参数平行直线系:轴的直线系,不包括,表示过点;特殊地直线系:,共点=+++++=+++++=++=-=++=++=+=-=-λλλλλλλ第七部分解析几何几种常见的圆系:几种常见的直线系:()()()()1,.41,.31.20,00.1202000202000212=-=+-+=⎩⎨⎧==++=++by y a x x y x M b y y a x x y x M l k x x k AB y x f C By Ax C C By Ax l 点处的切线为:双曲线上;点处的切线为:椭圆上的斜率为直线弦长:的解;其交点坐标就是方程组对应,与方程组有几组解一一的位置关系:交点个数:,二次曲线:直线直线与圆锥曲线的位置关系:退出上一页第七部分解析几何退出上一页圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程求曲线的方程画方程的曲线求两曲线的交点双曲线轨迹方程的求法:直接法、定义法、相关点法、参数法抛物线椭圆定义及标准方程几何性质相交相切相离弦长范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴)渐近线(双曲线)、准线、离心率。